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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Di 29.05.2007 | | Autor: | MichiNes |
| Aufgabe | Seien [mm] U_{1}, [/mm] ..., [mm] U_{k} [/mm] Unterräume des Vektorraums V. Für i=1,...,k sei [mm] B_{i} [/mm] eine Basis von [mm] U_{i}. [/mm] Zeigen Sie:
a) [mm] V=U_{1} \oplus... \oplus U_{k} \gdw B_{i} \cap B_{j} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] für alle i, j mit i [mm] \not= [/mm] j und [mm] B_{1} \cup [/mm] ... [mm] \cup B_{k} [/mm] ist Basis von V.
b) Ist [mm] V=U_{1} \oplus... \oplus U_{k}, [/mm] so existieren zu jedem v [mm] \in [/mm] V eindeutig bestimmte [mm] u_{1} \in U_{1}, [/mm] .... , [mm] u_{k} \in U_{k} [/mm] mit [mm] v=u_{1}+....+u_{k}. [/mm] |
Hallo,
Wir kommen bei obiger Aufgabe nicht weiter. Bei der a) haben wir bisher nur die "Hin"-richtung, bei der Rückrichtung kommen wir momentan nicht weiter.
Die b) haben wir noch gar nicht...
Hat die vielleicht jemand für uns ein paar Tips auf Lager? Wär echt sehr nett!
Danke schon mal.
Gruß Michi
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> Seien [mm]U_{1},[/mm] ..., [mm]U_{k}[/mm] Unterräume des Vektorraums V. Für
> i=1,...,k sei [mm]B_{i}[/mm] eine Basis von [mm]U_{i}.[/mm] Zeigen Sie:
>
> a) [mm]V=U_{1} \oplus... \oplus U_{k} \gdw B_{i} \cap B_{j}[/mm] =
> [mm]\emptyset[/mm] für alle i, j mit i [mm]\not=[/mm] j und [mm]B_{1} \cup[/mm] ...
> [mm]\cup B_{k}[/mm] ist Basis von V.
>
> b) Ist [mm]V=U_{1} \oplus... \oplus U_{k},[/mm] so existieren zu
> jedem v [mm]\in[/mm] V eindeutig bestimmte [mm]u_{1} \in U_{1},[/mm] .... ,
> [mm]u_{k} \in U_{k}[/mm] mit [mm]v=u_{1}+....+u_{k}.[/mm]
> Wir kommen bei obiger Aufgabe nicht weiter. Bei der a)
> haben wir bisher nur die "Hin"-richtung, bei der
> Rückrichtung kommen wir momentan nicht weiter.
Hallo,
wie habt Ihr denn die direkte Summe von Untervektorräumen definiert?
Was wollt/müßt Ihr also bei der Rückrichtung zeigen?
> Die b) haben wir noch gar nicht...
Geht es erstmal etwas konkreter an, für k=2,
und geht davon aus, daß es einen Vektor v [mm] \in [/mm] V gibt, den man schreiben kann als [mm] v=u_1+u_2 [/mm] und [mm] v=v_1+v_2 [/mm] mit [mm] u_i,v_i \in U_i.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Di 29.05.2007 | | Autor: | MichiNes |
Wir müssen zeigen:
1.) [mm] span(\bigcup U_{i})=V
[/mm]
2.) [mm] U_{i} \cap U_{j} [/mm] = [mm] \{ 0 \} [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j
Wie können wir da ansetzen??
Danke für die ANtwort.
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> Wir müssen zeigen:
>
> 1.) [mm]span(\bigcup U_{i})=V[/mm]
> 2.) [mm]U_{i} \cap U_{j}[/mm] = [mm]\{ 0 \}[/mm]
> für i [mm]\not=[/mm] j
>
Dies ist nicht die Definition de direkten Summe, sondern eine Folgerung aus der Direktheit.
Def.:
$ [mm] V=U_{1} \oplus [/mm] $ ... $ [mm] \oplus U_{k} [/mm] $
==> i) V = span $ [mm] \{ \bigcup U_{i} \} [/mm] $
ii) $ [mm] \forall [/mm] $ i $ [mm] \in [/mm] $ {1,...., k}: $ [mm] U_{i} \cap [/mm] $ span $ [mm] \{ \bigcup_{j=1 \not= i}^{k} U_{j} \} [/mm] $ = $ [mm] \{ 0 \} [/mm] $,
> Wie können wir da ansetzen??
Ich hoffe, ich verrate da kein Geheimnis:
Letztendlich läuft es ja darauf hinaus, daß Ihr zeigt, daß
[mm] V= \oplus \oplus...\oplus .
[/mm]
Zeigen müßt Ihr also, daß man in der Tat jedes [mm] v\in [/mm] V schreiben kann als [mm] v=b_1+...+b_k [/mm] mit [mm] b_i\in B_i. [/mm] (Das ist Punkt (1))
Hier hilft Euch die Information, daß Ihr wißt, daß $ [mm] B_{1} \cup [/mm] $ ... $ [mm] \cup B_{k} [/mm] $ eine Basis von V ist.
