Dimension von Kern und Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum
v aus V
a aus K fest gewählt
lin. Abb. [mm] f_{a}: [/mm] V->V mit [mm] f_{a}(v)=av [/mm] für alle v aus V
Bestimme die Dimension von [mm] Kern(f_{a}) [/mm] und [mm] Bild(f_{a}) [/mm] |
Für den Kern muss doch gelten:
[mm] f_{a}(v)=av=! [/mm] 0
Also für welche v aus V gilt diese Gleichung, würde ich mich fragen. Das gilt doch nur für v=0, wenn a ungleich 0.
Die Dimension ist doch die Basislänge. Wie lang muss meine Basis sein, um v=0 zu erzeugen? Wäre das die richtige Fragestellung?
Mit dem Bild hab ich auch noch keine Vorstellung.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Di 09.09.2014 | | Autor: | hippias |
> Sei V ein K-Vektorraum
> v aus V
> a aus K fest gewählt
>
> lin. Abb. [mm]f_{a}:[/mm] V->V mit [mm]f_{a}(v)=av[/mm] für alle v aus V
>
> Bestimme die Dimension von [mm]Kern(f_{a})[/mm] und [mm]Bild(f_{a})[/mm]
> Für den Kern muss doch gelten:
>
> [mm]f_{a}(v)=av=![/mm] 0
>
> Also für welche v aus V gilt diese Gleichung, würde ich
> mich fragen. Das gilt doch nur für v=0, wenn a ungleich
> 0.
Richtig.
>
> Die Dimension ist doch die Basislänge. Wie lang muss meine
> Basis sein, um v=0 zu erzeugen? Wäre das die richtige
> Fragestellung?
Besser: Wieviele Elemente enthaelt ein minimales Erzeugensystem des Raumes, der nur die Null enthaelt. Mal abseits der Definitionen: Welche Dimension wuerdest Du denn fuer den Nullraum raten?
>
> Mit dem Bild hab ich auch noch keine Vorstellung.
Ein Beispiel: $K= [mm] \IQ$ [/mm] und $V= [mm] \IQ^{3}$. [/mm] Ferner sei $a=-5$. Was ist dann z.B. $f((1,2,3))$ und $f((x,y,z))$? Hilft das? Uebrigens: Wenn Du die Dimension des Kerns hast, kannst Du direkt auf die Dimension des Bildes schliessen.
Der Vollstaendigkeit halber musst Du auf jeden Fall eine Fallunterscheidung fuer $a=0$ und [mm] $a\neq [/mm] 0$ machen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Di 09.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hippias,
> > Sei V ein K-Vektorraum
> > v aus V
> > a aus K fest gewählt
> >
> > lin. Abb. [mm]f_{a}:[/mm] V->V mit [mm]f_{a}(v)=av[/mm] für alle v aus V
> >
> > Bestimme die Dimension von [mm]Kern(f_{a})[/mm] und [mm]Bild(f_{a})[/mm]
> Uebrigens: Wenn Du die Dimension des Kerns hast, kannst Du
> direkt auf die Dimension des Bildes schliessen.
>
> Der Vollstaendigkeit halber musst Du auf jeden Fall eine
> Fallunterscheidung fuer [mm]a=0[/mm] und [mm]a\neq 0[/mm] machen.
wenn der Dimensionssatz für lineare Abbildungen zur Verfügung steht,
kann er das auch umgekehrt machen.
Aber ich mach' es jetzt auch mal etwas anders (die Tipps sind also für
geigenzaehler):
Im Falle [mm] $a=0=0_K \in [/mm] K$ ist [mm] $f_a(v) \equiv$ [/mm] ???Was bedeutet das für
[mm] $f_a(V)=f_0(V)=\{w \in V: \exists v \in V \text{ mit }f_0(v)=w\}$?
[/mm]
Im Falle $a [mm] \not=0_K$ [/mm] ist [mm] $f_a$ [/mm] eine injektive (Beweis?) lineare Abbildung $V [mm] \to [/mm] V$.
Dann zeige man:
Ist [mm] $(v_1,...,v_n)$ [/mm] eine linear unabhängige Familie (in [mm] $V\,$) [/mm] und ist $g [mm] \colon [/mm] V [mm] \to [/mm] W$ linear
und injektiv, so ist auch
[mm] $(g(v_1),...,g(v_n))$
[/mm]
eine linear unabhängige Familie (in [mm] $W\,$).
