Dimension Unterräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Mo 02.11.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Welche Dimension hat der Unterraum des [mm] \IR^3, [/mm] der von folgenden Vektoren aufgespannt wird:
a, [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix},
[/mm]
b, [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},
[/mm]
c, die Spalten einer 3 x 5-Matrix in Zeilenstufenform mit zwei Pivotelementen,
d, alle Vektoren mit positiven Komponenten |
Guten Abend,
a,
Als Matrix geschrieben: [mm] \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
1 & -1 \\
-1 & 1
\end{bmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
0 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix} [/mm]
Somit hat die Matrix den Rang 1, also hat der Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] die Dimension Eins.
b,
Als Matrix geschrieben: [mm] \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0\\
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
[/mm]
Somit hat die Matrix den Rang 2, also hat der Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] die Dimension Zwei.
c,
Es gibt zwei Pivot-Elemente, also zwei Pivot-Spalten, die Matrix hat den Rang 2. Damit hat der Unterraum die Dimension Zwei.
d,
Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] soll [mm] <\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}> [/mm] mit a,b,c [mm] \ge [/mm] 0.
Dies ist aber nicht für beliebiges [mm] \lambda \in \IR [/mm] erfüllt [mm] \lambda [/mm] a, [mm] \lambda [/mm] b, [mm] \lambda [/mm] c [mm] \ge [/mm] 0, für [mm] \lambda [/mm] < 0 nicht erfüllt. Somit ist es doch gar kein Unterraum, also Dimension Null.
Wäre das soweit richtig?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Mo 02.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Die Umformungen habe ich jetzt nicht überprüft aber der Rechenweg und die Schlussfolgerungen sind richtig. Achtung bei d), du hast ja schon festgestellt, dass diese Menge gar kein Unterraum ist - damit ist die Dimension überhaupt nicht definiert! Die Dimension 0 ist dem Untervektorraum, der nur die 0 enthält, vorbehalten...
Gruß, Robert
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