Diskontinuum C < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Mi 28.04.2010 | | Autor: | gfm |
Hallo!
Bei der Konstruktion von C mittels des abzählbar unendlichen Schnittes über endliche Vereinigungen entsprechender abgeschlossener Intervalle ist (mir) anschaulich nur klar, dass die Randpunkte der Intervalle überleben. Das sind abzählbar unendlich viele, oder?
Wie kann man kontruktiv, anschaulich, intuitiv, heuristisch (also nicht durch eine Kontradiktion oder den Rückzug auf triadische Zahlendarstellungen) einsehen, dass noch viel mehr (eben überabzählbar viele) überleben?
LG
gfm
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Also klar ist dir ja, dass die Randpunkte eines jeden Intervalls überleben.
Somit hast du nach jedem Schritt [mm] 2^{n+1} [/mm] Randpunkte, anschaulich hat die Gesamtmenge somit [mm] 2^\IN [/mm] Elemente.
Glauben musst du jetzt nur daran, dass die Potensmenmenge von [mm] \IN, [/mm] die ebenfalls [mm] 2^\IN [/mm] Elemente besitzt, gleichmächtig zu [mm] \IR [/mm] ist. (![[]](/images/popup.gif) Satz von Cantor, Kontinuumshypothese).
MFG,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:59 Mi 28.04.2010 | | Autor: | gfm |
Hm,
Danke erst einmal.
Im n-ten Schnitt gibt es [mm] 2^n [/mm] Randpunkte. Fassen wir Sie in der Menge [mm] R_n [/mm] zusammen. Es gilt [mm] |R_n|=2^n [/mm] und [mm] R_{n+1}\subset R_n, [/mm] der Nachfolger enthält den Vorgänger und es kommen noch einmal so viele neue Elemente hinzu.
Ist dann [mm] R:=\cap R_n [/mm] automatisch überabzählbar?
[mm] R:=\{x_{1,1}, x_{1,2},x_{2,1},x_{2,2},x_{3,1}, x_{3,2},x_{3,3},x_{3,4},...,x_{n,1},...,x_{1,2^n},...\}
[/mm]
Es ist ja wohl auch so, dass die Menge der Randpunkte abzählbar ist, aber noch andere Punkte überleben, die eben nicht Randpunkte sind. Und eben diese Aussage - das Überleben weiterer von den Randpunkten verschiedener Punkte - bereitet mir anschaulich Schwierigkeiten.
Wenn ich mich z.B. auf einen linken Randpunkt setze, nach rechts schaue und beobachte, wie beim Prozess der fortgesetzten Teilintervallbildung neue Randpunkte hinzukommen, dann sehe ich eine Folge, die mir beliebig nahe kommt, wenn die rechten Randpunkte einer Folge von linken Teilintervallen, die meinen Randpunkt als linken Randpunkt hat, betrachte. Das bringt also nicht Neues. Wenn ich nach Links schaue, sehe ich die "gähnende Leere" eines entnommenen offenen Intervalls endlicher Länge.
Wen ich nun "Randpunkthopping" betreibe und immer mal wieder über eine "gähnende Leere" springe, vermeide ich, dass ich irgendeinem Randpunkt beliebig nahe komme.
Aber ich springe ja in einem kompakten Raum (nämlich [0,1]) herum, also muss es andere Häufungspunkte geben. Und die müssen zudem noch verschieden von den Randpunkten sein, da ich ihnen nicht beliebig nahe komme.
Die offene Vereinigung der offenen Teilintervalle, die [0,1] entnommen werden, hat als Komplement C. C ist demnach abgeschlossen. Dann liegen diese ominösen Häufungspunkte also sogar in C.
Und meine Frage ist, ob es eine anschauliche Sichtweise gibt, wie diese entstehen und dass es überabzählbar viele sind.
LG
gfm
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Fr 30.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Mi 28.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Bei der Konstruktion von C mittels des abzählbar
> unendlichen Schnittes über endliche Vereinigungen
> entsprechender abgeschlossener Intervalle ist (mir)
> anschaulich nur klar, dass die Randpunkte der Intervalle
> überleben. Das sind abzählbar unendlich viele, oder?