[/mm]
Danach kann man dieses Ergebnis auf die spezielle Situation anwenden...
Edit: Bevor ich's vergesse: Ist [mm] $f_a \colon [/mm] V [mm] \to [/mm] V$ mit [mm] $f_a(v):=a*v\,$ [/mm] gegeben,
und ist $a [mm] \neq 0_K\,,$ [/mm] dann kannst Du auch (einfach)
[mm] $f_a(V)=V$
[/mm]
(d.h. die Surjektivität von [mm] $f_a$) [/mm] nachrechnen...
Gruß,
Marcel
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> > Sei V ein K-Vektorraum
> > v aus V
> > a aus K fest gewählt
> >
> > lin. Abb. [mm]f_{a}:[/mm] V->V mit [mm]f_{a}(v)=av[/mm] für alle v aus V
> >
> > Bestimme die Dimension von [mm]Kern(f_{a})[/mm] und [mm]Bild(f_{a})[/mm]
> > Für den Kern muss doch gelten:
> >
> > [mm]f_{a}(v)=av=![/mm] 0
> >
> > Also für welche v aus V gilt diese Gleichung, würde ich
> > mich fragen. Das gilt doch nur für v=0, wenn a ungleich
> > 0.
> Richtig.
> >
> > Die Dimension ist doch die Basislänge. Wie lang muss meine
> > Basis sein, um v=0 zu erzeugen? Wäre das die richtige
> > Fragestellung?
> Besser: Wieviele Elemente enthaelt ein minimales
> Erzeugensystem des Raumes, der nur die Null enthaelt. Mal
> abseits der Definitionen: Welche Dimension wuerdest Du denn
> fuer den Nullraum raten?
Raten würde ich 0 oder 1. Wahrscheinl. ist die Dimension des Nullvektors 0.
Wenn V->V steht für [mm] K^n->K^n [/mm] [oder ist [mm] V=V^1 [/mm] ohne weiteres als eindimensional anzunehmen?], dann ist ja jeder Vektor aus V bzw [mm] K^n [/mm] darsgestellt als
[mm] c_1*v_1 [/mm] + ... + [mm] c_n*v_n [/mm] ; [mm] v=(v_1,...,v_n), [/mm] v aus V
F. d. Kern:
[mm] c_1*v_1 [/mm] + ... + [mm] c_n*v_n=0
[/mm]
Dass av=0 ist, muss (zB) v=0 sein:
[mm] c_1*0+...+c_n*0=0
[/mm]
Offenbar sind die Vektoren [mm] v_1=...=v_n=0 [/mm] linear abhängig. Eine Basis ist ein lin. unabh. Erz.system. v=0 ist lin. abh. von sich selbst, d h die Basislänge=Dimension ist 0.
Geht das so?
Bestimmt hab ich jetzt einige Begriffe bis zur Unkenntlichkeit strapaziert.
Und schön im Kreis herum gerechnet.
> >
> > Mit dem Bild hab ich auch noch keine Vorstellung.
> Ein Beispiel: [mm]K= \IQ[/mm] und [mm]V= \IQ^{3}[/mm]. Ferner sei [mm]a=-5[/mm]. Was
> ist dann z.B. [mm]f((1,2,3))[/mm] und [mm]f((x,y,z))[/mm]? Hilft das?
> Uebrigens: Wenn Du die Dimension des Kerns hast, kannst Du
> direkt auf die Dimension des Bildes schliessen.
>
> Der Vollstaendigkeit halber musst Du auf jeden Fall eine
> Fallunterscheidung fuer [mm]a=0[/mm] und [mm]a\neq 0[/mm] machen.
Schau ich mir noch an.
Aber vorweg eine andere Frage:
Gibt es einen Unterschied zwischen dem Bild einer Matrix und deren Spaltenraum?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Do 11.09.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Sei V ein K-Vektorraum
> > > v aus V
> > > a aus K fest gewählt
> > >
> > > lin. Abb. [mm]f_{a}:[/mm] V->V mit [mm]f_{a}(v)=av[/mm] für alle v aus V
> > >
> > > Bestimme die Dimension von [mm]Kern(f_{a})[/mm] und [mm]Bild(f_{a})[/mm]
> > > Für den Kern muss doch gelten:
> > >
> > > [mm]f_{a}(v)=av=![/mm] 0
> > >
> > > Also für welche v aus V gilt diese Gleichung, würde ich
> > > mich fragen. Das gilt doch nur für v=0, wenn a ungleich
> > > 0.
