Diophantische Gleichung 2.Ord < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Di 17.05.2011 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | | [mm] A^2+B^2+C^2=D^2 [/mm] |
Mich würde es interessieren, ob es eine Mögl. gibt, herauszufinden, ob die obige Gleichung mit A,B,C,D [mm] \in \IN [/mm] lösbar ist, und wenn ja, wieviele Lösungen es gibt.
Ich weiß, dass im allgemeinen Fall keine Aussage über die Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung gemacht werden kann (10. Hilbert Problem), aber evt. in dem obigen Spezialfall.
Mfg,
kalifat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Di 17.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Musste gerade eine Aufgabe dazu bearbeiten.
Das Tupel $(2ac, 2bc, [mm] c^2-a^2-b^2,a^2+b^2+c^2)$ [/mm] löst die Gleichung für alle [mm] a,b,c\in \IN.
[/mm]
Um darauf zu kommen, kann man sich zuerst mal die Gleichung [mm] x^2+y^2+z^2=1 [/mm] nehmen, die ja die Einheitskugel im [mm] \IR^3 [/mm] beschreibt.
Dann stelle mal eine Geradengleichung im [mm] \IR^3 [/mm] auf, die durch (0,0,-1) verläuft und mit Richtungsvektor, der nur aus natürlichen Komponenten besteht. Diese Gerade schneidest du mit der Kugel (und betrachtest nur den Schnittpunkt, der nicht gerade (0,0,-1) ist). Damit kommst du auf die ansonsten so vom Himmel gefallenen komponenten des Lösungsvektors.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Di 17.05.2011 | | Autor: | kalifat |
Vielen Dank für deine Antwort und ausführliche Erklärung. Eine Frage habe ich noch, und zwar die Lösungen für
[mm] A^2+B^2=C^2 [/mm] sind ja [mm] (u^2-v^2,2uv,u^2+v^2), [/mm] u>v, u,v [mm] \in \IN. [/mm] Gibt es dafür aber auch noch eine andere Darstellung, bei dem die Lösungen durch a,b,c ausgedrückt werden, wie bei dir vorhin?
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