Dimensionen der Unterräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:07 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Juliia |
Es seien a=(1,0,2), b=(2,0,1), c=(0,2,0), d=(2,2,2) Elemente der Vektorräume [mm] V_{1}=\IZ_{3}^{3} [/mm] und [mm] V_{2}=\IZ_{5}^{3}. [/mm] Ferner seien U= Span(a,b) und W0 Span (c,d) Unterräume von [mm] V_{i}, [/mm] i=1,2.
a) Bestimmen Sie die Dimensionen der Unterräume U, W, U +W und U [mm] \cap [/mm] W von V, indem Sie jeweils eine Basis angeben.
b) Wählen Sie aus den Vektoren a, b, c und d jeweils eine Basis [mm] B_{i}, [/mm] i=1,2 des Vektorraums [mm] V_{i} [/mm] aus und geben Sie die Koordinatendarstellung eines beliebigen Vektors [mm] \nu=(x,y,z)\in V_{i} [/mm] bezüglich dieser Basis an.
Also, mein Problem ist, dass wir Dimensionen noch nicht in der Vorlesung hatten, aber in Hausaufgaben!
Kann mir jemand helfen?
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> Also, mein Problem ist, dass wir Dimensionen noch nicht
> in der Vorlesung hatten, aber in Hausaufgaben!
> Kann mir jemand helfen?
Hallo,
die Dimension eines Vektorraumes ist die Anzahl der Elemente in einer Basis des Vektorraumes.
Hast Du eine Basis, kennst Du die Dimension.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Juliia |
Also, U=Span ((1,0,2), (2,0,1)) a, b sind linear abhängig, denn die Gleichung [mm] (1,0,2)=\lambda [/mm] (2,0,1) ist mit [mm] \lambda= [/mm] 1/2 lösbar.
Bin ich schon auf dem richtigen Weg?
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> Also, U=Span ((1,0,2), (2,0,1)) a, b sind linear
> abhängig, denn die Gleichung [mm](1,0,2)=\lambda[/mm] (2,0,1) ist
> mit [mm]\lambda=[/mm] 1/2 lösbar.
Hallo,
Moment!
Wenn die Vektoren [mm] \in \IR^3 [/mm] sind, ist das nicht der Fall: [mm] \bruch{1}{2}*\vektor{2\\0\\1}=\vektor{1\\0\\\bruch{1}{2}}.
[/mm]
Im [mm] \IR^3 [/mm] sind die linear unabhängig.
Allerdings: hast Du die Aufgabe richtig durchgelesen?
Du sollst das einmal bearbeiten für $ [mm] V_{1}=\IZ_{3}^{3} [/mm] $ und dann noch für $ [mm] V_{2}=\IZ_{5}^{3}. [/mm] $
> Bin ich schon auf dem richtigen Weg?
Fang mal mit mit [mm] V_{1}=\IZ_{3}^{3} [/mm] an. Es stammen also die Einträge aus [mm] \IZ_{3}.
[/mm]
Dann ist nämlich (1,0,2)=2*(2,0,1) .
Vielleicht meintest Du das ja. Ich bin mir aber nicht sehr sicher.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Juliia |
Wenn a und b unabhängig sind , dann bilden sie eine Basis von U und es gilt Dim U=2, oder wie?
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> Wenn a und b unabhängig sind , dann bilden sie eine Basis
> von U und es gilt Dim U=2, oder wie?
Hallo,
genau.
Und wenn sie nicht linear unabhängig sind, ist die Dimension von U kleiner als 2.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Juliia |
Ja, aber in meinem Fall sind sie oder?
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> Ja, aber in meinem Fall sind sie oder?
Hallo,
Du sagst ja nicht genau, welchen Fall Du gerade bearbeitest!
Löst Du die Aufgabe nun für den Vektorraum [mm] \IR^3, \IZ_3^3 [/mm] oder [mm] \IZ_5^5.
[/mm]
Das hast Du bisher noch nicht verraten. Ich habe Dir ja vorgemacht, daß das zu Unterschieden führen kann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Juliia |
Ich versuche grade [mm] V_{1}=\IZ_{3}^{3} [/mm] irgendwie hinzukriegen.
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> Ich versuche grade [mm]V_{1}=\IZ_{3}^{3}[/mm] irgendwie
> hinzukriegen.
Aha.
Und?
Sind [mm] a,b\in\IZ_{3}^{3} [/mm] linear unabhängig?
(Ich hatte doch vorgerechnet, daß sie Vielfache voneinander sind...)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Juliia |
Ok die sind unabhängig, dann bilden sie diese Basis von U mit Dim U=2 aber wie komme ich weiter?
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> Ok die sind unabhängig,
Hallo,
nein, sind sie nicht.
Wie habt Ihr lineare Unabhängigkeit definiert?
Gruß v. Angela
> dann bilden sie diese Basis von U
> mit Dim U=2 aber wie komme ich weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Di 24.11.2009 | | Autor: | Juliia |
Vektoren sind dann linear abhängig (=paralell) wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist
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> Vektoren sind dann linear abhängig (=paralell) wenn der
> eine ein Vielfaches des anderen ist
Hallo,
für zwei Vektoren, womit wir es hier zu tun haben, ist das richtig.
