www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Dimension eines Abbildungsraum
Dimension eines Abbildungsraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Dimension eines Abbildungsraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:20 So 20.01.2013
Autor: JoeSunnex

Aufgabe
A3.) Betrachte den [mm] $\IR$-Vektorraum $\IR^{\IR}$ [/mm] aller Abbildungen von [mm] $\IR \rightarrow \IR$. [/mm] Seien
[mm] $f_1: \IR \rightarrow \IR [/mm] : x [mm] \mapsto \cos(x)\\ [/mm]
[mm] f_2: \IR \rightarrow \IR [/mm] : x [mm] \mapsto \sin(x)\\ [/mm]
[mm] f_3: \IR \rightarrow \IR [/mm] : x [mm] \mapsto 0\\ [/mm]
[mm] f_4: \IR \rightarrow \IR [/mm] : x [mm] \mapsto 1\\ [/mm]
[mm] f_5: \IR \rightarrow \IR [/mm] : x [mm] \mapsto x\\ [/mm]
[mm] f_6: \IR \rightarrow \IR [/mm] : x [mm] \mapsto [/mm] 1+x.

Sei $V = [mm] \left$ [/mm] der von den Vektoren [mm] $f_1,\dots,f_6$ [/mm] aufgespannte Teilraum von [mm] $\IR^{\IR}$. [/mm]

a.) Bestimmen Sie die Dimension von $V$.

Hallo zusammen,

habe ein Problem beim Bestimmen der Dimension vom Teilraum $V$ und zwar weiß, ich, dass ich herausfinden muss welche Vektoren bzw. Abbildungen im Aufspann linear unabhängig sind, um mir so die Basis zu konstuieren, deren Kardinalität ja die Dimension des VR ist.

Also wäre der Ansatz mit $a,b,c,d,e,f [mm] \in \IR$: [/mm]
[mm] $a\cos(x)+b\sin(x)+c\cdot 0+d\cdot [/mm] 1+ [mm] e\cdot [/mm] x + f [mm] \cdot [/mm] (1+x) = 0$.

Wie muss ich jetzt weiter verfahren?

Grüße
Joe

Hieraus folgt aus trivialen Gründen, dass $c [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig ist und, dass [mm] $d\cdot [/mm] 1+ [mm] e\cdot [/mm] x = f [mm] \cdot [/mm] (1+x)$ eine Linearkombination (wenn $d=e$) an sich ist.


        
Bezug
Dimension eines Abbildungsraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 So 20.01.2013
Autor: fred97


> A3.) Betrachte den [mm]\IR[/mm]-Vektorraum [mm]\IR^{\IR}[/mm] aller
> Abbildungen von [mm]\IR \rightarrow \IR[/mm]. Seien
>  [mm]$f_1: \IR \rightarrow \IR[/mm] : x [mm]\mapsto \cos(x)\\[/mm]
>  [mm]f_2: \IR \rightarrow \IR[/mm]
> : x [mm]\mapsto \sin(x)\\[/mm]
>  [mm]f_3: \IR \rightarrow \IR[/mm] : x [mm]\mapsto 0\\[/mm]
>  
> [mm]f_4: \IR \rightarrow \IR[/mm] : x [mm]\mapsto 1\\[/mm]
>  [mm]f_5: \IR \rightarrow \IR[/mm]
> : x [mm]\mapsto x\\[/mm]
>  [mm]f_6: \IR \rightarrow \IR[/mm] : x [mm]\mapsto[/mm] 1+x.
>  
> Sei [mm]V = \left[/mm] der von den
> Vektoren [mm]f_1,\dots,f_6[/mm] aufgespannte Teilraum von
> [mm]\IR^{\IR}[/mm].
>  
> a.) Bestimmen Sie die Dimension von [mm]V[/mm].
>  Hallo zusammen,
>  
> habe ein Problem beim Bestimmen der Dimension vom Teilraum
> [mm]V[/mm] und zwar weiß, ich, dass ich herausfinden muss welche
> Vektoren bzw. Abbildungen im Aufspann linear unabhängig
> sind, um mir so die Basis zu konstuieren, deren
> Kardinalität ja die Dimension des VR ist.
>  
> Also wäre der Ansatz mit [mm]a,b,c,d,e,f \in \IR[/mm]:
>  
> [mm]a\cos(x)+b\sin(x)+c\cdot 0+d\cdot 1+ e\cdot x + f \cdot (1+x) = 0[/mm].
>
> Wie muss ich jetzt weiter verfahren?
>  
> Grüße
>  Joe
>  
> Hieraus folgt aus trivialen Gründen, dass [mm]c \in \IR[/mm]
> beliebig ist und, dass [mm]d\cdot 1+ e\cdot x = f \cdot (1+x)[/mm]
> eine Linearkombination (wenn [mm]d=e[/mm]) an sich ist.
>  


Da [mm] f_3=0 [/mm] und [mm] f_6=f_4+f_5 [/mm] ist, haben wir

[mm] V= [/mm]

Zeige nun, dass [mm] f_1,f_2,f_4,f_5 [/mm] linear unabhängig sind.

