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| Aufgabe | | Seien [mm]A,B[/mm] in [mm]M_{33}( \IR)[/mm] . Seien [mm]\chi_{A}= T(T-1)(T+1)[/mm] und [mm]\chi_{B}= (T-1)(T^{2}-6T+3)[/mm] . Zu beweisen ist, dass es [mm]dim(Kern(AB))=1[/mm] gilt. |
Hallo!
Aber wie beweise ich es? Ich komme aber auf keine Idee. Wie kann ich das charakteristisches Polynom von AB finden?
Ich hoffe, dass mir hier helfen können! Vielen lieben Dank!
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Hallo und guten Morgen !
Schauen wir mal: Die Determinante einer Matrix ist ja - ggf. bis auf Vorzeichen -gleich dem Koeffizienten zum Monom [mm] T^0 [/mm]
des char. Polynoms. Also gilt
[mm] \det (B)\neq 0,\:\: \det [/mm] (A)=0
Also ist zu zeigen:
Kern (A) hat Dimension 1.
B können wir hierbei ausser acht lassen (da [mm] \det(B)\neq [/mm] 0, bildet B Unterräume
auf gleichdimensionale Unterräume ab, und Urbilder von Unterräumen unter B sind gleichdimensionale Unterräume. Falls
also [mm] \dim [/mm] (kern(A))=1 ist, folgt hieraus auch [mm] \dim)kern(AB))=1).
[/mm]
Wir erhalten noch Spur(A)=0 (die Spur ist dem Betrage nach gleich dem Koeff. zum Grade n-1 (hier n=3) des char. Polynoms.
Weiterhin hat A die Eigenwerte 0, -1,1, deren algebraische Vielfachheit jeweils 1 ist.
Damit sollte man doch schonmal weiterkommen, oder ?
Gruss,
Mathias
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Danke!!!
Jetzt ist es klar geworden!!!
> Hallo und guten Morgen !
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> Schauen wir mal: Die Determinante einer Matrix ist ja -
> ggf. bis auf Vorzeichen -gleich dem Koeffizienten zum Monom
> [mm]T^0[/mm]
> des char. Polynoms. Also gilt
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> [mm]\det (B)\neq 0,\:\: \det[/mm] (A)=0
>
> Also ist zu zeigen:
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> Kern (A) hat Dimension 1.
> B können wir hierbei ausser acht lassen (da [mm]\det(B)\neq[/mm] 0,
> bildet B Unterräume
> auf gleichdimensionale Unterräume ab, und Urbilder von
> Unterräumen unter B sind gleichdimensionale Unterräume.
> Falls
> also [mm]\dim[/mm] (kern(A))=1 ist, folgt hieraus auch
> [mm]\dim)kern(AB))=1).[/mm]
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> Wir erhalten noch Spur(A)=0 (die Spur ist dem Betrage nach
> gleich dem Koeff. zum Grade n-1 (hier n=3) des char.
> Polynoms.
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> Weiterhin hat A die Eigenwerte 0, -1,1, deren algebraische
> Vielfachheit jeweils 1 ist.
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> Damit sollte man doch schonmal weiterkommen, oder ?
>
> Gruss,
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> Mathias
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