Weiter wollt Ihr haben, daß
$ [mm] \forall [/mm] $ i $ [mm] \in [/mm] $ {1,...., k}: $ [mm] \cap [/mm] $ span $ [mm] \{ \bigcup_{j=1 \not= i}^{k} \} [/mm] $ = $ [mm] \{ 0 \} [/mm] $,
Ihr wißt ja bereits, daß die Schnitte der Basen paarweise leer sind.
Nun wäre ja solch eine Situation denkbar:
[mm] B_1=(\vektor{1 \\ 0\\0}, \vektor{0 \\ 1\\0})
[/mm]
[mm] B_2=(\vektor{1 \\ 1\\0}, \vektor{0 \\ 0\\1})
[/mm]
Hier ist zwar der Schnitt der Basen leer, sie enthalten keinen gemeinsamen Vektor, aber der Schnitt der erzeugten Räume ist gut gefüllt.
Daß das nicht sein kann, ist zu zeigen, und wieder spielt die Tatsache, daß die Vereinigung der [mm] B_i [/mm] eine Basis ist, die entscheidende Rolle.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Mi 30.05.2007 | | Autor: | MichiNes |
Hallo angela,
kann ich einfach sagen: Es gilt:
[mm] B_{i} \cap B_{j} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm]
und da [mm] B_{1} \cup [/mm] ... [mm] \cup B_{k} [/mm] eine Basis von V ist, sind alle Vektoren in [mm] B_{1} \cup [/mm] ... [mm] \cup B_{k} [/mm] linear unabhängig. Daher gilt auch
span [mm] \{B_{1}\} \cap [/mm] ... [mm] \cap [/mm] span [mm] \{B_{k}\}={0}
[/mm]
???
Danke mal wieder 
Gruß Michi
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> kann ich einfach sagen: Es gilt:
> [mm]B_{i} \cap B_{j}[/mm] = [mm]\emptyset[/mm]
> und da [mm]B_{1} \cup[/mm] ... [mm]\cup B_{k}[/mm] eine Basis von V ist, sind
> alle Vektoren in [mm]B_{1} \cup[/mm] ... [mm]\cup B_{k}[/mm] linear
> unabhängig.
Hallo,
ja, das ist richtig.
> Daher gilt auch
> span [mm]\{B_{1}\} \cap[/mm] ... [mm]\cap[/mm] span [mm]\{B_{k}\}={0}[/mm]
Das stimmt zwar, aber es ist weniger, als Du brauchst.
Du brauchst, daß die paarweisen Schnitte leer sind.
Beweise also, daß [mm] span\{B_{i}\} \cap span]\{B_{j}\}=\{0\} [/mm] für [mm] i\not=j.
[/mm]
(Und konstruier Dir zum Verständnis dafür, daß das wirklich nötig ist, ein Beispiel von drei Mengen, bei denen der Schnitt aller drei [mm] =\{0\}ist, [/mm] aber bei denen 2 einen nichttrivialen Schnitt haben.)
Das war jetzt alles für Punkt 2) der Definition.
Punkt 1) nicht vergessen! (Ist einfach.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Do 31.05.2007 | | Autor: | MichiNes |
Also ich komm jetzt so durcheinander (ich hasse diese Art von Aufgabe)...
Ich schreib jetzt einfach mal alles was ich bisher hab. Dann wird denke ich deutlich, wos hakt und wos falsch ist. Korrekturvorschläge werden sehr gern angenommen, wie gesagt, hab kein Plan ob das stimmt.
"==>":
[mm] V=U_{1} \oplus [/mm] ... [mm] \oplus U_{k}
[/mm]
==> i) V = span [mm] \{ \bigcup U_{i} \}
[/mm]
ii) [mm] \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,...., k}: [mm] U_{i} \cap [/mm] span [mm] \{ \bigcup_{j=1 \not= i}^{k} U_{j} \} [/mm] = [mm] \{ 0 \}
[/mm]
i) ==> V = span [mm] \{ B_{i} \} [/mm] ==> [mm] \bigcup B_{i} [/mm] ist Erzeugendensystem von V.
ii) ==> span [mm] \{ B_{i} \} \cap [/mm] span [mm] \{ \bigcup_{j=1 \not= i}^{k} B_{j} \} [/mm] = [mm] \{ 0 \}
[/mm]
==> [mm] B_{i} \cup (\bigcup B_{j}) [/mm] lin. unabh.
==> [mm] B_{1} \cup [/mm] .... [mm] \cup B_{k} [/mm] ist Basis von V.
Daraus folgt auch [mm] B_{i} \cap B_{j} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] , da in der Basis ein ELement ja nicht 2x auftaucht.
"<=="
und jetzt keine ahnung mehr. bin total durcheinander.