> > Richtig.
> > >
> > > Die Dimension ist doch die Basislänge. Wie lang muss meine
> > > Basis sein, um v=0 zu erzeugen? Wäre das die richtige
> > > Fragestellung?
> > Besser: Wieviele Elemente enthaelt ein minimales
> > Erzeugensystem des Raumes, der nur die Null enthaelt. Mal
> > abseits der Definitionen: Welche Dimension wuerdest Du denn
> > fuer den Nullraum raten?
>
> Raten würde ich 0 oder 1. Wahrscheinl. ist die Dimension
> des Nullvektors 0.
Unsinn. Ein Vektor hat keine Dimension.
Es ist [mm] $\dim \{0\}=0$
[/mm]
> Wenn V->V steht für [mm]K^n->K^n[/mm] [oder ist [mm]V=V^1[/mm] ohne
> weiteres als eindimensional anzunehmen?],
Unsinn. V war ein bel. Vektorraum über K.
> dann ist ja jeder
> Vektor aus V bzw [mm]K^n[/mm] darsgestellt als
>
> [mm]c_1*v_1[/mm] + ... + [mm]c_n*v_n[/mm] ; [mm]v=(v_1,...,v_n),[/mm] v aus V
Quatsch !
>
> F. d. Kern:
>
> [mm]c_1*v_1[/mm] + ... + [mm]c_n*v_n=0[/mm]
>
> Dass av=0 ist, muss (zB) v=0 sein:
>
> [mm]c_1*0+...+c_n*0=0[/mm]
>
> Offenbar sind die Vektoren [mm]v_1=...=v_n=0[/mm] linear abhängig.
> Eine Basis ist ein lin. unabh. Erz.system. v=0 ist lin.
> abh. von sich selbst, d h die Basislänge=Dimension ist 0.
>
> Geht das so?
nein.
>
>
> Bestimmt hab ich jetzt einige Begriffe bis zur
> Unkenntlichkeit strapaziert.
So ist es.
Zur Aufgabe:
Fall 1: a=0. Dann ist [mm] f_a [/mm] die Nullabbildung, also
[mm] kern(f_a)=V [/mm] und [mm] Bild(f_a)=\{0\}.
[/mm]
Fall 2: a [mm] \ne [/mm] 0. Dann ist
[mm] Bild(f_a)=V [/mm] und [mm] Kern(f_a)=\{0\}.
[/mm]
FRED
>
> Und schön im Kreis herum gerechnet.
>
>
>
> > >
> > > Mit dem Bild hab ich auch noch keine Vorstellung.
> > Ein Beispiel: [mm]K= \IQ[/mm] und [mm]V= \IQ^{3}[/mm]. Ferner sei [mm]a=-5[/mm]. Was
> > ist dann z.B. [mm]f((1,2,3))[/mm] und [mm]f((x,y,z))[/mm]? Hilft das?
> > Uebrigens: Wenn Du die Dimension des Kerns hast, kannst Du
> > direkt auf die Dimension des Bildes schliessen.
> >
> > Der Vollstaendigkeit halber musst Du auf jeden Fall eine
> > Fallunterscheidung fuer [mm]a=0[/mm] und [mm]a\neq 0[/mm] machen.
>
> Schau ich mir noch an.
> Aber vorweg eine andere Frage:
> Gibt es einen Unterschied zwischen dem Bild einer Matrix
> und deren Spaltenraum?
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Do 11.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > > > Sei V ein K-Vektorraum
> > > > v aus V
> > > > a aus K fest gewählt
> > > >
> > > > lin. Abb. [mm]f_{a}:[/mm] V->V mit [mm]f_{a}(v)=av[/mm] für alle v aus V
> > > >
> > > > Bestimme die Dimension von [mm]Kern(f_{a})[/mm] und [mm]Bild(f_{a})[/mm]
> > > > Für den Kern muss doch gelten:
> > > >
> > > > [mm]f_{a}(v)=av=![/mm] 0
> > > >
> > > > Also für welche v aus V gilt diese Gleichung, würde ich
> > > > mich fragen. Das gilt doch nur für v=0, wenn a ungleich
> > > > 0.
> > > Richtig.
