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| Aufgabe | [mm]f: V \to V[/mm] sei lineare Abbildung des n-dimensionalen K-Vektorraums V in sich mit [mm]f^2 = f[/mm]. Zeige: es gibt eine Basis [mm](v_1,...,v_n)[/mm] von V und ein r mit [mm]0 \le r \le n[/mm], so dass:
[mm]f(v_i) = v_i[/mm] für [mm]0 \le i \le r[/mm] und
[mm]f(v_i) = 0[/mm] für [mm]r+1 \le i \le n[/mm]. |
Hallo,
die Funktion streicht ja im Prinzip einfach n-r Dimensionen und projeziert das auf die übrigen.
Mein Ansatz ist:
[mm]v = \summe_{i=1}^n \lambda_i * v_i = \summe_{i=1}^r \lambda_i * v_i + \summe_{i = r+1}^n \lambda_i*v_i[/mm].
Weil bei [mm]f(V) = UV[/mm] gilt: [mm]dim UV = r[/mm], brauche ich nur genau r Basisvektoren. Das sollen meine ersten r Stück sein.
Hier kommt dann das, wo ich glaube, dass ich das nicht so darf. Weil die letzten n-r Vektoren auf die 0 Abgebildet werden soll, mache ich die [mm]\lambda_{r+1}[/mm] bis [mm]\lambda_n[/mm] zu 0.
[mm]f(v) = f(\summe_{i=1}^r \lambda_i * v_i + \summe_{i = r+1}^n 0*v_i) = f(\summe_{i=1}^r \lambda_i * v_i) = \summe_{i=1}^r \lambda_i *f(v_i) + \summe_{i = r+1}^n f(0*v_i)[/mm]
Damit wäre das erfüllt, aber die [mm]\lambda[/mm] darf ich ja bestimmt nicht einfach zu 0 setzen. Aber wie komme ich dann an die Verkleinerung der Dimension?
Mfg,
Christoph
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> [mm]f: V \to V[/mm] sei lineare Abbildung des n-dimensionalen
> K-Vektorraums V in sich mit [mm]f^2 = f[/mm]. Zeige: es gibt eine
> Basis [mm](v_1,...,v_n)[/mm] von V und ein r mit [mm]0 \le r \le n[/mm], so
> dass:
>
> [mm]f(v_i) = v_i[/mm] für [mm]0 \le i \le r[/mm] und
> [mm]f(v_i) = 0[/mm] für [mm]r+1 \le i \le n[/mm].
> Hallo,
> die Funktion streicht ja im Prinzip einfach n-r
> Dimensionen und projeziert das auf die übrigen.
>
> Mein Ansatz ist:
> [mm]v = \summe_{i=1}^n \lambda_i * v_i = \summe_{i=1}^r \lambda_i * v_i + \summe_{i = r+1}^n \lambda_i*v_i[/mm].
>
> Weil bei [mm]f(V) = UV[/mm] gilt: [mm]dim UV = r[/mm], brauche ich nur genau
> r Basisvektoren.
Hallo,
jetzt habe ich bestimmt eine Minute drüber nachgedacht, was Du mit f(V) = UV meinst, welchen Unterraum U Du mit V multipliziert, und warum Du meinst, daß das das Bild von V ist.
Nun, kummergewohnt wie ich bin, ist mir jetzt aufgegangen: Du stellst dort fest, daß f(V) ein Untervektorraum von V ist.
"f(V) ist UVR von V" macht kaum mehr Mühe, punktet aber durch Verständlichkeit.
> Das sollen meine ersten r Stück sein.
Du machst schon wieder denselben Fehler wie in der anderen Aufgabe:
Die Existenz solch einer Basis ist zu folgern aus den Eigenschaften der Funktion f, und Du schickst Dich gerade an, irgendeine Funktion f mit diesen Eigenschaften zu konstruieren, also die Existenz solch einer Funktion zu zeigen.
--
Aber trotzdem finde ich Deinen Ansatz als Vorbereitung, um die Aufgabe überhaupt zu verstehen, zu be-greifen, nicht übel.
Nimm doch mal [mm] V:=\IR^3 [/mm] und versuch, solch eine lineare Funktion zu finden, für die [mm] f^2=f [/mm] ist.
Mit
> die Funktion streicht ja im Prinzip einfach n-r
> Dimensionen und projeziert das auf die übrigen.
bist Du hierfür auf der richtigen Spur.
Danach kommst Du dann vorwärts, wenn es Dir gelingt zu zeigen, daß V die direkte Summe aus Bild und Kern ist.
Gruß v. Angela
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Hallo,
also ich habe diese Aufgabe nochmal analog zu meiner anderen Aufgabe gemacht. Weil so unser Thema gerade ist:
Also die Funktion macht ja folgendes:
[mm]f(\vektor{x_1 \\ \vdots \\ x_n}) = \vektor{x_1 \\ \vdots \\ x_r \\ 0_{r+1} \\ \vdots \\ 0_n}[/mm]
Die Abbildung muss also folgende sein:
[mm]c_{ij} = [/mm][mm]\begin{cases}
1, & \mbox{für } \mbox{ i=j und} j \le r \\
0, & \mbox{für } \mbox{ sonst}
\end{cases}[/mm], [mm]i, j \in \{1,...,n\}[/mm]
[mm]A := c_{ij}, i,j \in \{1,...,n\}[/mm].