Mir ist nicht 100% klar (gib doch die Konstruktion nochmal an), was du mit Randpuntken meinst. Wenn ich aber richtig denke, was du denkst - dann: ja!
Es gibt aber viele nicht Randpunkte in der Menge! Ich stelle mir dabei einen hüpfendne Punkt vor, der für jedes n echt im Inneren der Intervalle liegt, den man aber in jedem Schritt von den alten Randpunkten weghält, aber der hüpfende Punkt nicht wild springt. Dies sollte dir eine Vorstellung von konvergenten Folgen geben, die keine Randpunkte sind.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 Do 29.04.2010 | | Autor: | gfm |
> > Bei der Konstruktion von C mittels des abzählbar
> > unendlichen Schnittes über endliche Vereinigungen
> > entsprechender abgeschlossener Intervalle ist (mir)
> > anschaulich nur klar, dass die Randpunkte der Intervalle
> > überleben. Das sind abzählbar unendlich viele, oder?
>
> Mir ist nicht 100% klar (gib doch die Konstruktion nochmal
> an), was du mit Randpuntken meinst. Wenn ich aber richtig
> denke, was du denkst - dann: ja!
Die ersten drei Schritte sind
[mm]
B_0:=[0,1]
B_1:=[0/3,1/3]\cup [2/3,3/3]
B_2:=[0/9,1/9]\cup [2/9,3/9]\cup [6/9,7/9]\cup [8/9,9/9]
B_3:=[0/27,1/27]\cup [2/27,3/27]\cup [6/27,7/27]\cup [8/27,9/27]\cup [18/27,19/27]\cup [20/27,21/27]\cup [24/27,25/27]\cup [26/27,27/27][/mm]
Allgemein ist [mm] B_n=\bigcup_{j=1}^{2^n}I_{n,j} [/mm] und [mm] C:=\bigcap_{n=0}^\infty B_n, [/mm] wobei [mm] I_{n,j}:=[a_{n,j}, b_{n,j}],
[/mm]
welches im nächsten Schritt in [mm] [a_{n,j}, a_{n,j}+1/3^{n+1}] [/mm] und [mm] [b_{n,j}-1/3^{n+1}, b_{n,j}] [/mm] zerfällt, woraus ersichtlich ist, dass Randpunkte im nächsten Schritt wieder Randpunkte sind. Es kommen halt nur Neue hinzu - jedoch auf abzählbare Weise. Ein [mm] I_{n+1,j} [/mm] mit geradem j ensteht aus dem linken Drittel aus [mm] I_{n,j/2}. [/mm] Ein [mm] I_{n+1,j} [/mm] mit ungeradem j ensteht aus dem rechten Drittel aus [mm] I_{n,(j-1)/2}:
[/mm]
[mm] a_{n+1,j}=1_{2\IN}(j)a_{n,j/2}+1_{2\IN+1}(j)(b_{n,(j-1)/2}-1/3^{n+1})
[/mm]
[mm] b_{n+1,j}=1_{2\IN}(j)(a_{n,j/2}+1/3^{n+1})+1_{2\IN+1}(j)b_{n,(j-1)/2}
[/mm]
>
> Es gibt aber viele nicht Randpunkte in der Menge! Ich
> stelle mir dabei einen hüpfendne Punkt vor, der für jedes
> n echt im Inneren der Intervalle liegt, den man aber in
> jedem Schritt von den alten Randpunkten weghält, aber der
> hüpfende Punkt nicht wild springt. Dies sollte dir eine
> Vorstellung von konvergenten Folgen geben, die keine
> Randpunkte sind.
>
Das gelingt mir nur beim "Randpunkthopping" (siehe mein anderer Reply). Man muss nur immer mal wieder über ein entferntes offenes Intervall hüpfen, um sicher zu stellen, das man keinem Randpunkt beliebig nahe kommt. Da man das innerhalb einer kompakten Menge tut, gibt es Häufungspunkte, die aber von den Randpunkten verschieden sein müssen, da man ihnen auf diese Weise nicht beliebig nahe kommt.
