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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Sa 17.01.2009 | | Autor: | unR34L |
| Aufgabe | Gegeben sei die folgende lineare Abbildung f mit:
f: [mm] \IR^{3} \to\IR^{3}, [/mm] f(x) = [mm] \pmat{ 2 & 4 & 2a \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & a+2 & 9}*x [/mm]
und b = [mm] \pmat{ 6 \\ -4 \\ 6}
[/mm]
Für welche Werte a gilt :
1.) Kern(f) = {0}
2.) Es existieren unendlich viele Urbilder x [mm] \in \IR^{3} [/mm] für b.
3.) b [mm] \not\in [/mm] Bild(f) |
zu 1.)
Ich soll also alle a bestimmen, so dass nur der Nullvektor auf den Nullvektor abgebildet wird.
Also bringe ich die erweiterte Matrix in Stufenform und schaue mir dann an, für welche a eine (oder mehrere) "Null-Zeile" entsteht.
Für diese a gilt dann NICHT Kern(f) = {0} und für alle anderen gilt es.
[mm] \pmat{ 2 & 4 & 2a & 0 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & a+2 & 9 & 0} [/mm] 1. Zeile (:2)
[mm] \pmat{ 1 & 2 & a & 0 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & a+2 & 9 & 0} [/mm] (2. Z + 1. Z) & (1. Z (* -1) + 3. Z)
[mm] \pmat{ 1 & 2 & a & 0 \\ 0 & 1 & a-1 & 0 \\ 0 & a & 9-a & 0} [/mm] (2. Z (* -a) + 3.Z) -> für a [mm] \not= [/mm] 0 (habe testhalber a = 0 gesetzt und gesehen, dass dann Kern(f) = {0} gilt
[mm] \pmat{ 1 & 2 & a & 0 \\ 0 & 1 & a-1 & 0 \\ 0 & 0 & -a^{2}-a+18 & 0}
[/mm]
Null-Zeile entsteht, wenn :
[mm] -a^{2}-a+18 [/mm] = 0
Eingesetzt in pq-Formel
a = -0,5 +- [mm] \wurzel{18,25}
[/mm]
Für alle a außer diesen beiden ist also die bedingung erfüllt.
zu 2.)
Selbes Vorgehen, nur dass in der letzen Spalte der Matrix jetzt nicht der NullVektor steht, sondern b.
Nach umformen komme ich dann auf
[mm] \pmat{ 1 & 2 & a & 3 \\ 0 & 1 & a-1 & -1 \\ 0 & 0 & -a^{2}-a+18 & 3+a}
[/mm]
Nullzeile entsteht allso, wenn :
[mm] -a^{2}-a+18 [/mm] = 0 && a+3 = 0
Da das nicht gleichzeitig erfüllt sein kann, existieren nie unendlich viele Urbilder.
zu 3.) b wäre nur dann nicht im Bild von f, wenn man a so wählen könnte, dass [mm] -a^{2}-a+18 [/mm] = 0 && a+3 [mm] \not= [/mm] 0
Also:
Für a = -0,5 +- [mm] \wurzel{18,25} [/mm] ist b nicht im Bild von f
Könnte sein, dass ich einiges an der Aufgabe falsch gemacht habe, wäre also schön, wenn jmd. mal drüberguckt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo unR34L,
> Gegeben sei die folgende lineare Abbildung f mit:
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> f: [mm]\IR^{3} \to\IR^{3},[/mm] f(x) = [mm]\pmat{ 2 & 4 & 2a \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & a+2 & 9}*x[/mm]
>
> und b = [mm]\pmat{ 6 \\ -4 \\ 6}[/mm]
>
> Für welche Werte a gilt :
>
> 1.) Kern(f) = {0}
>
> 2.) Es existieren unendlich viele Urbilder x [mm]\in \IR^{3}[/mm]
> für b.
>
> 3.) b [mm]\not\in[/mm] Bild(f)
> zu 1.)
>
> Ich soll also alle a bestimmen, so dass nur der Nullvektor
> auf den Nullvektor abgebildet wird.