> > > >
> > > > Die Dimension ist doch die Basislänge. Wie lang muss meine
> > > > Basis sein, um v=0 zu erzeugen? Wäre das die richtige
> > > > Fragestellung?
> > > Besser: Wieviele Elemente enthaelt ein minimales
> > > Erzeugensystem des Raumes, der nur die Null enthaelt. Mal
> > > abseits der Definitionen: Welche Dimension wuerdest Du denn
> > > fuer den Nullraum raten?
> >
> > Raten würde ich 0 oder 1. Wahrscheinl. ist die Dimension
> > des Nullvektors 0.
>
> Unsinn. Ein Vektor hat keine Dimension.
>
> Es ist [mm]\dim \{0\}=0[/mm]
es gibt leider (und darauf weist auch Bosch extra hin!) die Unsitte, anstatt
[mm] $\{0_V\}$
[/mm]
auch
[mm] $0_V$
[/mm]
für den Nullraum zu schreiben. Sowas kann solche Missverständnisse wie
oben nach sich ziehen.
Mal abgesehen davon, dass ich auch schon bei Physikern erlebt habe, dass
die sagen, dass ein Vektor die Dimension 3 hat, wenn er ein Koordinatenvektor
mit 3 Einträgen ist. Da gibt's dann auch noch Unterscheidungen zwischen
den Begriffen *Komponenten* und *Koordinaten* etc. pp.
Sowas wird etwa im Buch "Tensoranalysis" (Schade/Neemann) erwähnt.
Was ich noch erwähnen wollte, ist, dass
[mm] $(0_V)$
[/mm]
immer eine linear abhängige Familie ist.
Für Geigenzähler: Warum?
Naja, folgt aus
[mm] $k*0_V=0_V$
[/mm]
denn zwingend [mm] $k=0_K$?
[/mm]
Weiter kannst Du ebenso leicht folgern:
Ist der Nullvektor [mm] $0_V$ [/mm] in einer Familie enthalten, so ist diese stets linear abhängig!
Gruß,
Marcel
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ja, ich meinte auch den NullRAUM. Nur war mir erst nicht klar, welche Dimension dieser hat.
> Weiter kannst Du ebenso leicht folgern:
> Ist der Nullvektor [mm]0_V[/mm] in einer Familie enthalten, so ist
> diese stets linear abhängig!
>
Der Begriff "Familie" ist mir nicht bekannt, wenngleich es naheliegend ist, was damit gemeint ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 Do 11.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ja, ich meinte auch den NullRAUM. Nur war mir erst nicht
> klar, welche Dimension dieser hat.
>
> > Weiter kannst Du ebenso leicht folgern:
> > Ist der Nullvektor [mm]0_V[/mm] in einer Familie enthalten, so
> ist
> > diese stets linear abhängig!
> >
>
> Der Begriff "Familie" ist mir nicht bekannt, wenngleich es
> naheliegend ist, was damit gemeint ist.
kurzgesagt: Es ist eine Notation für ein Element
$f [mm] \in A^I\,.$
[/mm]
Man könnte etwa schreiben
[mm] $(f(x):\;\; [/mm] x [mm] \in [/mm] I)$ oder [mm] $(f(x))_{x \in I}$
[/mm]
für ein $f [mm] \colon [/mm] I [mm] \to A\,.$
[/mm]
Siehe auch
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Familie_%28Mathematik%29
Nebenbei: Du kennst sowas, speziell für [mm] $I=\{1,...,n\}$ [/mm] oder [mm] $I=\IN$ [/mm] eigentlich schon.
Denke ich jedenfalls... Warum?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Do 11.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Geigenzähler,
> > > Sei V ein K-Vektorraum
> > > v aus V
> > > a aus K fest gewählt
> > >
> > > lin. Abb. [mm]f_{a}:[/mm] V->V mit [mm]f_{a}(v)=av[/mm] für alle v aus V
> > >
> > > Bestimme die Dimension von [mm]Kern(f_{a})[/mm] und [mm]Bild(f_{a})[/mm]
> > > Für den Kern muss doch gelten:
> > >
> > > [mm]f_{a}(v)=av=![/mm] 0
> > >
> > > Also für welche v aus V gilt diese Gleichung, würde ich
> > > mich fragen. Das gilt doch nur für v=0, wenn a ungleich
> > > 0.
> > Richtig.
