Direkte Summe/Untermoduln < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Sa 02.06.2012 | | Autor: | it123 |
| Aufgabe | | Es sei M ein Modul über einem Integritätsbereich R. Dann ist m genau dann direkte Summe zweier Untermoduln [mm] N_1 [/mm] und [mm] N_2, [/mm] wenn M isomorph zum R-Modul [mm] N_1xN_2 [/mm] ist. |
Ich wollte es folgendermaßen beweisen:
i)M ist direkte Summe zweier Untermoduln [mm] N_1 [/mm] und [mm] N_2
[/mm]
ii) x [mm] \in [/mm] m besitzt eine eindeutige Darstellung [mm] x=n_1+n_2 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] M und [mm] n_1 \in N_1,n_2 \in N_2
[/mm]
iii)M ist isomorph zum R-Modul [mm] N_1xN_2
[/mm]
Interessieren würden mich meine lösungen zu ii)=>iii) Jedes x [mm] \in [/mm] M hat also eine eindeutige Darstellung [mm] n_1+n_2=x. [/mm] Also existiert eine Abbildung [mm] f:N_1xN_2->M [/mm] mit [mm] f((n_1,n_2)):=n_1+n_2=x. [/mm] Da x [mm] \in [/mm] M eindeutig ist, folgt die Injektivität. Da jedes x [mm] \in [/mm] M darstellbar durch [mm] n_1+n_2 [/mm] ist, folgt die Surjektivität. Linearität der Abbildung f ist dann auch leicht nachzuweisen.
iii)=>i)Hier habe ich Probleme bzw. keinen rechten Ansatz: Es gibt also eine bijektive, lineare Abbildung (R-Modul Isomorphismus) [mm] f:M->N_1xN_2={(n_1,n_2)|n_1 \in N_1, n_2 \in N_2}. [/mm] Also: [mm] f(m)=(n_1,n_2)=(n_1,0)+(0,n_2). [/mm]
Da komme ich aber nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Sa 02.06.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo it123,
> Interessieren würden mich meine lösungen zu ii)=>iii)
> Jedes x [mm]\in[/mm] M hat also eine eindeutige Darstellung
> [mm]n_1+n_2=x.[/mm] Also existiert eine Abbildung [mm]f:N_1xN_2->M[/mm] mit
> [mm]f((n_1,n_2)):=n_1+n_2=x.[/mm]
Die Abbildung
[mm] $f\colon N_1\times N_2\to M,\quad f((n_1,n_2))=n_1+n_2$
[/mm]
existiert völlig unabhängig von der Voraussetzung ii).
> Da x [mm]\in[/mm] M eindeutig ist,
Da [mm] $n_1$ [/mm] und [mm] $n_2$ [/mm] durch [mm] $n_1+n_2$ [/mm] eindeutig bestimmt sind,
> folgt die Injektivität. Da jedes x [mm]\in[/mm] M darstellbar durch
> [mm]n_1+n_2[/mm] ist, folgt die Surjektivität. Linearität der
> Abbildung f ist dann auch leicht nachzuweisen.
O.K.!
> iii)=>i)Hier habe ich Probleme bzw. keinen rechten Ansatz:
> Es gibt also eine bijektive, lineare Abbildung (R-Modul
> Isomorphismus) [mm]f:M->N_1xN_2={(n_1,n_2)|n_1 \in N_1, n_2 \in N_2}.[/mm]
> Also: [mm]f(m)=(n_1,n_2)=(n_1,0)+(0,n_2).[/mm]
> Da komme ich aber nicht weiter.
Das ist auch gut so. Die Richtung [mm] iii)$\Rightarrow$ [/mm] i) stimmt nämlich nicht. Die Aufgabenstellung ist also so falsch. Richtig würde sie, wenn man das
"..., wenn M isomorph zum R-Modul [mm] $N_1\times N_2$ [/mm] ist."
ersetzen würde durch
"..., wenn [mm] $f\colon N_1\times N_2\to M,\quad f((n_1,n_2))=n_1+n_2$ [/mm] ein Isomorphismus ist".
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 So 03.06.2012 | | Autor: | it123 |
Ich frage sicherheitshalber noch einmal nach. Du meinst also, dass man die Rückrichtung der Aufgabenstellung nicht beweisen kann?
Mit anderen Worten: Wenn es einen beliebigen R-Modul-Isomorphismus zwischen M und [mm] N_1xN_2 [/mm] gibt, dann folgt daraus nicht gleich, dass M direkte Summe zweier Untermoduln [mm] N_1 [/mm] und [mm] N_2 [/mm] ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 So 03.06.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich frage sicherheitshalber noch einmal nach. Du meinst
> also, dass man die Rückrichtung der Aufgabenstellung nicht
> beweisen kann?
Genau. Wenn [mm] $N_1,N_2\subseteq [/mm] M$ Untermoduln sind und $M$ isomorph zu [mm] $N_1\times N_2$ [/mm] ist, muss nicht $M$ die direkte Summe von [mm] $N_1$ [/mm] und [mm] $N_2$ [/mm] sein.
> Mit anderen Worten: Wenn es einen beliebigen
> R-Modul-Isomorphismus zwischen M und [mm]N_1xN_2[/mm] gibt, dann
> folgt daraus nicht gleich, dass M direkte Summe zweier
> Untermoduln [mm]N_1[/mm] und [mm]N_2[/mm] ist?
M ist IMMER die direkte Summe IRGENDWELCHER Untermoduln [mm] $N_1$ [/mm] und [mm] $N_2$: [/mm] Man nehme etwa [mm] $N_1=\{0\}$ [/mm] und [mm] $N_2=M$.
[/mm]
Nur muss, wenn M isomorph zu [mm] $N_1\times N_2$ [/mm] ist für gewisse Untermoduln [mm] $N_1,N_2\subseteq [/mm] M$, der Modul $M$ nicht die direkte Summe DIESER Untermoduln [mm] $N_1$ [/mm] und [mm] $N_2$ [/mm] sein.
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