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| Aufgabe | Sei [mm] V=\produkt_{i\in \IN}^{} \IK [/mm] das direkte Produkt über den natürlichen Zahlen von 1-dimensionalen [mm] \IK-Vektorraeumen. [/mm] Für ein d-Tupel [mm] \alpha=( \alpha_1,...,\alpha_d) [/mm] mit [mm] \alpha_d \not=0_\IK [/mm] sei
[mm] V_\alpha [/mm] = [mm] \{(\alpha_i)_{i \in \IN} \in V | \alpha_{n+d}+ \alpha_1 \alpha_{n+d-1}+...+\alpha_d \alpha_n =0 \forall n \ge\ 0\}.
[/mm]
Zeigen Sie: [mm] V_\alpha [/mm] ist ein Untervektorraum von V der Dimension d. |
Hallo an alle.
Ich komme mit dieser Aufgabe überhaupt nicht zurecht und habe leider auch keinen Ansatz.
Ich hoffe es kann jemand meine Gedanken in die richtige Richtung lenken.
Lieben Gruß.
Edit: aber natürlich kenne ich die Untervektorraumaxiome.
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> Edit: aber natürlich kenne ich die Untervektorraumaxiome.
Hallo,
das ist schonmal gut.
Also liegt Dein Problem nicht an dieser Stelle.
Schade, daß Du es nicht schilderst.
Nun, ein bißchen kann ich es vielleicht ahnen...
> Sei [mm]V=\produkt_{i\in \IN}^{} \IK[/mm] das direkte Produkt über
> den natürlichen Zahlen von 1-dimensionalen
> [mm]\IK-Vektorraeumen.[/mm]
Betrachtet wird hier also der VR V, welcher unendlichlange Tupel mit Einträgen aus K enthält. Die Verknüpfungen im VR sind die komponentenweise Addition und die einschlägige Multiplikation mit Elementen aus K.
Wir machen mal ein konkretes Beispiel und nehmen [mm] K=\IR.
[/mm]
Es wären z.B. a:=(1,1/2, 1/3, 1/4,...) und b:=(5,7,9,11,...) in V,
und es ist a+b=(1+5,1/2+7, 1/3+9, 1/4+11,...) und 7*a=(7*1,7*1/2, 7*1/3, 7*1/4,...).
> Für ein d-Tupel [mm]\alpha=( \alpha_1,...,\alpha_d)[/mm]
> mit [mm]\alpha_d \not=0_\IK[/mm] sei
Nehmen wir d=3 und [mm] \alpha=(5,8,9).
[/mm]
> [mm]V_\alpha[/mm] = [mm]\{(\alpha_i)_{i \in \IN} \in V | \alpha_{n+d}+ \alpha_1 \alpha_{n+d-1}+...+\alpha_d \alpha_n =0 \forall n \ge\ 0\}.[/mm]
In unserem [mm] V_{\alpha} [/mm] sind dann alle Folgen [mm] (a_i), [/mm] für welche gilt
[mm] a_{n+3}+5*a_{n+2}+8*a_{n+1}+9*a_n=0 f.a.n\in \IN.
[/mm]
Nun schauen wir mal, ob wir ein paar Elemente finden, die in [mm] V_{\alpha} [/mm] sind.
Nehmen wir mal
a:=(1,2,3,?,?,?,?,...)
Versuche nun mal, [mm] a_4 [/mm] zu berechnen, danach [mm] a_5 [/mm] und [mm] a_6.
[/mm]
Dann denk Dir ein weiteres Element [mm] b\in V_{\alpha} [/mm] aus.
Du könntest sie auch mal addieren, und prüfen, ob die Summe in [mm] V_{\alpha} [/mm] ist, ebenso wie Du sie it irgendeiner Zahl mal multiplizieren könntest und ebenfalls gucken, ob das Ergebnis in [mm] V_{\alpha} [/mm] ist.
