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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Do 30.06.2011 | | Autor: | Braten |
Hallo,
ich habe ein paar Fragen zu einem Text, den ich gerade lese. Leider bin ich mir unsicher, weil meiner Ansicht nach der Text entweder falsch ist oder ich erhebliche Verständnisprobleme habe.
Es ist ein linearer Operator T:X->X gegeben, wobei X ein Banachraum ist.
1)Im text steht codim(T)=dim(X/im(T))=dim(Ker(T*)) , falls im(T) abgeschlossen ist.
Nun verstehe ich hier zwei Punkte nicht.
a) die Gleichung lautet doch eigentlich dim(X/im(T))=dim(Ker(T)). Gilt denn immer dim(Ker(T))=dim(Ker(T*))?
b) Gilt diese Gleichung nicht nur für endlich dimensionales X? Oder impliziert die Aussage: im(T) abgeschlossen bereits, dass X endl. dim. ist?
2) Im Text wird weiterargumentiert: Wenn nun T:V->W ein Fredholm-Operator ist, dann gilt: [mm] V=kerT\oplus \overline{V} [/mm] und [mm] W=im(T)\oplus \overline{W} [/mm] mit [mm] T:\overline{V}->\overline{W} [/mm] isomorph.
Kann das überhaupt so richtig sein? Ich könnte mir eher vorstellen, dass [mm] T:\overline{V}->im(T) [/mm] ein Isomorphismus ist.
Vielleicht kann einfach mal jemand stellung zu diesen Passagen nehmen.
Ich wäre euch sehr dankbar!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Do 30.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich habe ein paar Fragen zu einem Text, den ich gerade
> lese. Leider bin ich mir unsicher, weil meiner Ansicht nach
> der Text entweder falsch ist oder ich erhebliche
> Verständnisprobleme habe.
>
> Es ist ein linearer Operator T:X->X gegeben, wobei X ein
> Banachraum ist.
Ist $T$ stetig?
> 1)Im text steht codim(T)=dim(X/im(T))=dim(Ker(T*)) , falls
> im(T) abgeschlossen ist.
>
> Nun verstehe ich hier zwei Punkte nicht.
> a) die Gleichung lautet doch eigentlich
> dim(X/im(T))=dim(Ker(T)).
Nein. Die Gleichung lautet genau so wie sie da steht. Die Gleichung die du jetzt nennst ist eine Gleichung aus der linearen Algebra, die gilt fuer alle Vektorraeume. Wir haben hier aber sehr bestimmte Vektorraeume.
Edit: Die Gleichung gilt nicht fuer alle Vektorraeume. Sie gilt dann, wenn $im(T)$ endlichdimensional ist; siehe das Gegenbeispiel von Fred.
> Gilt denn immer
> dim(Ker(T))=dim(Ker(T*))?
Im Endlichdimensionalen schon. Im Unendlichdimensionalen offenbar nicht immer.
Das Gegenbeispiel von Fred zeigt dies auch.
> b) Gilt diese Gleichung nicht nur für endlich
> dimensionales X?
Nein.
> Oder impliziert die Aussage: im(T)
> abgeschlossen bereits, dass X endl. dim. ist?
Nein.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:02 Fr 01.07.2011 | | Autor: | Braten |
Es ist leider nicht angegeben, ob T stetig ist. Aber ich denke nicht.
Aber wenn doch dim(X/im(T))=dim(Ker(T)). immer gilt, wie du sagst.
Und in Banachräumen auch dim(X/im(T))=dim(Ker(T*)) dann folgt dich, dass
dim(Ker(T))=dim(Ker(T*)) auch in unendlich dimensionalen Räumen gilt.
Und du schreibst gleichzeitig, dass dies nur in endl. dim. räumen gelte.
Was ist nun richtig und warum?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Fr 01.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es ist leider nicht angegeben, ob T stetig ist. Aber ich
> denke nicht.
>
> Aber wenn doch dim(X/im(T))=dim(Ker(T)). immer gilt, wie du
> sagst.
>
> Und in Banachräumen auch dim(X/im(T))=dim(Ker(T*)) dann
Das gilt, wenn $Im(T)$ abgeschlossen ist. Ansonsten kann es auch gelten, muss aber nicht.
> folgt dich, dass
> dim(Ker(T))=dim(Ker(T*)) auch in unendlich dimensionalen
> Räumen gilt.
...zumindest wenn $Im(T)$ abgeschlossen ist.
Allerdings: es geht hier um Banachraeume. Nicht um beliebige unendlichdimensionale Raeume. Die Definition von [mm] $T^\ast$ [/mm] in topologischen Vektorraeumen ist schliesslich eine andere als die in beliebigen Vektorraeumen!
Nur im endlichdimensionalem Fall ist alles das gleiche.
> Und du schreibst gleichzeitig, dass dies nur in endl. dim.
> räumen gelte.
Das habe ich nicht geschrieben. Das Woertchen "nur" hast du selber hineininterpretiert.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Fr 01.07.2011 | | Autor: | Braten |
Hallo,
vielen Dank für eure Hilfe.
Nun gilt also, falls im(T) bzw. X endlich dimensional sind:
1)dim(X/ImT)=dim(KerT) (falls imT endlich dim.)
