Dimension und Basis des Kerns < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 Mo 17.02.2014 | | Autor: | Infoandi |
| Aufgabe | Gegeben ist die lineare Abbildung f : [mm] \IR^{8} \to \IR^{8} [/mm] mit
[mm] f(\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{8}})= \vektor{x_{1}-3x_{8}\\4x_{1}-2x_{2}-6x_{8}\\-x_{1}+x_{2}} [/mm] für alle x = [mm] (x_{1},x_{2},x_{8})^{T} \in \IR^{8}.
[/mm]
a) Berechnen Sie eine Basis des Kerns von f.
b) Bestimmen Sie die Dimension des Bildes von f. |
Hallo,
ich habe das ganze jetzt erstmal mit den [mm] x_{3}...x_{7} [/mm] Spalten in die Zeilenstufenform gebracht. War mir nicht sicher ob ich die nicht auch einfach weglassen kann, da die eh alle 0 sind.
Dann habe ich raus bekommen, dass es 3 Pivotspalten gibt also ist rg(f) = 3 und somit die dim Ker(f) = 5 wegen der Dimensionsformel.
Meine Lösung für a) wäre also der Nullvektor, da f linear muss er [mm] \in [/mm] Ker(f) sein. Wie kann ich aber die anderen 4 Basen bestimmen ? (Auch wenn es nicht gefragt ist). Normal macht man dies doch durch die freien Parameter aber hier ist ja keine Abhängigkeit, da die alle 0 sind.
b) rg(f) = dim Col(f) = 3. Die Dimension des Bildes ist 3.
Danke im voraus,
Infoandi
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Hallo,
> Gegeben ist die lineare Abbildung f : [mm]\IR^{8} \to \IR^{8}[/mm]
> mit
> [mm]f(\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{8}})= \vektor{x_{1}-3x_{8}\\4x_{1}-2x_{2}-6x_{8}\\-x_{1}+x_{2}}[/mm]
> für alle x = [mm](x_{1},x_{2},x_{8})^{T} \in \IR^{8}.[/mm]
>
So wie die Abbildung hier steht ist es Unsinn. [mm] $(x_1,x_2,x_8)^T \in \mathbb \notin \mathbb R^8$, [/mm] das wäre ein Vektor im [mm] $\mathbb R^3$, [/mm] also passt die Abbildungsvorschrift nicht zur Definitionmenge, oder auch der Wertemenge.
> a) Berechnen Sie eine Basis des Kerns von f.
> b) Bestimmen Sie die Dimension des Bildes von f.
> Hallo,
> ich habe das ganze jetzt erstmal mit den [mm]x_{3}...x_{7}[/mm]
> Spalten in die Zeilenstufenform gebracht. War mir nicht
> sicher ob ich die nicht auch einfach weglassen kann, da die
> eh alle 0 sind.
Also hast du sie hier weggelassen?
Ist also f definiert durch:
[mm] $f(\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_3\\x_4 \\x_5 \\ x_6 \\ x_7\\x_{8}})= \vektor{x_{1}-3x_{8}\\4x_{1}-2x_{2}-6x_{8}\\0 \\0 \\0 \\0 \\0\\-x_{1}+x_{2}}$
[/mm]
> Dann habe ich raus bekommen, dass es 3 Pivotspalten gibt
> also ist rg(f) = 3 und somit die dim Ker(f) = 5 wegen der
> Dimensionsformel.
>
> Meine Lösung für a) wäre also der Nullvektor, da f
Die Menge [mm] $\{0\}$ [/mm] ist linear abhängig. Jede Menge, die den Nullvektor enthält ist linear abhängig kann also keine Basis sein. Der Nullvektor ist niemals Basis von irgendwas. Desweiteren hat jede Basis eines 5-dimensionalen Raums 5 Elemente, nicht eines.
> linear muss er [mm]\in[/mm] Ker(f) sein. Wie kann ich aber die
> anderen 4 Basen bestimmen ? (Auch wenn es nicht gefragt
> ist). Normal macht man dies doch durch die freien Parameter
> aber hier ist ja keine Abhängigkeit, da die alle 0 sind.
Der Unterraum hat unendlich viele Basen. Eine Basis hat 5 Elemente. Eine Basis ist immer eine Teilmenge des Vektorraums.
> b) rg(f) = dim Col(f) = 3. Die Dimension des Bildes ist 3.
Für was steht Col?
> Danke im voraus,
> Infoandi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Di 18.02.2014 | | Autor: | Infoandi |
Nein ich habe bei der Definition von f nichts weg gelassen. Erst später bei der Berechnung der Matrix. Hab aber beides probiert, die Nicht-Pivotspalten, die ich weggelassen habe hätten sich eh nicht verändert.
Ok der Nullvektor ist also keine Basis. Wie bekomme ich dann eine Basis des Ker(f) heraus, wenn alle nicht-Pivotspalten 0 sind ?
Col steht für Column, Col(f) steht für den Spaltenraum von f.
danke für die schnelle Antwort.
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:10 Di 18.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Nein ich habe bei der Definition von f nichts weg gelassen.
> Erst später bei der Berechnung der Matrix.
Du machst jetzt folgendes: schreib die Def. von f hier rein, und zwar so, wie sie in der Aufgabenstellung steht.