Wenn Du das getan hast, werden Dir die Zutaten Deiner Aufgabe etwas klarer sein.
LG Angela
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> Zeigen Sie: [mm]V_\alpha[/mm] ist ein Untervektorraum von V der
> Dimension d.
>
> Hallo an alle.
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> Ich komme mit dieser Aufgabe überhaupt nicht zurecht und
> habe leider auch keinen Ansatz.
> Ich hoffe es kann jemand meine Gedanken in die richtige
> Richtung lenken.
>
> Lieben Gruß.
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Erst einmal ist mir ein Fehler aufgefallen, den ich bei der Aufgabenstellung aus Versehen eingebracht habe. Mir ist nicht aufgefallen, dass in der Aufgabenstellung a und [mm] \alpha [/mm] hintereinander stehen, die sind sich so ähnlich. [mm] V_\alpha [/mm] ist wie folgt definiert:
[mm] V_\alpha [/mm] = [mm] \{ (a_i)_{i \in \IN} \in V | a_{n+d}+ \alpha_1 a_{n+d-1}+...+ \alpha_d a_n = 0 \forall n\ge 0 \}
[/mm]
Ich hoffe dadurch ändert sich nichts?
Zu deinem Beispiel: du hast geschrieben
[mm] a_{n+3} [/mm] + 5 [mm] a_{n+2} [/mm] + 8 [mm] a_{n+1} [/mm] + 9 [mm] a_n [/mm] = 0 [mm] \forall a_n \in \IN
[/mm]
aber das kann ja gar nicht funktionieren wenn [mm] a_n \in \IN [/mm] , außer man zählt die 0 dazu, denn dann würde nur die 0 die gewünschten Eigenschaft erfüllen.
Dies kann man nun sofort auf auf die Aufgabenstellung beziehen und das erste UVR Axiom ist bewiesen, da [mm] V_\alpha \not= \emptyset, [/mm] da [mm] a_i [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] i liegt in [mm] V_\alpha.
[/mm]
Nun weiß ich immer noch nicht wie ich ein [mm] a_4 [/mm] bestimmen würde. Eine richtige Vorstellung von dem Vektorraum habe ich noch nicht.
Trotzdem kann ich jetzt wohl beweisen, das [mm] V_\alpha [/mm] auch unter Addition abgeschlossen ist, wie auch unter der Skalarmultiplikation.
Bzgl. Addition:
Wenn [mm] a':=a_{n+d}+ \alpha_1 a_{n+d-1} [/mm] + ... + [mm] \alpha_d a_n [/mm] = 0 und somit [mm] \in V_\alpha, [/mm] ebenso [mm] b':=b_{n+d}+ \alpha_1 b_{n+d-1} [/mm] + ... + [mm] \alpha_d b_n [/mm] = 0 [mm] \in V_\alpha.
[/mm]
Dann ist a'+b' = [mm] a_{n+d}+b_{n+d} [/mm] + [mm] \alpha_1 (a_{n+d-1}+b_{n+d-1}) [/mm] + ... + [mm] \alpha_n (a_n+b_n) [/mm] = 0, da man die Summe auseinander ziehen kann und jeweils a'=b'=0 gilt.
Analog verhält es sich mit der Skalarmultiplikation, da z.B. [mm] \lambda \in \IK: a'*\lambda [/mm] = 0 * [mm] \lambda [/mm] = 0.
Weiterhin ist die Dimension von [mm] V_\alpha [/mm] = d, da - [mm] a_{n+d}= \alpha_1 a_{n+d-1} [/mm] + ... + [mm] \alpha_d a_n [/mm] , wobei mmh... dies ist denke ich falsch.
Es gilt nur für das d-Tubel, dass [mm] \alpha_d \not=0 [/mm] ist und somit können alle anderen [mm] \alpha_i [/mm] = 0 sein, für i [mm] \in \{1,...,d-1\}, [/mm] müssen aber natürlich nicht.