FRED

Bezug
                
Bezug
Dimension eines Abbildungsraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 So 20.01.2013
Autor: JoeSunnex

Ich danke dir für deine Antwort Fred.

Also wäre jetzt der Ansatz:
[mm] $a\cos(x)+b\sin(x)+d\cdot [/mm] 1+ [mm] e\cdot [/mm] x = 0 $.

Im Grunde sehe ich, dass cos und sin lin. unabhängig sind, da dies bereits in einer vorherigen Übung gezeigt wurde, desweiteren muss d=0 und e=0 sein, da ansonsten 0 nicht erreicht werden kann, daher folgt, die triviale Linearkombination und so die lineare Unabhängigkeit.

Andernfalls müsste ich doch die einzelnen Nullstellen ausprobieren oder? Also z.B. für $x= 0$ ist $a+d = 0$...

Grüße
Joe

Bezug
                        
Bezug
Dimension eines Abbildungsraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:08 So 20.01.2013
Autor: angela.h.b.

Hallo,

> Also wäre jetzt der Ansatz:

wir machen es ganz genau, okay?

Der Ansatz wäre [mm] af_1+bf_2+df_4+ef_5=Nullfunktion. [/mm]

Wir haben es hier mit einer Gleichheit von Funktionen zu tun,
Funktion rechts=Funktion links.
Was bedeutet das?

Dies:
für alle [mm] x\in\IR [/mm] gilt
[mm] (af_1+bf_2+df_4+ef_5)(x)=Nullfunktion(x) [/mm]
<==>
[mm] af_1(x)+bf_2(x)+df_4(x)+ef_5(x)=0 [/mm]
<==>

>  [mm]a\cos(x)+b\sin(x)+d\cdot 1+ e\cdot x = 0 [/mm].

Da dies für alle x gilt, gilt es für alle x-Werte, die ich mir ausdenke. Also gilt es auch für
für x=0, [mm] x=\pi/2, x=\pi [/mm] und [mm] x=-\pi/2. [/mm]

==>  ein LGS mit den Variablen a,b,d,e.

LG Angela




Bezug
                                
Bezug
Dimension eines Abbildungsraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 So 20.01.2013
Autor: JoeSunnex

Hallo angela, danke dir für deine Antwort.

>  
> wir machen es ganz genau, okay?
>  

Ja natürlich ist es ganz genau besser als schnell, bloß da ich gerade inmitten der Klausurvorbereitung stecke, versuche ich so wenig Aufwand wie möglich zu erzeugen :)

> Der Ansatz wäre [mm]af_1+bf_2+df_4+ef_5=Nullfunktion.[/mm]
>  
> Wir haben es hier mit einer Gleichheit von Funktionen zu
> tun,
>  Funktion rechts=Funktion links.
>  Was bedeutet das?
>  
> Dies:
>  für alle [mm]x\in\IR[/mm] gilt
>  [mm](af_1+bf_2+df_4+ef_5)(x)=Nullfunktion(x)[/mm]
>  <==>
>  [mm]af_1(x)+bf_2(x)+df_4(x)+ef_5(x)=0[/mm]
>  <==>
>  >  [mm]a\cos(x)+b\sin(x)+d\cdot 1+ e\cdot x = 0 [/mm].
>  
> Da dies für alle x gilt, gilt es für alle x-Werte, die
> ich mir ausdenke. Also gilt es auch für
>  für x=0, [mm]x=\pi/2, x=\pi[/mm] und [mm]x=-\pi/2.[/mm]
>  
> ==>  ein LGS mit den Variablen a,b,d,e.

>  

OK alles klar, also gilt:
Für $x = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a+d=0$
Für $x = [mm] \pi/2 \Rightarrow b+d+\frac{e\pi}{2} [/mm] = 0$
Für $x = [mm] \pi \Rightarrow -a+d+\pi [/mm] e = 0$
Für $x = [mm] -\frac{\pi}{2} \Rightarrow -b+d-\frac{e\pi}{2} [/mm] = 0$

Gleichungen seien römisch nummeriert und so gilt:
$II + IV: 2d = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] d = 0$
$I: a = 0$
$III: e = 0$
$IV: b = 0$

Also sind [mm] $f_1,f_2,f_4,f_5$ [/mm] linear unabhängig und daher ist die Dimension von V 4.

Ist diese Rechnung korrekt?

Grüße
Joe


Bezug
                                        
Bezug
Dimension eines Abbildungsraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 So 20.01.2013
Autor: angela.h.b.

Hallo,

ja, richtig.

LG Angela


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de