Dimension von Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Ich habe die Sachen mit Abbildungen noch nicht ganz verstanden:
Also eine Abbildung entsteht durch die Multiplikation einer Matrix A mit einem Vektor V.
Wichtig ist für Aufgabe rundherum ist hauptsächlich der Dimensionssatz: dim Im(A) + dim ker(A) = dimV.
Also: dim Im ist die Dimension der Abbildung. Auf die Dimension kommt man indem man den Rang der beschreibenden Matrix ausrechnet.
Wie genau komme ich auf dimV, also die Dimension des Raums von dem abgebildet wird? Also bisher habe ich nur Aufgaben gesehen die z.B. so hießen: "die Abbildung blablabla entsteht durch die Multiplikation eines Vektors aus dem R6 und der Matrix A".
Konkret würde ich hier sagen, dass die Dimension des Raum 6 ist, doch warum?
Die Dimension des Bildes ist wiederrum der Rang der Matrix A.
Und die dimension des Kern ist entweder durch den Dimensionssatz auszurechnen oder abzulesen indem man den Kern bestimmt.
Ich mache mal ein konkretes Beispiel, es wäre sehr sehr nett wenn jemand euch das ausführlich für mich lösen könnte, ich mache es so weit wie ich glaube dass es richtig ist:
1 0 0 0 -1 1
0 1 1 1 0 -1
1 0 1 1 1 1
0 1 0 0 -1 -1
Also die Abbildung entsteht durch die Multiplikation eines Vektors aus R6 mit dieser Matrix.
Den Kern der Abbildung berechne ich dann indem ich die Matrix auf Zeilenstufenform bringe und dann 0 als Lösung setze. Doch wie deute ich nun dies zu der Lösung, also zum Kern der Abbildung? (Dank dem Dimensionssatz weiss ich das der Kern die Dimension 2 haben muss.)
Und das nächste: Woher genau bekomme ich die Dimension des Raums? Also hier ist ja durch das "Vektor des R6" abzulesen, also ist der Abbildende Raum der R6 und hat die Dim. 6. Oder?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Kroni |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo,
Hi und [wllkommenmr],
>
> Ich habe die Sachen mit Abbildungen noch nicht ganz
> verstanden:
>
> Also eine Abbildung entsteht durch die Multiplikation einer
> Matrix A mit einem Vektor V.
Ja. Und zwar gibt es zu jeder linearen Abbildung eine eindeutige Matrix A.
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> Wichtig ist für Aufgabe rundherum ist hauptsächlich der
> Dimensionssatz: dim Im(A) + dim ker(A) = dimV.
Ja.
>
> Also: dim Im ist die Dimension der Abbildung.
Ja.
> Auf die
> Dimension kommt man indem man den Rang der beschreibenden
> Matrix ausrechnet.
Ja, oder man berechnet die Dimension des Spaltenraums von A, was aber genau das selbe ist.
>
> Wie genau komme ich auf dimV, also die Dimension des Raums
> von dem abgebildet wird? Also bisher habe ich nur Aufgaben
> gesehen die z.B. so hießen: "die Abbildung blablabla
> entsteht durch die Multiplikation eines Vektors aus dem R6
> und der Matrix A".
Ja. Du hast ja immer Vektoren aus dem [mm] \IR^m. [/mm] Die Dimension des [mm] \IR^m [/mm] ist immer m. Das kannst du dir so verdeutlichen: Die Dimension ist ja die Anzahl der Vektoren, die in der Basis deines Vektorraumes stehen. Eine Basis des [mm] \IR^m [/mm] besteht immer aus den kanonischen Einheitsvektoren. Um dann eine Basis des [mm] \IR^m [/mm] zu bilden, um damit dann den [mm] \IR^m [/mm] aufzuspannen, brauchst du genau m kanonische Einheitsvektoren. Das ist dann die Erklärung dafür, warum [mm] dim\IR^m=m.
[/mm]
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> Konkret würde ich hier sagen, dass die Dimension des Raum 6
> ist, doch warum?
Die Erklärung ist oben.
>
> Die Dimension des Bildes ist wiederrum der Rang der Matrix
> A.
Korrekt.
>
> Und die dimension des Kern ist entweder durch den
> Dimensionssatz auszurechnen oder abzulesen indem man den
> Kern bestimmt.
Ja. Du kannst ja berechnen, wie der Nullraum deiner Matrix A ausschaut, und dann gucken, wie viele linear unabhänge Vektreon diesen aufspannen.
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> Ich mache mal ein konkretes Beispiel, es wäre sehr sehr
> nett wenn jemand euch das ausführlich für mich lösen
> könnte, ich mache es so weit wie ich glaube dass es richtig
> ist:
>
> 1 0 0 0 -1 1
> 0 1 1 1 0 -1
> 1 0 1 1 1 1
> 0 1 0 0 -1 -1
>
> Also die Abbildung entsteht durch die Multiplikation eines
> Vektors aus R6 mit dieser Matrix.
Ja. Die Abbildung [mm] \phi(x)=Ax [/mm] geht vom [mm] \IR^6 [/mm] in den [mm] \IR^4, [/mm] da A eine 4x6 Matrix ist.
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> Den Kern der Abbildung berechne ich dann indem ich die
> Matrix auf Zeilenstufenform bringe und dann 0 als Lösung
> setze. Doch wie deute ich nun dies zu der Lösung, also zum
> Kern der Abbildung? (Dank dem Dimensionssatz weiss ich das
> der Kern die Dimension 2 haben muss.)
Nun, die Lösung zur Gleichung Ax=0 lautet in deinem speziellen Fall [mm] L={x_6\pmat{-1\\1\\0\\0\\0\\1}+x_4*\pmat{0\\0\\-1\\1\\0\\0} }.
[/mm]
Die reduzierte Zeilenstufenform sieht übrigens so aus:
[mm] \pmat{1&0&0&0&0&1 \\ 0&1&0&0&0&-1 \\ 0&0&1&1&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0} [/mm] woraus du dann deine Lösung ablesen kannst.
Du siehst, du kannst den Lösungsraum durch zwei linear unabhängige Vektoren aufspannen. Da dieser Lösungsraum maximal unabhängig ist, bildet dieser eine Basis und damit ist die Dimension des Nullraums von A = 2.
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> Und das nächste: Woher genau bekomme ich die Dimension des
> Raums? Also hier ist ja durch das "Vektor des R6"
> abzulesen, also ist der Abbildende Raum der R6 und hat die
> Dim. 6. Oder?
Ja, das stimmt.
Da du aus der reduzierten Zeilenstufenform deiner Matrix ablesen kannst, dass der Spaltenraum von A druch 4 linear unabhänige Vektoren aufgespannt wird, und der Nullraum von A durch die beiden Vektoren von oben, hat der Spaltenraum von A die Dimension 4. Das ist auch gleichzeitig der Rang deiner Matrix. Da der Kern der Matrix A den Rang 2 hat (Erklärung siehe oben), ergibt die Summe 6, was genau der Dimension des [mm] \IR^6, [/mm] von dem du aus abbildest, entspricht.
Ich hoffe, ich konnte dir hiermit ein wenig weiterhelfen=)
LG
Kroni
>
> Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:30 Do 29.11.2007 | | Autor: | nahpets87 |
Hallo Kroni:
Vielen Dank für diese tolle ausführliche Hilfe! Das hat mir echt geholfen!
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