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Forum "Mengenlehre" - Disjunktive Vereinigung
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Disjunktive Vereinigung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:00 Di 01.05.2012
Autor: King-LA-Gold

Aufgabe
Zeigen Sie dass sich A [mm] \cup [/mm] B als disjunktive Vereinigung der Mengen A [mm] \setminus [/mm] B, B [mm] \setminus [/mm] A und A [mm] \cap [/mm] B schreiben lässt:
A [mm] \cup [/mm] B = A [mm] \setminus [/mm] B + B [mm] \setminus [/mm] A + A [mm] \cap [/mm] B

Kann mir bitte jemand helfen, wie muss ich hier vorgehen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Disjunktive Vereinigung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 Di 01.05.2012
Autor: luis52

Moin,

ich kann mich mit deiner Notation nicht anfreunden. Ist

$A  [mm] \cup [/mm]  B = (A [mm] \setminus B)\cup [/mm] (B [mm] \setminus A)\cup(A \cap [/mm]  B )$ gemeint?

Zeige [mm] $x\in\text{Links}\Rightarrow x\in\text{Rechts}$ [/mm] und [mm] $x\in\text{Rechts}\Rightarrow x\in\text{Links}$. [/mm]

vg Luis

Bezug
                
Bezug
Disjunktive Vereinigung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:13 Di 01.05.2012
Autor: King-LA-Gold

In der Aufgabenstellung heißt es: A [mm] \cup [/mm] B = (A [mm] \setminus [/mm] B) + (B [mm] \setminus [/mm] A) + (A [mm] \cap [/mm] B), aber ich denke es ist A [mm] \cup [/mm] B = (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) gemeint.

Bezug
        
Bezug
Disjunktive Vereinigung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:45 Di 01.05.2012
Autor: tobit09

Hallo King-LA-Gold,


ich kenne + (aus der Stochastik) als Schreibweise für [mm] $\cup$, [/mm] wenn die vereinigten Mengen paarweise disjunkt sind.

Neben dem von Luis genannten ist also noch zu zeigen, dass jeweils zwei der drei Mengen [mm] $A\setminus [/mm] B$, [mm] $B\setminus [/mm] A$ und [mm] $A\cap [/mm] B$ disjunkt sind.

Führe also z.B., um [mm] $(A\setminus B)\cap(B\setminus A)=\emptyset$ [/mm] zu zeigen, die Annahme, es gäbe ein [mm] $x\in(A\setminus B)\cap(B\setminus [/mm] A)$, zu einem Widerspruch.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Disjunktive Vereinigung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:52 Di 01.05.2012
Autor: luis52


>
> ich kenne + (aus der Stochastik) als Schreibweise für
> [mm]\cup[/mm], wenn die vereinigten Mengen paarweise disjunkt sind.
>  

Moin Tobias,

habe schon Einiges in der Stochastik gesehen,
aber diese Symbolik war mir fremd. Das entsprechende
Symbol kenne ich als [mm] $A\stackrel{\cdot}{\cup}B$. [/mm]

Danke fur die Horizonterweiterung, man lernt nicht aus.

vg Luis

Bezug
                
Bezug
Disjunktive Vereinigung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 Mi 02.05.2012
Autor: King-LA-Gold

Ich hab bis jetzt folgendes:

Sei x [mm] \in [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] B), dann ist aber x [mm] \not\in [/mm] B und somit gilt:
x [mm] \not\in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) = [mm] \emptyset [/mm]
und wegen Symmetrie: (B [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) = [mm] \emptyset [/mm]

Sei x [mm] \in [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] B), dann ist aber x [mm] \not\in [/mm] B und somit gilt auch:
x [mm] \not\in [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \Rightarrow [/mm]  (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cap [/mm]  (B [mm] \setminus [/mm] A) = [mm] \emptyset [/mm]

wie gehts weiter?

Bezug
                        
Bezug
Disjunktive Vereinigung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:47 Mi 02.05.2012
Autor: tobit09


> Sei x [mm]\in[/mm] (A [mm]\setminus[/mm] B), dann ist aber x [mm]\not\in[/mm] B und
> somit gilt:
> x [mm]\not\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\Rightarrow[/mm] (A [mm]\setminus[/mm] B) [mm]\cap[/mm] (A
> [mm]\cap[/mm] B) = [mm]\emptyset[/mm]

[ok]

>  und wegen Symmetrie: (B [mm]\setminus[/mm] A) [mm]\cap[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) =
> [mm]\emptyset[/mm]

[ok]

> Sei x [mm]\in[/mm] (A [mm]\setminus[/mm] B), dann ist aber x [mm]\not\in[/mm] B und
> somit gilt auch:
> x [mm]\not\in[/mm] (B [mm]\setminus[/mm] A) [mm]\Rightarrow[/mm]  (A [mm]\setminus[/mm] B) [mm]\cap[/mm]
>  (B [mm]\setminus[/mm] A) = [mm]\emptyset[/mm]

[ok]


> wie gehts weiter?

Befolge den Hinweis von Luis und nimm jeweils ein x aus einer der beiden Mengen, die gleich sein sollen, und zeige, dass x auch in der anderen liegt.

Bezug
                        
Bezug
Disjunktive Vereinigung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 Mi 02.05.2012
Autor: luis52

Moin,

du bist anscheinend vollkommen auf dem Holzweg. Du musst zweierlei zeigen:

1) Gilt [mm] $\x\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$ so folgt  [mm] $x\in(A \setminus B)\cup [/mm] (B [mm] \setminus A)\cup(A \cap [/mm] B )$.


2) Gilt [mm] $x\in(A \setminus B)\cup [/mm] (B [mm] \setminus A)\cup(A \cap [/mm] B )$ so folgt [mm] $x\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$.

Ich mache mal einen Anfang bei 2: Sei  [mm] $x\in(A \setminus B)\cup [/mm] (B [mm] \setminus A)\cup(A \cap [/mm] B )$. Ist [mm] $x\in(A \setminus [/mm] B)$, so ist [mm] $x\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$. Ist [mm] $x\in(B \setminus [/mm] A)$, so ist [mm] $x\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$. Ist [mm] $x\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$, so ist [mm] $x\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$. In jedem Fall folgt [mm] $x\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$.
          
vg Luis

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