(Es ist trotzdem notwendig, daß Du die Frage auch für n Vektoren beantworten kannst, und falls Du nicht fürs Grund- oder Sonderschullehramt studierst, dann auch für eine menge von unendlich vielen Vektoren).
Und welche Schlüsse hast Du aus der Erkenntnis mit den Vielfachen gezogen?
Wir waren doch dabei, die Vektoren
a=(1,0,2), b=(2,0,1)
als Elemente des Vektorrraumes $ [mm] V_{1}=\IZ_{3}^{3} [/mm] $ über [mm] \IZ_3 [/mm] zu betrachten.
Hast Du denn mal 2*a ausgerechnet?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Di 24.11.2009 | | Autor: | Juliia |
a=(2,0,4) b=(4,0,2) ja die sind abhängig.
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Hallo Julia,
> a=(2,0,4) b=(4,0,2) ja die sind abhängig.
Dann müsste es ja ein [mm] k\in\IR [/mm] geben, so dass [mm] \vec{a}=k\vec{b} [/mm] ist.
Wie groß ist dieses k Deiner Ansicht nach hier?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Di 24.11.2009 | | Autor: | Juliia |
k=2
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Ja. Aber nur im [mm] \IZ_3 [/mm] und sonst nirgends.
Wenn Du noch dabei bist, diesen Fall zu untersuchen, dann sind [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] also keine Basis.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:49 Di 24.11.2009 | | Autor: | Juliia |
Ich weiss dass nicht,
Lineare Algebra ist ganz schwer für mich......
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> Ich weiss dass nicht,
Hallo,
was meinst Du jetzt mit "das"?
Was weißt Du jetzt nicht?
Mir ist Deine Frage nicht klar gerade...
Hast Du denn jetzt begriffen, warum a und b im [mm] \IZ_3^3 [/mm] über [mm] \IZ_3 [/mm] linear abhängig sind?
(Wie man in [mm] \IZ_3 [/mm] rechnet, weißt Du?)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Di 24.11.2009 | | Autor: | Juliia |
Neien ....
kannst erklären? Bitte...
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> Neien ....
> kannst erklären? Bitte...
Hallo,
ich hab's geahnt...
[mm] \IZ_3 [/mm] sind die Restklassen modulo 3 - lies dies unbedingt genau im Skript oder anderswo nach, ich erkläre es nur grob.
Es gibt in [mm] \IZ_3 [/mm] nur drei Elemente [mm] \IZ_3:={\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\}.
[/mm]
Meist läßt man die Striche weg.
In [mm] \overline{2} [/mm] sind alle Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 2 lassen, die anderen entsprechend.
Es ist bespielsweise [mm] \overline{2}=\overline{5}, [/mm] denn beide Zahlen lassen bei Division durch 3 den Rest 2.
Es wird nun so addiert:
[mm] \overline{n}+_3 \overline{m}= [/mm] ???
Man rechnet m+n, überlegt, welcher Rest r bei Division durch 3 bleibt. das Ergebnis ist dann [mm] \overline{r}.
[/mm]
Beispiel: [mm] \overline{2}+ \overline{2}=\overline{\red{1}}, [/mm] denn 2+2=4= 1*3 [mm] +\red{1}.
[/mm]
Multiplikation:
[mm] \overline{n}*\overline{m}= [/mm] ???
Man rechnet m*_{3}n, überlegt, welcher Rest s bei Division durch 3 bleibt. das Ergebnis ist dann [mm] \overline{s}.
[/mm]
Beispiel: [mm] \overline{2}* \overline{5}=\overline{\red{1}}, [/mm] denn 2*5=4= 10=3*3 [mm] +\red{1}.
[/mm]
In [mm] \IZ_3^3 [/mm] sind Vektoren mit drei Einträgen, die jeweils dem Körper [mm] \IZ_3 [/mm] entstammen.
Damit erhält man (Querstriche lasse ich weg)
2a= 2*(1,0,2)=(2*1, 2*0, 2*2)= (2, 0, 4)=(2,0,1), denn [mm] \overline{4}=\overline{1}.
[/mm]
Hier siehst Du nun, daß 2a=b ist.
Also sind die linear abhängig, und somit keine Basis des von a und b aufgespannten Raumes.
Wenn Du solche Sachen nicht sofort kapierst, z.B. auch, was es mit [mm] \IZ_3 [/mm] auf sich hat, mußt Du das unbedingt nachschlagen und nacharbeiten.
Da deutsch offenbar nicht Deine Muttersprache ist, helfen Dir vielleicht Lehrbücher in der eigenen Sprache oder auf englisch weiter. Da ist dann die sprachliche Hürde nicht so groß.
Vor den Lösen der Aufgaben immer alle(!) Definitionen und Zeichen klären!
Hier fehlte wohl mehr als nur der Dimensionsbegriff.
Gruß v. Angela
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