Wäre der Ansatz besser [mm] 1/a_n *[a_{n+d}+ \alpha_1 a_{n+d-1} [/mm] + ... + [mm] \alpha_d- a_n+1] [/mm] = [mm] \alpha_d [/mm] ?
Ich denke ich habe mich der Aufgabe angenähert.
Lieben Gruß,
RoughNeck.
Achso, und danke angela für die sehr hilfreiche Antwort.
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Hallo,
Ja so ist das richtig mit Unterraumaxiomen.
Um es bei der Addition perfekt zu machen solltest du aber noch genau zeigen dass du die Summe auseinanderziehen kannst. Also warum du das machen kannst (Kommutativgesetz).
Für die Dimension: Überleg dir einfach mal wie viele Komponenten du da hast.
LG Sunny
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Ich schätze mal du meinst eher das Distributivgesetz? a (b+c) = ab + ac.
Dimension ist klar, dass dies die Anzahl der Elemente sind. In der Definition von [mm] V_\alpha [/mm] treten d+1 Summanden auf, wobei gilt, das für das Tupel [mm] \alpha =(\alpha_1,...,\alpha_d) \alpha_d \not= [/mm] 0 ist.
In [mm] V_\alpha [/mm] ist nur ein einziger Summand ohne ein [mm] \alpha. [/mm]
Diese Forderungen sind klipp und klar.
Jetzt weiß ich nur nicht, wie ich beweisen soll, dass die Dimension gerade gleich d ist.
Ich würde einfach meine Vermutung von meinem vorherigen letzten Beitrag nehmen:
[mm] 1/a_n *[a_{n+d}+ \alpha_1 a_{n+d-1} [/mm] + ... + [mm] \alpha_d- a_n+1] [/mm] = [mm] \alpha_d. [/mm] Dies muss allerdings nicht immer gewährleistet sein.
Ich tue mich ein wenig schwer mit dem Dimensionsbegriff in solchen Zahlenfolgen. Ich würde es am ehesten mit dem Vektorraum der Polynome vergleichen, der die Basis [mm] \{1,x,x^2,...\} [/mm] besitzt. Aber das bringt mich auch nicht weiter.
Es ist das einzig sinnvolle was mir einfällt, es wie oben in der Summe zu schreiben. Wobei ich mir nicht sicher bin, ob ich das erste Element der Summe [mm] a_{n+d} [/mm] oder [mm] \alpha_d a_n [/mm] als Linearkombination der übrigen darstellen soll. Wenn ich es mir jetzt noch einmal überlege ist es sinnvoller, ersteres zu nehmen, da dies unabhängig von [mm] \alpha_i [/mm] ist, i [mm] \in \{1,...,d\}
[/mm]
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Hallo roughneck,
zuerst einige Anmerkungen zu den vorherigen Posts:
> Zu deinem Beispiel: du hast geschrieben
> $ [mm] a_{n+3} [/mm] $ + 5 $ [mm] a_{n+2} [/mm] $ + 8 $ [mm] a_{n+1} [/mm] $ + 9 $ [mm] a_n [/mm] $ = 0 $ [mm] \forall [/mm]
> [mm] a_n \in \IN [/mm] $
Das hat angela.h.b. nicht geschrieben und wäre auch ziemlicher Unsinn.
Richtig ist:
$ [mm] a_{n+3} [/mm] + 5 [mm] a_{n+2} [/mm] + 8 [mm] a_{n+1} [/mm] + 9 [mm] a_n [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] $n [mm] $\in \IN [/mm] $.
Kannst du jetzt was mit dem Beispiel anfangen?
Und Kommutativität/Distributivität der Add. und Skalarmult. braucht hier nicht gezeigt zu werden (ist ja auch nicht der Unterraumkriterien) da es vom großen Vektorraum vererbt wird.
