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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | K ist Körper, V und W endlich erzeugte VR über K und [mm] \varphi: [/mm] V [mm] \to [/mm] W eine K-lineare Abb.
1) Wenn [mm] \varphi [/mm] surjektiv ist, dann ist dimV [mm] \leq [/mm] dimW
2) Sind b und [mm] b_1 [/mm] in V und ist [mm] (b_1,b_2) [/mm] l.u. und [mm] \varphi [/mm] injektiv, dann ist [mm] (\varphi(b_1),\varphi(b_2)) [/mm] l.u. |
Hallo, ich habe mal wieder Zweifel:
1) Zuerst dachte ich, dass das falsch sei, weil ich der Meinung war, dass für Surjektivität nicht unbedingt |W| [mm] \leq [/mm] |V| gelten muss, wenn die beiden Mengen unendlich sind. Dann habe ich mir überlegt ein Gegenbsp. zu überlegen, aber das kriege ich nicht hin. z.B [mm] \varphi: \mathbb R^2 \to \mathbb R^3, \vektor{x \\ y} \to [/mm] .. Die dritte Komponente werde ich ja nicht hinbekommen. Also ist die Aussage doch richtig?
2) Da finde ich kein Gegenbeispiel. Ich habe das Gefühl, dass man auch keins finden kann, aber so richtig beweisen/begründen kann ich es nicht!
Danke euch!
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> K ist Körper, V und W endlich erzeugte VR über K und
> [mm]\varphi:[/mm] V [mm]\to[/mm] W eine K-lineare Abb.
> 1) Wenn [mm]\varphi[/mm] surjektiv ist, dann ist dimV [mm]\leq[/mm] dimW
Hallo,
wenn [mm] \varphi [/mm] surjektiv ist, wird ja eine Teilmenge [mm] (v_1,...,v_m) [/mm] V auf eine Basis [mm] (w_1,...,w_m) [/mm] von W abgebildet.
Überlege Dir, daß die [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] linear unabhängig sein müssen.
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> 2) Sind b und [mm]b_1[/mm] in V und ist [mm](b_1,b_2)[/mm] l.u. und [mm]\varphi[/mm]
> injektiv, dann ist [mm](\varphi(b_1),\varphi(b_2))[/mm] l.u.
Sei 0= [mm] k\varphi(b_1)+l\varphi(b_2).
[/mm]
Verwende die Linearität v. [mm] \varphi.
[/mm]
Anschließend solltest Du über den Kern der injektiven Abbildung [mm] \varphi [/mm] nachdenken.
Gruß v. Angela
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