FRED
> Hab aber beides
> probiert, die Nicht-Pivotspalten, die ich weggelassen habe
> hätten sich eh nicht verändert.
>
> Ok der Nullvektor ist also keine Basis. Wie bekomme ich
> dann eine Basis des Ker(f) heraus, wenn alle
> nicht-Pivotspalten 0 sind ?
>
> Col steht für Column, Col(f) steht für den Spaltenraum
> von f.
>
> danke für die schnelle Antwort.
> Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Di 18.02.2014 | | Autor: | Infoandi |
| Aufgabe | Gegeben ist die lineare Abbildung f : [mm] \IR^{8} \to \IR^{8} [/mm] mit
[mm] f(\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{8}})= \vektor{x_{1}-3x_{8}\\4x_{1}-2x_{2}-6x_{8}\\-x_{1}+x_{2}} [/mm] für alle x = [mm] (x_{1},x_{2},x_{8})^{T} \in \IR^{8}.
[/mm]
a) Berechnen Sie eine Basis des Kerns von f.
b) Bestimmen Sie die Dimension des Bildes von f. |
Hallo,
hier nochmal die exakte und unveränderte Aufgabenstellung.
Aus dieser oben genannten Aufgabe habe ich folgende Matrix erstellt:
A = [mm] \pmat{1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 \\ 4 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
nun fragte ich mich ob ich nicht die Nullspalten weglassen kann. Also:
A= [mm] \pmat{1&0&-3\\4&-2&-8\\-1&1&0}
[/mm]
Bei beiden komme ich auf das Ergebnis [mm] x_{1},x_{2},x_{8} [/mm] = 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Di 18.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die lineare Abbildung f : [mm]\IR^{8} \to \IR^{8}[/mm]
> mit
> [mm]f(\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{8}})= \vektor{x_{1}-3x_{8}\\4x_{1}-2x_{2}-6x_{8}\\-x_{1}+x_{2}}[/mm]
> für alle x = [mm](x_{1},x_{2},x_{8})^{T} \in \IR^{8}.[/mm]
>
> a) Berechnen Sie eine Basis des Kerns von f.
> b) Bestimmen Sie die Dimension des Bildes von f.
> Hallo,
>
> hier nochmal die exakte und unveränderte
> Aufgabenstellung.
Das glaub ich nicht !!!!
FRED
> Aus dieser oben genannten Aufgabe habe ich folgende Matrix
> erstellt:
>
> A = [mm]\pmat{1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 \\ 4 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> nun fragte ich mich ob ich nicht die Nullspalten weglassen
> kann. Also:
>
> A= [mm]\pmat{1&0&-3\\4&-2&-8\\-1&1&0}[/mm]
>
> Bei beiden komme ich auf das Ergebnis [mm]x_{1},x_{2},x_{8}[/mm] = 0
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Di 18.02.2014 | | Autor: | Infoandi |
| Aufgabe | Gegeben ist die lineare Abbildung f : [mm] \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] mit
[mm] f(\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}})= \vektor{x_{1}-3x_{3}\\4x_{1}-2x_{2}-6x_{3}\\-x_{1}+x_{2}} [/mm] für alle x = [mm] (x_{1},x_{2},x_{3})^{T} \in \IR^{3}.
[/mm]
a) Berechnen Sie eine Basis des Kerns von f.
b) Bestimmen Sie die Dimension des Bildes von f. |
Oh Gott, das ist mir aber peinlich, habe gestern auf meinem Desktop-PC gearbeitet und die Auflösung war wohl nicht hoch genug. Hatte mehrere Male drauf geschaut und immer die 3 als 8 erkannt.
Bin jetzt am Laptop. Es ist definitiv [mm] \IR^{3}
[/mm]
Tut mir leid !
Somit ergibt sich: rg(f) = 3 => dim Ker(f) = 0
Wie kann ich dann eine Basis des Ker(f) angeben wenn seine Dimension 0 ist ?
Da alle Spalten Pivotspalten sind, sind alle linear unabhängig.
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Di 18.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die lineare Abbildung f : [mm]\IR^{3} \to \IR^{3}[/mm]
> mit
> [mm]f(\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}})= \vektor{x_{1}-3x_{3}\\4x_{1}-2x_{2}-6x_{3}\\-x_{1}+x_{2}}[/mm]
> für alle x = [mm](x_{1},x_{2},x_{3})^{T} \in \IR^{3}.[/mm]
>
> a) Berechnen Sie eine Basis des Kerns von f.
> b) Bestimmen Sie die Dimension des Bildes von f.
> Oh Gott, das ist mir aber peinlich, habe gestern auf
> meinem Desktop-PC gearbeitet und die Auflösung war wohl
> nicht hoch genug. Hatte mehrere Male drauf geschaut und
> immer die 3 als 8 erkannt.
> Bin jetzt am Laptop. Es ist definitiv [mm]\IR^{3}[/mm]
> Tut mir leid !
> Somit ergibt sich: rg(f) = 3 => dim Ker(f) = 0
> Wie kann ich dann eine Basis des Ker(f) angeben wenn seine
> Dimension 0 ist ?
Die Basis von [mm] \{0\} [/mm] ist [mm] \emptyset.
[/mm]
FRED
> Da alle Spalten Pivotspalten sind, sind alle linear
> unabhängig.
>
> andreas
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