Dimension von Unterräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei n eine positive ganze Zahl und sei V der Vektorraum bestehend aus allen Polynomen über [mm] \IR [/mm] . Des weiteren Sei W der Unterraum bestehend aus allen Polynomen vom Grad n oder niedriger.
Zeigen Sie, dass die Teilmenge [mm] X=\{p(x) \in W:\integral_{0}^{1}p(x) dx=0\} [/mm] ein Unterraum von W ist und finde Sie dessen Dimension. |
Hi,
also der Unterraum W hat die Dimension n+1, da die Basis [mm] \{1,x,...,x^n\} [/mm] ist.
Betrachte ich jetzt X , dann ist erstmal einfach zu zeigen, dass es ein Unterraum von W ist, denn
i) das Null-Polynom ist enhalten denn [mm] \integral_{0}^{1}{0 dx}=0
[/mm]
ii) seien g(x) und h(x) [mm] \in [/mm] W dann ist [mm] \integral_{0}^{1}{g(x)+h(x) dx}=0 \Rightarrow \integral_{0}^{1}{g(x)dx}+\integral_{0}^{1}{h(x)}=0 \Rightarrow [/mm] h(x)+g(x) [mm] \in [/mm] W
iii) Sei [mm] p(x)\in [/mm] W und [mm] \lambda \in \IR [/mm] , dann ist [mm] \integral_{0}^{1}{\lambda*p(x)dx}=\lambda*\integral_{0}^{1}{p(x) dx} \in [/mm] W
Meine Frage ist nun, warum ist die Dimension von X = n und nicht auch n+1 ? Liegt es daran, dass hier ein integral vorliegt und deshalb der Grad von p(x)=n-1 sein muss ? und daher die dimension = n ist ? oder wie argumentiert man hier ?
Lg
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> Sei n eine positive ganze Zahl und sei V der Vektorraum
> bestehend aus allen Polynomen über [mm]\IR[/mm] . Des weiteren Sei
> W der Unterraum bestehend aus allen Polynomen vom Grad n
> oder niedriger.
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> Zeigen Sie, dass die Teilmenge [mm]X=\{p(x) \in W:\integral_{0}^{1}p(x) dx=0\}[/mm]
> ein Unterraum von W ist und finde Sie dessen Dimension.
> Meine Frage ist nun, warum ist die Dimension von X = n und
> nicht auch n+1 ? Liegt es daran, dass hier ein integral
> vorliegt und deshalb der Grad von p(x)=n-1 sein muss ? und
> daher die dimension = n ist ? oder wie argumentiert man
> hier ?
Hallo,
p muß nicht vom Grad n-1 sein.
Die Argumentation geht über Ausrechnen:
es ist für die Polynome, die in X sind, [mm] 0=\integral_{0}^{1}(a_nx^n+ ...a_0x^0) [/mm] dx= [mm] [\bruch{1}{n+1}a_nx^{n+1}+\bruch{1}{n}a_{n-1}x^{n}+...+\bruch{1}{1}a_0x]_{0}^{1}=\bruch{1}{n+1}a_n+\bruch{1}{n}a_{n-1}+...+a_0.
[/mm]
Es sind in X also Polynome einer ganz bestimmten Machart, nämlich die der Gestalt
[mm] p(x)=a_nx^n [/mm] + [mm] ...+a_{1}x -(\bruch{1}{n+1}a_n+\bruch{1}{n}a_{n-1}+...+\bruch{1}{2}a_1)x^0.
[/mm]
Nun überleg Dir eine Basis.
Gruß v. Angela
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Hallo angela,
danke für deine antwort.
Die Basis wäre doch dann aber die Gleiche wie für W , der einzige Unterschied wäre doch, nach dem as du geschrieben hast, die Konstante am ende, oder ?
lg
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> Hallo angela,
>
> danke für deine antwort.
>
> Die Basis wäre doch dann aber die Gleiche wie für W , der
> einzige Unterschied wäre doch, nach dem as du geschrieben
> hast, die Konstante am ende, oder ?
Hallo,
nein, so einfach ist das nicht...
Was genau schlägst Du als Basis vor?
Prüfe, ob sie wirklich funktioniert.
Tip: schreib mal "mein" Polynom in der Form [mm] a_n(...)+a_{n-1}(...)+a_1(...).
[/mm]
Gruß v. Angela
>
>
> lg
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Hallo,
bei deinem Polynom kann man die Koeffizieten [mm] a_{i} [/mm] ausklammern und da hinter der Klammer [mm] x^0 [/mm] steht fällt die Konstante am Ende weg, daher wäre eine mögliche Basis:
[mm] \{x,...,x^n\} [/mm] mit dimension n ... stimmt das ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Sa 13.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\{x,...,x^n\}[/mm] mit dimension n ... stimmt das ?
EDIT: Nein - die Elemente liegen nicht in X!
SEcki
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> Hallo,
>
> bei deinem Polynom kann man die Koeffizieten [mm]a_{i}[/mm]
> ausklammern
Hallo,
was steht dann da?
Wir sollten das mal vor Augen haben.
Der Anblick allein kann befruchten...
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Sa 13.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Zeigen Sie, dass die Teilmenge [mm]X=\{p(x) \in W:\integral_{0}^{1}p(x) dx=0\}[/mm]
> ein Unterraum von W ist und finde Sie dessen Dimension.
Anderer Weg: W hat Dimensiuon n-1, es ist nun [m]i:W\to\IR,p\mapsto \integral_{0}^{1}p(x) dx[/m] eine lineare Abbildung, und da [m]i(x)\neq 0[/m] ist, ist diese auch surjektiv. Nun ist [m]Ker(i)=X[/m] und die Dimension ergibt sich aus der Dimensionsformel zu n.
SEcki
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> > Zeigen Sie, dass die Teilmenge [mm]X=\{p(x) \in W:\integral_{0}^{1}p(x) dx=0\}[/mm]
> > ein Unterraum von W ist und finde Sie dessen Dimension.
>
> Anderer Weg: W hat Dimensiuon n-1, es ist nun
Laut meiner Lösung hat W Dimension n+1...
> [m]i:W\to\IR,p\mapsto \integral_{0}^{1}p(x) dx[/m] eine lineare
> Abbildung, und da [m]i(x)\neq 0[/m] ist, ist diese auch surjektiv.
> Nun ist [m]Ker(i)=X[/m] und die Dimension ergibt sich aus der
> Dimensionsformel zu n.
Was genau meinst du mit der Dimensionsformel ?
> SEcki
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Sa 13.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> > > Zeigen Sie, dass die Teilmenge [mm]X=\{p(x) \in W:\integral_{0}^{1}p(x) dx=0\}[/mm]
> > > ein Unterraum von W ist und finde Sie dessen Dimension.
> >
> > Anderer Weg: W hat Dimensiuon n-1, es ist nun
>
> Laut meiner Lösung hat W Dimension n+1...
Tippfehler ...
> > [m]i:W\to\IR,p\mapsto \integral_{0}^{1}p(x) dx[/m] eine lineare
> > Abbildung, und da [m]i(x)\neq 0[/m] ist, ist diese auch surjektiv.
> > Nun ist [m]Ker(i)=X[/m] und die Dimension ergibt sich aus der
> > Dimensionsformel zu n.
>
> Was genau meinst du mit der Dimensionsformel ?
![[]](/images/popup.gif) Dimensonssatz.
SEcki
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