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Hallo,
vielleicht sehe ich, woher die Verwirrung kommt:
von der Definition der direkten Summe, welche Du hiernicht richtig aufgeschrieben hast - und ich habe es nicht gemerkt.
Daß ich es nicht gemerkt habe, hat auch einen Grund: das, was dort steht, ist eine Folgerung aus der Direktheit der Summe der [mm] U_i.
[/mm]
Es ist die Sache mit den paarweisen Schnitten. Auch diese Bedingung ist zu schwach für die direkte Summe.
Ein Beispiel.
Betrachte [mm] <\vektor{1 \\ 0}>, <\vektor{0 \\ 1}>, <\vektor{1 \\ 1}>.
[/mm]
Offensichtlich ist [mm] \IR^2=<\vektor{1 \\ 0}>+<\vektor{0 \\ 1}>+<\vektor{1 \\ 1}>.
[/mm]
Es ist [mm] <\vektor{1 \\ 0}>\cap<\vektor{0 \\ 1}>\cap<\vektor{1 \\ 1}>=\{0\}
[/mm]
Auch die drei paarweisen Schnitte ergeben jeweils [mm] \{0\}.
[/mm]
Jedoch ist [mm] <\vektor{1 \\ 0}>\cap<(<\vektor{0 \\ 1}>\cup <\vektor{1 \\ 1}>)>= <\vektor{1 \\ 0}>\cap [/mm] = [mm] <\vektor{1 \\ 0}>\not= \{0\}
[/mm]
Also ist die Summe NICHT direkt. (Es ist ja auch schon intuitiv klar, daß da "irgendwie zuviel" ist.)
Es gilt also für die direkte Summe, wie Du unten in Deinem Beweis richtig schreibst:
$ [mm] V=U_{1} \oplus [/mm] $ ... $ [mm] \oplus U_{k} [/mm] $
==> i) V = span $ [mm] \{ \bigcup U_{i} \} [/mm] $
ii) $ [mm] \forall [/mm] $ i $ [mm] \in [/mm] $ {1,...., k}: $ [mm] U_{i} \cap [/mm] $ span $ [mm] \{ \bigcup_{j=1 \not= i}^{k} U_{j} \} [/mm] $ = $ [mm] \{ 0 \} [/mm] $,
und das muß man in der Hinrichtung verwenden und in der Rückrichtung zeigen.
> Also ich komm jetzt so durcheinander (ich hasse diese Art
> von Aufgabe)...
Ich fürchte, da kommen noch viele...
> "==>":
>
> [mm]V=U_{1} \oplus[/mm] ... [mm]\oplus U_{k}[/mm]
>
> ==> i) V = span [mm]\{ \bigcup U_{i} \}[/mm]
> ii) [mm]\forall[/mm] i [mm]\in[/mm] {1,...., k}: [mm]U_{i} \cap[/mm] span [mm]\{ \bigcup_{j=1 \not= i}^{k} U_{j} \}[/mm] = [mm]\{ 0 \}[/mm]
Genau. Hier steht jetzt die richtige Definition.
Es ist [mm] U_i=span(B_i).
[/mm]
>
> i) ==> V = span [mm] \{ B_{i} \} [/mm] ==> [mm]\bigcup B_{i}[/mm] ist Erzeugendensystem von V.
i) ==> V [mm] =span\{\bigcup span(B_{i}) \} [/mm] ==> [mm] \bigcup B_{i} [/mm] ist Erzeugendensystem von V.
>
>ii) ==> span [mm]\{ B_{i} \} \cap[/mm] span [mm]\{ \bigcup_{j=1
> = [mm]\{ 0 \}[/mm]\not= i}^{k} B_{j} \}[/mm] = [mm]\{ 0 \}[/mm]
ii) ==> span [mm]\{ B_{i} \} \cap[/mm] span [mm]\{ \bigcup_{j=1 \not= i}^{k} span(B_{j}) \}[/mm] = [mm]\{ 0 \}[/mm]
>
> ==> [mm]B_{i} \cup (\bigcup B_{j})[/mm] lin. unabh.
Was genau meinst Du hiermit?
(Du schreibst mit obigem ja, daß [mm] B_{i} \cup ...\cup B_k [/mm] linear unabhängig ist. Soweit sind wir aber noch nicht)
Zur Beweistechnik:
ich hab's jetzt nicht durchgeführt, aber ich würde wohl einen Induktionsbeweis ansetzen, und zwar für beide Richtungen.
Für k=2 dürfte das alles recht einfach sein.
Wenn Du dann im Induktionsschluß [mm] V=\underbrace{U_1\oplus...\oplus U_k}_{:=W} \oplus U_{k+1} [/mm] hast, weißt Du bereits, daß alles Gesagte für W gilt, was die Sache behaglicher und übersichtlicher machen dürfte.
Gruß v. Angela
> ==> [mm]B_{1} \cup[/mm] .... [mm]\cup B_{k}[/mm] ist Basis von V.
> "<=="
>
> und jetzt keine ahnung mehr. bin total durcheinander.
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