2)dim(KerT)=dim(KerT*) (falls X endl. dim.)
Nun habe ich mal versucht, die 1) Gleichung zu beweisen.
Dazu habe ich versucht einen Isomorphismus zu konstruieren, aber der ist gar nicht so kanonisch gegeben, oder doch?
Wie z.B. in diesem Fall:
im(T) [mm] \cong [/mm] X/Ker (T) gilt doch für alle Vektorräume und lineare Abbildungen T.
Dann kann man einen Isomorphismus definierern f(x+KerT):=T(x).
Ich habe nach sowas ähnlichem für 1) gesucht, aber leider nicht gefunden.
Könnt ihr mir da weiterhelfen?
Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Sa 02.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> vielen Dank für eure Hilfe.
>
> Nun gilt also, falls im(T) bzw. X endlich dimensional
> sind:
> 1)dim(X/ImT)=dim(KerT) (falls imT endlich dim.)
das ist so eine Pseudo-Aussage: sie bringt einem einfach nicht viel. Ist $X$ endlichdimensional, so stehen auf beiden Seiten endliche Zahlen. Dann ist die Aussage aequivalent zu [mm] $\dim [/mm] X = [mm] \dim \ker [/mm] T + [mm] \dim [/mm] im(T)$.
Ist $X$ unendlichdimensional, so gilt ebenfalls [mm] $\dim [/mm] X = [mm] \dim \ker [/mm] T + [mm] \dim [/mm] im(T)$ (im Kardinalitaeten-Sinne), und da [mm] $\dim [/mm] im(T)$ endlich ist muessen [mm] $\dim [/mm] X$ und [mm] $\dim \ker [/mm] T$ beide unendlich sein, und somit auch [mm] $\dim [/mm] (X / im(T))$. Damit steht da eigentlich nur [mm] $\infty [/mm] = [mm] \infty$. [/mm]
> 2)dim(KerT)=dim(KerT*) (falls X endl. dim.)
Wenn $X$ endlichdimensional ist, dann ist $T^*$ sozusagen die Transponierte von $T$ (kann man sogar exakt so hinschreiben wenn man Abbildungsmatrizen mit passenden Basen benutzt).
> Nun habe ich mal versucht, die 1) Gleichung zu beweisen.
> Dazu habe ich versucht einen Isomorphismus zu
> konstruieren, aber der ist gar nicht so kanonisch gegeben,
> oder doch?
Es gibt meines Wissens keine. Es ist einfach nur Hantieren mit Kardinalitaeten und Benuetzung der Eigenschaft, dass es zwischen zwei Vektorraeumen genau dann einen Isomorphismus gibt, falls sie die gleiche Dimension haben (wobei man hier natuerlich zwischen den verschiedenen [mm] $\infty$s [/mm] unterscheiden muss :) ).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Braten |
Ach so ist das!! Vielen Dank für die Erklärungen, Felix. Du hast mir wieder mal sehr weitergeholfen!
Liebe Grüsse!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 Fr 01.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Beispiel:
Sei $X [mm] =l^2$ [/mm] (also ein unendlichdim. Hilbertraum) und [mm] $T:l^2 \to l^2$ [/mm] definiert durch:
[mm] $T(x_1,x_2,x_2,...)= (0,x_1,x_2,...)$
[/mm]
Dann ist T stetig und linear und [mm] T^{\star} [/mm] ist gegeben durch
[mm] $T(x_1,x_2,x_2,...)= (x_2,x_3,...)$.
[/mm]
Wir haben: T und [mm] T^{\star} [/mm] sind Fredholmoperatoren, im(T) ist abgeschlossen, dim(X/im(T))=1, kern(T)= { 0 } und [mm] kern(T^{\star}) \ne [/mm] {0}
Ich hoffe, das klärt einiges
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:42 Fr 01.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Fred!
> Beispiel:
>
> Sei [mm]X =l^2[/mm] (also ein unendlichdim. Hilbertraum) und [mm]T:l^2 \to l^2[/mm]
> definiert durch:
>
> [mm]T(x_1,x_2,x_2,...)= (0,x_1,x_2,...)[/mm]
>
> Dann ist T stetig und linear und [mm]T^{\star}[/mm] ist gegeben
> durch
>
> [mm]T(x_1,x_2,x_2,...)= (x_2,x_3,...)[/mm].
>
> Wir haben: T und [mm]T^{\star}[/mm] sind Fredholmoperatoren,
> im(T) ist abgeschlossen, dim(X/im(T))=1, kern(T)= { 0 } und
> [mm]kern(T^{\star}) \ne[/mm] {0}
>
>
> Ich hoffe, das klärt einiges
Ja, tut es. Mir faellt auf was ich da uebersehen hab... 
Was gilt ist die Gleichung [mm] $\dim [/mm] X = [mm] \dim \ker [/mm] T + [mm] \dim [/mm] im(T)$. Das ist jedoch nicht aequivalent zu [mm] $\dim(X [/mm] / im(T)) = [mm] \dim \ker [/mm] T$, es sei denn [mm] $\dim [/mm] im(T) < [mm] \infty$.
[/mm]
LG Felix
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