> Ich tue mich ein wenig schwer mit dem Dimensionsbegriff in solchen
> Zahlenfolgen. Ich würde es am ehesten mit dem Vektorraum der
> Polynome vergleichen, der die Basis $ [mm] \{1,x,x^2,...\} [/mm] $ besitzt. Aber das > bringt mich auch nicht weiter
Denk mal an Quotienten von Polynomringen und deren Basen.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:18 Mo 24.06.2013 | | Autor: | RoughNeck |
Leider kann ich mit deinem letzten Hinweis nichts anfangen. Ich Quotienten und Polynomringe sind auch nicht wirklich meine Spezialität.
Kannst du mir das vielleicht genauer erklären?
Edit: Hat keiner eine weitere Hilfe?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Di 25.06.2013 | | Autor: | RoughNeck |
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand nochmals eine Hilfe geben könnte, weil mit der Dimension komme ich momentan noch nicht zurecht.
Lieben Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Di 25.06.2013 | | Autor: | sometree |
Hast du denn schon das Beispiel von angela.h.b. angeschaut/durchgerechnet?
Zu welchem Ergebnis kommst du?
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Also, geh ich nochmal auf angela´s Beispiel ein.
Angenommen, d=3 und [mm] \alpha=(5,8,9). [/mm] Dann gilt:
[mm] a_{n+3}+5*a_{n+2}+8*a_{n+1}+9*a_n=0
[/mm]
Nun hat angela angenommen, dass a=(1,2,3,...) ist und ich soll [mm] a_4,..,a_6 [/mm] bestimmen.
Angenommen..
(1) n=1
=> [mm] a_{4}+5*a_{3}+8*a_{2}+9*a_1=0 \gdw a_{4} [/mm] + 15 + 16 + 9 = 0
[mm] \gdw a_4 [/mm] = -40
=> a=(1,2,3,-40,...)
(2) n=2
=> [mm] a_{5}+5*a_{4}+8*a_{3}+9*a_2=0 \gdw a_5 [/mm] - 200 + 24 + 18 = 0
[mm] \gdw a_5 [/mm] = 158
=> a=(1,2,3,-40,158,..)
(3) n=3
=> [mm] a_{6}+5*a_{5}+8*a_{4}+9*a_3=0 \gdw a_6 [/mm] + 790 - 320 + 27 = 0
[mm] \gdw a_6 [/mm] = -497
=> a=(1,2,3,-40,158,-497,...)
Wie ich schon gesagt habe oben zeigt dies, dass der erste Summand [mm] a_{n+d} [/mm] als Linearkombination der übrigen dargestellt wird um das gewünschte Ergebnis =0 zu erhalten.
Aber wie bringt mich das jetzt im Beweis weiter?
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> Wie ich schon gesagt habe oben zeigt dies, dass der erste
> Summand [mm]a_{n+d}[/mm] als Linearkombination der übrigen
> dargestellt wird um das gewünschte Ergebnis =0 zu
> erhalten.
Was meinst du denn mit "die übrigen"?
>
> Aber wie bringt mich das jetzt im Beweis weiter?
Fällt dir auf das a eindeutig durch die Festlegung von [mm] $\alpha [/mm] $?
Gibt die das evtl eine Idee für eine Basis?
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Die ürbigen sind, wie du gesagt hast, alle Summanden mit den [mm] \alpha_i.
[/mm]
Und ja, ich weiß sogar, dass die [mm] \alpha_i [/mm] a eindeutig bestimmen.
Aber zur zweiten Frage, eine Idee für eine Basis habe ich nicht.
Wie gesagt habe ich Probleme in dem Fall mit dem Dimensionsbegriff. Normalerweise kann man es sich mittel Vektoren veranschaulichen (zumindest ansatzweise), oder wie bei Polynomen mit den [mm] 1,X,X^2. [/mm] Aber hier sind es lediglich Zahlen und ich komme hier nicht weiter. Jemand, ich weiß nicht ob du es warst, hat etwas mit Quotienten geschrieben, aber auch hier mit kann ich nichts anfangen.
