Dirac Delta in H_0^1 < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Fr 10.01.2014 | | Autor: | Freaky |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Zeige, dass es genau eine Funktion $u \in H_{0}^{1}(-1,1)$ gibt, so dass
$$\int_{-1}^{1} u'(x)\phi'(x)\,dx = \phi(0)\text{,}\qquad \text{für alle } \phi \in C_{0}^{\infty}(\Omega)\text{.}$$
Finde die Funktion $u$.\\ |
Hallo zusammen,
ich komme bei obiger Aufgabe nicht weiter. Existenz und Eindeutigkeit der Funktion u habe ich bereits (mit Hilfe des Riesz'schen Darstellungssatzes) gezeigt, aber beim Finden der Funktion komme ich einfach auf keinen grünen Zweig.
Mit partieller Integration sieht man, dass $-u'' = \delta$, sodass $u(x) = -\frac{1}{2}(|x|}+1)$ funktionieren würde, aber leider ist die Funktion nur in $ H^{1}(-1,1)$und nicht in $ H_{0}^{1}(-1,1)$. Auch mit Splines oder ähnlichem habe ich es schon versucht, aber stets ist es irgendwo gescheitert.
Hat vielleicht jemand eine Idee, wie man die Funktion finden kann oder wie sie aussieht?
Vielen Dank im Voraus,
Freaky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Sa 11.01.2014 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeige, dass es genau eine Funktion [mm]u \in H_{0}^{1}(-1,1)[/mm]
> gibt, so dass
> [mm]\int_{-1}^{1} u'(x)\phi'(x)\,dx = \phi(0)\text{,}\qquad \text{für alle } \phi \in C_{0}^{\infty}(\Omega)\text{.}[/mm]
>
> Finde die Funktion [mm]u[/mm][mm] .\\[/mm]
> Hallo zusammen,
> ich komme bei obiger Aufgabe nicht weiter. Existenz und
> Eindeutigkeit der Funktion u habe ich bereits (mit Hilfe
> des Riesz'schen Darstellungssatzes) gezeigt, aber beim
> Finden der Funktion komme ich einfach auf keinen grünen
> Zweig.
>
> Mit partieller Integration sieht man, dass [mm]-u'' = \delta[/mm],
> sodass [mm]u(x) = -\frac{1}{2}(|x|}+1)[/mm] funktionieren würde,
> aber leider ist die Funktion nur in [mm]H^{1}(-1,1)[/mm]und nicht in
> [mm]H_{0}^{1}(-1,1)[/mm].
Aber u ist durch die Voraussetzungen nur bis auf eine beliebige additive Konstante bestimmt, also geht
[mm] -\frac{1}{2}|x| +C [/mm]
ganz genauso. Du musst nur C passend wählen.
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Sa 11.01.2014 | | Autor: | Freaky |
Hallo noch 'mal,
sorry, in meiner Frage war ein Tippfehler, es musste natürlich $u(x) =- [mm] \frac{1}{2}(|x|-1)$ [/mm] heißen. Das Problem mit dieser Funktion ist, dass $$u'(x)= [mm] \begin{cases} \frac{1}{2} & x\leq 0\text{,}\\
-\frac{1}{2} & x\geq 0\\
\end{cases}
[/mm]
$$ und somit [mm] $u'(-1)\not [/mm] = 0$ und [mm] $u'(1)\not [/mm] = 0$.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Di 14.01.2014 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> Hallo noch 'mal,
> sorry, in meiner Frage war ein Tippfehler, es musste
> natürlich [mm]u(x) =- \frac{1}{2}(|x|-1)[/mm] heißen. Das Problem
> mit dieser Funktion ist, dass [mm][/mm]u'(x)= [mm]\begin{cases} \frac{1}{2} & x\leq 0\text{,}\\
-\frac{1}{2} & x\geq 0\\
\end{cases}[/mm]
> [mm][/mm]
> und somit [mm]u'(-1)\not = 0[/mm] und [mm]u'(1)\not = 0[/mm].
Wieso muss $u'$ auf dem Rand 0 sein? Die Voraussetzung ist doch, dass [mm] $u\in H^1_0$ [/mm] ist, also u auf dem Rand 0 ist?
Grüße
Rainer
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:42 Di 14.01.2014 | | Autor: | Freaky |
Hallo noch 'mal,
aber [mm] $H_0^1(-1,1)$ [/mm] ist doch der Abschluss von [mm] $C_0^{\infty}(-1,1)$, [/mm] sollte dann nicht auch $u'$ auf dem Rand verschwinden?
Liebe Grüße,
Freaky
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 17.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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