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| Aufgabe | [mm] V=Skew_{n}(\IC)={A|A^{t}=-A}
[/mm]
Die Dimension von [mm] \IR=n
[/mm]
Nun soll ich zeigen, dass dimV=n(n-1)/2 |
Hi zusammen!
Ich versuche gerade einen Beweis zu verstehen dort wird aus obigen Informationen geschlossen, dass dimV=n(n-1)/2.
Leider sehe ich nicht ganz ein, weshalb das so sein soll...
Also ich würde [mm] \IC [/mm] als [mm] \IR-VR [/mm] mit imaginärer und reeller Achse ansehen, das heisst dann [mm] dim\IC=n^{2}. [/mm] Nicht?
Mit den schiefsymmetrischen Matrizen kenn ich mich leider nicht ganz so gut aus, kann man da [mm] \IC [/mm] einschränken?
Na ja, wie gesagt komme da nicht wirklich weiter.. Wäre froh um Tipps, da ich glaube, das wäre gar nicht sooo schwierig =)
Vielen lieben Dank, grenzwert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Di 08.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
die frage ist für mich sehr verwirrend aufgeschrieben. ich denke du redest von dem vektorraum $V = [mm] \textrm{Skew}_n(\mathbb{C}) [/mm] = [mm] \{ A \in \mathbb{C}^{n \times n} : A^t = -A \}$ [/mm] (klicke einfach auf die formel damit dir der code für die eingabe dieser formel angezeigt wird). dieses $V$ kann man nun als [mm] $\mathbb{R}$- [/mm] oder als [mm] $\mathbb{C}$-vektorraum [/mm] auffassen. nach dem anggeben ergebnis vermute ich, dass dich [mm] $\dim_\mathbb{C} [/mm] V$ interessiert, die dimension von $V$ als [mm] $\mathbb{C}$-vektorraum? [/mm] mach dir am besten klar, wie soclhe matrizen aussehen, etwa für $n = 2$. wann gilt für eine allgemeine matrix $A = [mm] \left( \begin{array}{cc} u & v \\ w & z \end{array} \right)$, [/mm] dass [mm] $A^t [/mm] = - A$? rechne dazu mal beide seiten der gleichung für dieses gegeben $A$ aus. was erhälst du? kannst du das auf beliebige $n$ verallgemeinern? danach ist es dann nur noch abzählen.
was du mit "Die Dimension von $ [mm] \IR=n [/mm] $" sagen willst ist mir ein rätsel...
schau mal, wie weit du mit diesen tipps kommst, ansonsten frag einfach nochmal nach.
grüße
andreas
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Hi Andreas!
Vielen Dank für die schnelle Antwort.. Ich musste vorhin weg, darum hab ich gar nicht mehr so genau kontrolliert ob die Formel auch richtig angezeigt wurde.. *ups* Ja, ich wollte eigentlich V = [mm] \textrm{Skew}_n(\mathbb{C}) [/mm] = [mm] \{ A \in \mathbb{C}^{n \times n} : A^t = -A \} [/mm] schreiben..
Nun wenn ich mir die Marix A = [mm] \left( \begin{array}{cc} u & v \\ w & z \end{array} \right) [/mm] nehme, dann ist [mm] A^{t}=\left( \begin{array}{cc} u & w \\ v & z \end{array} \right) [/mm] und [mm] -A=\left( \begin{array}{cc} -u & -v \\ -w & -z \end{array} \right) [/mm] Das heisst dann auf der Duagonalen sind sicher Nullen, da u=-u , z=-z
Also z.B.
[mm] A=\left( \begin{array}{cc} 0 & -v \\ v & 0 \end{array} \right)
[/mm]
Nun würde ich sagen der Rang der Matrix ist 2, und da rang(f)+def(f)=dimV folgt 2+0=2
Nur wenn ich nun an die Formel von oben denke n*(n-1)/2 bekomme ich 1, hab ich da was falsch gemacht?
Vielen lieben Dank für die Hilfe! Grenzwert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Di 08.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Ja, ich
> wollte eigentlich V = [mm]\textrm{Skew}_n(\mathbb{C})[/mm] = [mm]\{ A \in \mathbb{C}^{n \times n} : A^t = -A \}[/mm]
> schreiben..
>
> Nun wenn ich mir die Marix A = [mm]\left( \begin{array}{cc} u & v \\ w & z \end{array} \right)[/mm]
> nehme, dann ist [mm]A^{t}=\left( \begin{array}{cc} u & w \\ v & z \end{array} \right)[/mm]
> und [mm]-A=\left( \begin{array}{cc} -u & -v \\ -w & -z \end{array} \right)[/mm]
> Das heisst dann auf der Duagonalen sind sicher Nullen, da
> u=-u , z=-z
> Also z.B.
