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| Aufgabe | In einer Postfiliale kauft ein Kunde Briefmarken für Standartbriefe und Großbriefe. Er bezahlt 18,67€. Das Porto für einen Großbrief beträgt 1,44€ für einen Standartbrief 55cent.
1) Bestimmen sie die Anzahl von Groß- und Standartbriefen, für die der Kunde Marken gekauft hat.
2)Warum gibt es genau eine sinnvolle Lösung der Textaufgabe? |
Hallo,
ich habe versucht mittels diophantischer Gleichung diese Aufgabe zu lösen, leider ohne Erfolg. Komme ins negative.
Wer kann mir eine genaue Antwort liefern, damit ich vergleichen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Mathestudent35,
rechnen wir mal in Cent, um die lästigen Nachkommastellen loszuwerden.
Ein einfacher Weg ist oft, Restklassen zu betrachten. Wenn man sie einigermaßen geschickt wählt, spart man sich eine Menge Rechenarbeit.
Mit ein wenig Überlegung fällt mir auf:
[mm] 144\equiv 1\mod{11}\quad \wedge\quad 55\equiv 0\mod{11} [/mm] sowie
[mm] 144\equiv 0\mod{8}\quad \wedge\quad 55\equiv -1\mod{8}
[/mm]
Das sieht praktisch aus.
Nun ist [mm] 8\mod{11}\equiv 1867\equiv 3\mod{8}
[/mm]
Sei nun g die Zahl der Großbriefe und s die Zahl der Standardbriefe. Du ersiehst aus den Angaben oben, dass
[mm] g\equiv 8\mod{11} [/mm] und [mm] s\equiv 5\mod{8} [/mm] sein muss.
Also ist g=8+11a, s=5+8b
Mit a=b=0, g=8, s=5 kommen wir auf 144g+5s=1427.
a wird nicht mehr größer sein können, da weitere 11 Großbriefe ja das Ergebnis um 1584 erhöhen würden.
Es fehlen aber nur noch 440, um das Ziel zu erreichen, also genau 8*55.
Mit a=0 und b=1 haben wir die Lösung: g=8, s=13.
Kannst Du nun auch nachweisen, warum es keine andere geben kann?
Liebe Grüße
reverend
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Danke dir,
ich hab leider noch nie mit Mod. gerechnet...werde mir das mal aneignen und dann deine lösung nachvollziehen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:59 Di 01.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen!
> In einer Postfiliale kauft ein Kunde Briefmarken für
> Standartbriefe und Großbriefe. Er bezahlt 18,67€. Das
> Porto für einen Großbrief beträgt 1,44€ für einen
> Standartbrief 55cent.
>
> 1) Bestimmen sie die Anzahl von Groß- und Standartbriefen,
> für die der Kunde Marken gekauft hat.
>
> 2)Warum gibt es genau eine sinnvolle Lösung der
> Textaufgabe?
> Hallo,
>
> ich habe versucht mittels diophantischer Gleichung diese
> Aufgabe zu lösen, leider ohne Erfolg. Komme ins negative.
Damit kann man das aber auch loesen. Du hast ja die Gleichung $1867 = 144 x + 55 y$. Finde nun eine spezielle Loesung [mm] $(x_0, y_0)$; [/mm] ist $d = ggT(144, 55)$, dann ist die Loesungsmenge gegeben durch [mm] $\{ (x_0 + t \frac{55}{d}, y_0 - t \frac{144}{d}) \mid t \in \IZ \}$. [/mm] Damit eine solche Loesung fuer dich interessant ist, muss also [mm] $x_0 [/mm] + t [mm] \frac{55}{d} \ge [/mm] 0$ und [mm] $y_0 [/mm] - t [mm] \frac{144}{d}) \ge [/mm] 0$ gelten. Dies kannst du zu $t [mm] \in [\alpha, \beta]$ [/mm] umformen, mit passenden [mm] $\alpha, \beta$ [/mm] (die von [mm] $x_0, y_0, [/mm] 55, 144, d$ abhaengen).
Die gesuchten Loesungen entsprechen genau den Elementen aus [mm] $[\alpha, \beta] \cap \IZ$. [/mm] Wenn es darin nur eins gibt, ist es eindeutig loesbar.
LG Felix
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Hi danke,
ich glaub ich hab die Lösung raus:
für k ergibt sich dann 713 dann ist x=8 und y= 13!
Hast mir gut geholfen:))
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 Mi 02.12.2009 | | Autor: | status_x |
Kannst du bitte deinen Lösungsweg hier angeben??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Mi 02.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Kannst du bitte deinen Lösungsweg hier angeben??
Vorrechnen tun wir sowas hier nur selten. Du koenntest ja mal selber loslegen und schreiben, wie weit du kommst. Wie man eine lineare diophantische Gleichung loest solltest du wissen, oder? (Stichworte: erweiterter euklidischer Algorithmus; Bezout-Gleichung)
LG Felix
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