>
> Also bringe ich die erweiterte Matrix in Stufenform und
> schaue mir dann an, für welche a eine (oder mehrere)
> "Null-Zeile" entsteht.
>
> Für diese a gilt dann NICHT Kern(f) = {0} und für alle
> anderen gilt es.
>
> [mm]\pmat{ 2 & 4 & 2a & 0 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & a+2 & 9 & 0}[/mm]
> 1. Zeile (:2)
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & a & 0 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & a+2 & 9 & 0}[/mm]
> (2. Z + 1. Z) & (1. Z (* -1) + 3. Z)
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & a & 0 \\ 0 & 1 & a-1 & 0 \\ 0 & a & 9-a & 0}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (2. Z (* -a) + 3.Z) -> für a [mm]\not=[/mm] 0 (habe testhalber a =
> 0 gesetzt und gesehen, dass dann Kern(f) = {0} gilt
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & a & 0 \\ 0 & 1 & a-1 & 0 \\ 0 & 0 & -a^{2}-a+18 & 0}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Oh, da hast du dich aber verrechnet, oder? Da müsste doch für den Eintrag [mm] $a_{33}$ [/mm] herauskommen: [mm] $9-a-a^2+a=9-a^2=-(a+3)(a-3)$
[/mm]
>
> Null-Zeile entsteht, wenn :
> [mm]-a^{2}-a+18[/mm] = 0
>
> Eingesetzt in pq-Formel
>
> a = -0,5 +- [mm]\wurzel{18,25}[/mm]
>
> Für alle a außer diesen beiden ist also die bedingung
> erfüllt.
Rechne nochmal nach ...
Auch den Rest musst doch nochmal überarbeiten wegen der falschen 3.Zeile ...
>
> zu 2.)
>
> Selbes Vorgehen, nur dass in der letzen Spalte der Matrix
> jetzt nicht der NullVektor steht, sondern b.
>
> Nach umformen komme ich dann auf
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & a & 3 \\ 0 & 1 & a-1 & -1 \\ 0 & 0 & -a^{2}-a+18 & 3+a}[/mm]
>
> Nullzeile entsteht allso, wenn :
>
> [mm]-a^{2}-a+18[/mm] = 0 && a+3 = 0
>
> Da das nicht gleichzeitig erfüllt sein kann, existieren nie
> unendlich viele Urbilder.
>
> zu 3.) b wäre nur dann nicht im Bild von f, wenn man a so
> wählen könnte, dass [mm]-a^{2}-a+18[/mm] = 0 && a+3 [mm]\not=[/mm] 0
>
> Also:
>
> Für a = -0,5 +- [mm]\wurzel{18,25}[/mm] ist b nicht im Bild von f
>
> Könnte sein, dass ich einiges an der Aufgabe falsch gemacht
> habe, wäre also schön, wenn jmd. mal drüberguckt.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
LG
schachuzipus
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Sa 17.01.2009 | | Autor: | unR34L |
Hast Recht, da habe ich mich vertan:
Müsste also nach dem letzten Umformungsschritt so aussehen:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & a & 0 \\ 0 & 1 & a-1 & 0 \\ 0 & 0 & 9-a^{2} & 0}
[/mm]
Null-Zeile entsteht, wenn :
[mm] 9-a^{2} [/mm] = 0 | -9
[mm] -a^{2} [/mm] = -9 | * (-1)
[mm] a^{2} [/mm] = 9 | sqrt
a = 3 oder a = -3
zu 2.)
korrekt müsste die Matrix dann so aussehen:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & a & 3 \\ 0 & 1 & a-1 & -1 \\ 0 & 0 & 9-a^{2} & 3+a}
[/mm]
Null-Zeile entsteht, wenn :
[mm] 9-a^{2} [/mm] = 0 && 3+a = 0
Gleichzeitig erfüllt, wenn a = -3
Für a = -3 existieren also unendlich viele Urbilder für b.
zu 3.)
b [mm] \not\in [/mm] Bild(f), wenn :
[mm] 9-a^{2} [/mm] = 0 && 3+a [mm] \not= [/mm] 0
Erfüllt für a = 3.
So macht das alles schon viel mehr Sinn, danke fürs korrigieren.
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