> [mm]A=\left( \begin{array}{cc} 0 & -v \\ v & 0 \end{array} \right)[/mm]
bis hier her richtig.
ging ich denn richtig in der annahme, dass du [mm] $\dim_\mathbb{C} [/mm] V$ bestimmen willst?
> Nun würde ich sagen der Rang der Matrix ist 2, und da
> rang(f)+def(f)=dimV folgt 2+0=2
wenn meine annahme richtig ist, spielt der rang hier keine rolle.
> Nur wenn ich nun an die Formel von oben denke n*(n-1)/2
> bekomme ich 1, hab ich da was falsch gemacht?
das würde heißen, die dimension des [mm] $\mathbb{C}$-vektorraums [/mm] $V$ ist $1$, was auch stimmt. nach deinen obigen rechungen ist doch für $n = 2$: $V = [mm] \left\{A \in \mathbb{C}^{2 \times2} : A = \left( \begin{array}{cc} 0 & -v \\ v & 0 \end{array} \right) = v \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right), v \in \mathbb{C} \right\}$. [/mm] sind denn nun alle matrizen aus $V$ vielleicht vielfache einer matrix? könnte man diese matrix als basiselements des vektorrausm $V$ nehmen? da du etwas verwirrt scheinst: mach dir klar, dass $V$ untervektorraum des [mm] $\mathbb{C}$-vektorraums $\mathbb{C}^{n \times n}$ [/mm] der $n [mm] \times [/mm] n$-matrizen über [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] ist. welche dimension hat dieser vektorraum?
kannst du auch für $n = 3$ eine ähnliche aussage für die elemente aus $V$ und damit über $V$ selber machen? wie sieht es mit beliebigem $n$ aus?
grüße
andreas
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ging ich denn richtig in der annahme, dass du [mm] \dim_\mathbb{C} [/mm] V bestimmen willst?
In meinen Unterlagen ist das leider nicht präzisiert, aber wahrscheinlich war das zu trivial =)
Für n=3 habe ich die Matrizen
[mm] A=\pmat{ 0 & -v & -w \\ v & 0 & -z \\ w & z & 0 }
[/mm]
Dann kann ich einmal v, w und z ausklammern und bekomme
[mm] A=\pmat{ 0 & -v & 0 \\ v & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }=v*\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] B=\pmat{ 0 & 0 & -w \\ 0 & 0 & 0 \\ w & 0 & 0 }=w*\pmat{ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] C=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -z \\ 0 & z & 0 }=z*\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Also [mm] dim_{\IC}V=3=3*2/2
[/mm]
Ok, nun für den allgemeinen Fall bin ich wieder etwas unschlüssig..
Ich brauch einfach so viele Basismatrizen wie es Einträge oberhalb der Diagonalen hat, nicht? (Ist schlecht formuliert... Und nur eine Vermutung.)
Wie zeige ich so was mathematisch?
Lg Grenzwert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Di 08.04.2008 | | Autor: | Grenzwert |
Ok ich hab es mir nochmals überlegt:
Auf der Diagonalen sind nur Nullen, das heisst eine Spalte oder Zeile könne wir "streichen": bleiben also noch n*(n-1) Matrizen.
Nun sind die Matrizen durch die Vorschrift [mm] A^{t}=-A [/mm] eine Art symmetrisch.. Also einfach mit ungekehrten Vorzeichen. Deswegen brauchen wir nur die Hälfte der Matrizen..
Oje ich kann das nicht erklären..
Dann haben wir n*(n-1)/2
Stimmt das in etwa? Und wie formuliert man das mathematisch? Danke für die Hilfe! Grenzwert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Mi 09.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
das aufzuschreiben ist vieleicht wirklich nicht ganz so einfach. argumentiere, dass [mm] $A^t [/mm] = -A [mm] \; \Longleftrightarrow \; \forall \, i,\in \{1, ..., n\} [/mm] : [mm] a_{ii} [/mm] = 0 [mm] \wedge \forall \, [/mm] i, j [mm] \in \{1, ..., n\} \textrm{ mit } [/mm] i > j: [mm] a_{ij} [/mm] = - [mm] a_{ji}$ [/mm] und das sind ebene genau $n + [mm] \sum_{k=0}^{n-1}k [/mm] = [mm] \frac{n(n+1)}{2}$ [/mm] gleichungen für elemente im [mm] $n^2$-dimensionalen [/mm] vektorraum [mm] $\mathbb{C}^{n \times n}$. [/mm] vielleicht etwas überformalisiert, aber so in die richtung wirst du bestimmt argumentieren können, wenn dir der sachverhalt klar ist, wie es ja nach deiner letzten mitteilung zu sein scheint 
grüße
andreas
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