Dimension von Unterräumen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Do 25.11.2004 | | Autor: | Nette20 |
Hi!
Habe eine kleines Problem, das etwas eilt.
Folgende Aufgabenstellung:
a=(1 3 1 -1)T (transponiert) b= (1 2 3 4)T c=(1 5 -3 -11)T d=(2 -3 2 1)T e=(1 1 5 9)T
Vektoren von V = R4 Und U=[a,b,c] und W=[d,e] Unterräume von V.
a) Bestimmen Sie die Dimesion der Unterräume U,W, U+W, U geschnitten W und U vereinigt W von V, indem Sie jeweils eine Basis angeben.
b) Geben Sie eine Basis des Faktorraums V/U an.
Wäre über Hilfe sehr dankbar.
Zu a) weiß ich ja, dass man für die Dimension lediglich die Anzahl der Basisvektoren ausrechnen muss. Aber wie?
Zu b) weiß ich nix.
Vielen lieben Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Alexx |
Zuerst berechnen wir die Dimension von U. Dazu schreiben wir die Vektoren, die U erzeugen, in eine Matrix und wenden die Gauss-Elimination an:
1 3 1 -1 (a) 1 3 1 -1 (a) 1 3 1 -1 (a)
1 2 3 4 (b) 0 1 -2 -5 (a)-(b)=:(d) 0 1 -2 -5 (d)
1 5 -3 -11 (c) 0 2 -4 -10 (c)-(a)=:(e) 0 0 0 0 (e)-2(d)
Die Anzahl Nicht-Nullzeilen liefert nun die Dimension, also dim U = 2.
Das gleiche machen wir für W und erhalten dim W = 2.
Dann schreiben wir alle fünf Vektoren in eine Matrix und erhalten mit der gleichen Methode dim U+W = 3.
Die Formel [mm] dim U + dim W = dim U+W + dim U \cap W [/mm] liefert nun direkt [mm] dim U \cap W = 1 [/mm].
Dann gilt weder [mm] U \subset W [/mm] noch [mm] W \subset U [/mm] und somit ist [mm] U \cup W [/mm] kein Unterraum und hat somit keine Dimension.
Die Zeilen ungleich Null, die bei der Gauss-Elimination jeweils entstanden sind, bilden die gesuchten Basen.
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Ergänze die Basis von U mit der Standartbasis [mm] B=\{e_{1},...,e_{n}\}, [/mm] wobei [mm] e_{i}=(0,...,1,0,..0) [/mm] und schreibe Vektoren in Form einer Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
Wende die Gauss-Elimination an, um die Matrix auszurechnen. Dann solltest du am Ende sowas bekommen, wenn ich eben keinen Fehler gemacht habe:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & -7 & -14 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Daraus folgt, dass Basis von V/U besteht aus vier Vektoren [mm] \{a,b,e_{1},e_{2}\}
[/mm]
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