> > >
> > > Die Dimension ist doch die Basislänge. Wie lang muss meine
> > > Basis sein, um v=0 zu erzeugen? Wäre das die richtige
> > > Fragestellung?
> > Besser: Wieviele Elemente enthaelt ein minimales
> > Erzeugensystem des Raumes, der nur die Null enthaelt. Mal
> > abseits der Definitionen: Welche Dimension wuerdest Du denn
> > fuer den Nullraum raten?
>
> Raten würde ich 0 oder 1. Wahrscheinl. ist die Dimension
> des Nullvektors 0.
der Nullraum hat die Dimension [mm] $0\,,$ [/mm] wie Fred sagte. Es ist nämlich
[mm] $\text{span}(\varnothing)=\{0_V\}\,,$
[/mm]
da [mm] $\text{span}(\varnothing)$ [/mm] der kleinste Unterraum von [mm] $V\,$ [/mm] ist, der [mm] $\varnothing$ [/mm] enthält.
Jetzt könnte man auf die Idee kommen, dass aber doch die Menge der
Linearkombination von [mm] $\varnothing$ [/mm] auch [mm] $\varnothing$ [/mm] wäre. Das ist aber
mitnichten so, und wird eigentlich auch einzig und allein durch die Vereinbarung,
dass "die leere Summe 0 (hier [mm] $0_V$) [/mm] ist", geregelt. Hätte man diese nicht,
müßte man da definieren, was die Menge der Linearkombinationen aus [mm] $\varnothing$
[/mm]
ist...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Do 11.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aber vorweg eine andere Frage:
> Gibt es einen Unterschied zwischen dem Bild einer Matrix
> und deren Spaltenraum?
der Spaltenraum einer Matrix ist die Menge der Linearkombinationen der
Spaltenvektoren der Matrix.
Für eine Matrix [mm] $A\,$ [/mm] schreiben wir dafür mal [mm] $\text{SR}(A)\,.$
[/mm]
Das, was Du als "Bild einer Matrix" beschreibst, kann man unterschiedlich
definieren:
Man kann es direkt als den obigen Spaltenraum definieren, dann haben
wir Gleichheit per Definitionem.
Sicherlich lieber gesehen wird folgendes:
Für eine Matrix $A [mm] \in K^{m \times n}$ ($K\,$: [/mm] Körper) betrachte man die durch
[mm] $f_A(x):=A*x$ [/mm] ($x [mm] \in K^n=K^{n \times 1}$)
[/mm]
definierte lineare Abbildung [mm] $f_A \colon K^n \to K^m.$
[/mm]
Wir nennen
[mm] $f_A(K^n)$
[/mm]
das Bild der Matrix [mm] $A\,.$
[/mm]
In der Tat gilt dann auch
[mm] $f_A(K^n)=\text{SR}(A)\,.$
[/mm]
Wie beweißt man das? Das ist nicht schwer:
Man rechnet nach, dass für beliebiges [mm] $x=(x_1,...,x_n)^T \in K^n$ [/mm] gilt
[mm] $A*x=\sum_{k=1}^n x_k *A_{:,k}\,,$
[/mm]
wobei [mm] $A_{:,k}$ [/mm] die [mm] $k\,$-te [/mm] Spalte aus [mm] $A\,$ [/mm] ist. Dafür braucht man natürlich
die Kenntniss, wie das Matrixprodukt definiert ist.
Daraus folgt sofort
[mm] $f_A(K^n) \subseteq \text{SR}(A)\,.$
[/mm]
Ist umgekehrt
$y [mm] \in \text{SR}(A)\,,$
[/mm]
so gibt es per Definitionem von [mm] $\text{SR}(A)$
[/mm]
[mm] $\lambda_1,...,\lambda_n \in [/mm] K$
mit
[mm] $y=\sum_{k=1}^n \lambda_k A_{:,k}\,.$
[/mm]
Setze [mm] $\lambda:=(\lambda_1,...,\lambda_n)^T$ [/mm] und denke (kurz) nach, was
[mm] $A*\lambda$
[/mm]
ergeben wird. Was zeigt das (wegen der Beliebigkeit von $y [mm] \in \text{SR}(A)$)?
[/mm]
P.S. Die vielleicht etwas merkwürdige Notation [mm] $A_{:,k}$ [/mm] habe ich benutzt, weil
sie daran erinnert, wie man in Matlab Spalten aus einer Matrix auswählt.
Gruß,
Marcel
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