Als Beispiel nehme ich mal n = 3 und r = 2.
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } * \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} = \vektor{x_1 \\ x_2 \\ 0}[/mm]
Wenn ich das Ergebnis nochmal auf die Abbildung anwende erhalte ich folgendes:
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } * \vektor{x_1 \\ x_2 \\ 0} = \vektor{x_1 \\ x_2 \\ 0}[/mm]
Also ist das soweit so richtig...
Nun hatten wir in der Vorlesung gesagt, wir erhalten die Basis immer, wenn wir Vertikal die Spalten der Matrix durchgehen. Also für n=3 und r=2 in diesem Fall:
[mm]v_1 := \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
[mm]v_2 := \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
[mm]v_3 := \vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Aber [mm]v_3[/mm] darf ja kein Basisvektor sein, weil er 0 ist? Aber eigentlich ist ja auch klar, dass man für das Bild von f weniger Vektoren braucht um den kompletten Unterraum aufzuspannen, weil er ja weniger Dimensionen hat, bzw die anderen Dimensionen alle auf 0 gesetzt wurden.
Wie soll das dann gehen eine Basis mit n Vektoren zu finden, wenn die Dimension von dem Untervektorraum niedriger ist?
Oder habe ich da wieder etwas falsch verstanden?
Mfg,
Christoph
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> Hallo,
> also ich habe diese Aufgabe nochmal analog zu meiner
> anderen Aufgabe
> gemacht. Weil so unser Thema gerade ist:
>
> Also die Funktion macht ja folgendes:
>
> [mm]f(\vektor{x_1 \\ \vdots \\ x_n}) = \vektor{x_1 \\ \vdots \\ x_r \\ 0_{r+1} \\ \vdots \\ 0_n}[/mm]
Hallo,
ja, das ist eine Möglichkeit für einen Endomorphismus mit [mm] f^2=f.
[/mm]
Deine Funktion reißt einen allerdings nicht so recht vom Hocker, denn Du hast sie ja gleich mit einer Basis wie gefordert konstruiert.
Die interessane Aussage ist ja anders: wenn man solche eine Funktion f hat mit [mm] f^2=f, [/mm] dann gibt es solch eine Basis.
Ein Beispiel einer Funktion mit [mm] f^2=f [/mm] ist die Funktion f, die durch [mm] \pmat{2&0.5 & -1\\2&2&-2\\ 3& 1.5& -2} [/mm] dargstellt wird.
In der Aufgabe geht es darum, daß Du auch für diese eine Basis wie angegeben findest.
> Die Abbildung muss also folgende sein:
> [mm]c_{ij} = [/mm][mm]\begin{cases}
1, & \mbox{für } \mbox{ i=j und} j \le r \\
0, & \mbox{für } \mbox{ sonst}
\end{cases}[/mm],
> [mm]i, j \in \{1,...,n\}[/mm]
>
> [mm]A := c_{ij}, i,j \in \{1,...,n\}[/mm].
>
> Als Beispiel nehme ich mal n = 3 und r = 2.
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } * \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} = \vektor{x_1 \\ x_2 \\ 0}[/mm]
>
> Wenn ich das Ergebnis nochmal auf die Abbildung anwende
> erhalte ich folgendes:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } * \vektor{x_1 \\ x_2 \\ 0} = \vektor{x_1 \\ x_2 \\ 0}[/mm]
>
> Also ist das soweit so richtig...
>
> Nun hatten wir in der Vorlesung gesagt, wir erhalten die
> Basis
Hier sollte man sich drüber im Klaren sein, wovon das die Basis sein soll.
> mmer, wenn wir Vertikal die Spalten der Matrix
> durchgehen.
Die Spalten der Matrix spannen das Bild der Abbildung auf, und eine maximale linear unabhängige Teilmenge der Spalten ist eine Basis des Bildes.
Also für n=3 und r=2 in diesem Fall:
> [mm]v_1 := \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> [mm]v_2 := \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]v_3 := \vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Aber [mm]v_3[/mm] darf ja kein Basisvektor sein, weil er 0 ist? Aber
> eigentlich ist ja auch klar, dass man für das Bild von f
> weniger Vektoren braucht um den kompletten Unterraum
> aufzuspannen, weil er ja weniger Dimensionen hat, bzw die
> anderen Dimensionen alle auf 0 gesetzt wurden.
Eben. Die Dimension des Bildes ist hier =2.
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> Wie soll das dann gehen eine Basis mit n Vektoren zu
> finden, wenn die Dimension von dem Untervektorraum
> niedriger ist?
Du brauchst doch gar nichts zu suchen, weil Du Deine Abbidung so definiert hast, daß die Standardbasis gleich alles tut.
Du kannst aber mal schauene, ob Du für meine Abbildung eine passende Basis findest.
Gruß v. Angela
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