Sprich, ich bin ratlos.
Edit: Ich habe nicht unbedingt Probleme mit dem Dimensionsbegriff, aber ich kann mir nicht vorstellen, wie man ganz allgemein nun zeigen soll, dass alle Summanden mit [mm] \alpha_i, [/mm] i [mm] \in \{1,...,d\} [/mm] linear unabhängig sind.
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Was wäre denn die einfachste Menge nit d verschiedenen Elementen?
Warum ist das eine Basis?
Bedenke:
Du hast hier einen beliebigen Körper, d.h. du hast nur die Körperelemente 0 und 1 zur Verfügung.
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Die Standardbasis [mm] B=\{e_1,...,e_d\}. [/mm] Sie besteht ja nur aus Nullen und Einsen.
Aber wie soll ich diese anwenden können, wenn [mm] \alpha [/mm] selbst nur aus eindimensionalen "Zahlen" besteht.
Oder soll ich annehmen, dass man [mm] \alpha [/mm] auch als "Vektor" schreiben kann?
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> Die Standardbasis [mm]B=\{e_1,...,e_d\}.[/mm] Sie besteht ja nur aus
> Nullen und Einsen.
Was soll denn in diesem Vektorraum die Standardbasis sein?
> Aber wie soll ich diese anwenden können, wenn [mm]\alpha[/mm]
> selbst nur aus eindimensionalen "Zahlen" besteht.
Was soll das bedeuten?
> Oder soll ich annehmen, dass man [mm]\alpha[/mm] auch als "Vektor"
> schreiben kann?
Ein jedes Element eines Vektorraums ist ein Vektor.
Was meinst du mit als "Vektor" schreiben?
Mir scheint dein Problem ist nicht das Verständnis des Dimensionsbegriff sondern was dieser vektorraum ist.
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Jedes Element eines Vektorraums ist ein Vektor klar. Ich meine damit einen Vektor schreiben zu können als [mm] \vektor{x \\ y}, [/mm] wie man es in kartesischen Koordinaten in der Physik immer machen kann. Wo die Standardbasis eben aus [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] besteht im zweidimensionalen Fall.
Und ja, ich habe Probleme diesen Vektorraum zu verstehen. Das trifft es eher als "Dimensionsbegriff".
Und bei mir in der Aufgabe ist V das direkte Produkt über den natürlichen Zahlen von eindimensionalen Vektorräumen.
Ich weiß nicht wo ich hänge und was ich machen soll...
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> Jedes Element eines Vektorraums ist ein Vektor klar. Ich
> meine damit einen Vektor schreiben zu können als [mm]\vektor{x \\ y},[/mm]
> wie man es in kartesischen Koordinaten in der Physik immer
> machen kann. Wo die Standardbasis eben aus [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] besteht im zweidimensionalen Fall.
Das entscheidende dafür ist, dass der Vektorraum eine endliche Basis hat.
Das ist hier nicht der Fall.
Wie die Elemente dieses Vektorraums dargestellt werden können steht in der Definition.
> Und ja, ich habe Probleme diesen Vektorraum zu verstehen.
> Das trifft es eher als "Dimensionsbegriff".
>
> Und bei mir in der Aufgabe ist V das direkte Produkt über
> den natürlichen Zahlen von eindimensionalen Vektorräumen.
>
> Ich weiß nicht wo ich hänge und was ich machen soll...
Dann rate ich dir dazu die Beispiele aus dem allerersten Post von angela.h.b. nochmal anzuschauen. Mehr kann ich diesen VR auch nicht veranschaulichen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Mi 26.06.2013 | | Autor: | RoughNeck |
Dann hat es keinen Sinn und ich lass es, ich kriege schlechte Laune bei so nem...
Vielen Dank.
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