Da aber sich die Intervalle beim Teilen für den nächsten Schirtt dritteln und sich dabei auf immer neue Punkte (eben die immer neu hinzukommenden Randpunkte) zusammen ziehen, ist dieser Prozess schwer zu fassen:
Die Randpunkt bleiben, sie sind abzählbar, die Intervalle ziehen sich auf einen Punkt zusammen (naja, zumindest verschwindet deren Maß) und trotzdem gibt es mehr als die Randpunkte, und zwar unerhört mehr.
"Eine Menge ist ein Abgrund." (Cantor)
Gibt es vielleicht ein anschauliches Bild?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Do 29.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Das gelingt mir nur beim "Randpunkthopping" (siehe mein
> anderer Reply). Man muss nur immer mal wieder über ein
> entferntes offenes Intervall hüpfen, um sicher zu stellen,
> das man keinem Randpunkt beliebig nahe kommt. Da man das
> innerhalb einer kompakten Menge tut, gibt es
> Häufungspunkte, die aber von den Randpunkten verschieden
> sein müssen, da man ihnen auf diese Weise nicht beliebig
> nahe kommt.
Genau. Also siehst du doch andere Punkte?
> Da aber sich die Intervalle beim Teilen für den nächsten
> Schirtt dritteln und sich dabei auf immer neue Punkte (eben
> die immer neu hinzukommenden Randpunkte) zusammen ziehen,
> ist dieser Prozess schwer zu fassen:
Sagt keiner, das es leicht ist ... so what?
> Die Randpunkt bleiben, sie sind abzählbar, die Intervalle
> ziehen sich auf einen Punkt zusammen (naja, zumindest
> verschwindet deren Maß)
Hm, auf einen Punkt zusammenziehen ... weiss nicht, ob die Vorstellung gut ist.
> und trotzdem gibt es mehr als die
> Randpunkte, und zwar unerhört mehr.
Ja, aber das habe ich / hast du oben schon begründet.
> Gibt es vielleicht ein anschauliches Bild?
Nach was suchst du?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Fr 30.04.2010 | | Autor: | gfm |
> > Das gelingt mir nur beim "Randpunkthopping" (siehe mein
> > anderer Reply). Man muss nur immer mal wieder über ein
> > entferntes offenes Intervall hüpfen, um sicher zu stellen,
> > das man keinem Randpunkt beliebig nahe kommt. Da man das
> > innerhalb einer kompakten Menge tut, gibt es
> > Häufungspunkte, die aber von den Randpunkten verschieden
> > sein müssen, da man ihnen auf diese Weise nicht beliebig
> > nahe kommt.
>
> Genau. Also siehst du doch andere Punkte?
Na ja, "sehen" nicht. Zumindest nicht im anschaulichen Sinne. Ich "sehe" anschaulich, dass es welche geben muss, da es Folgen gibt die sich in einem kompakten Bereich "aufhalten", die aber die Randpunkte der Teilintervalen nicht als Häufungspunkte haben können.
>
> > Da aber sich die Intervalle beim Teilen für den nächsten
> > Schirtt dritteln und sich dabei auf immer neue Punkte (eben
> > die immer neu hinzukommenden Randpunkte) zusammen ziehen,
> > ist dieser Prozess schwer zu fassen:
>
> Sagt keiner, das es leicht ist ... so what?
>
> > Die Randpunkt bleiben, sie sind abzählbar, die Intervalle
> > ziehen sich auf einen Punkt zusammen (naja, zumindest
> > verschwindet deren Maß)
>
> Hm, auf einen Punkt zusammenziehen ... weiss nicht, ob die
> Vorstellung gut ist.
Offenbar nicht. Fakt ist jedoch, dass sich die Anzahl der abgeschlossenen Teilintervalle verdoppelt. Und zwar dadurch, dass allen bestehenden dass offene mittlere Drittel entfernt wird. Wenn ich dabei - ausgehend von einem Intervall die Folge der linken Teilintervalle betrachte, erhalte ich eine (monoton fallende) Folge von Teilintervallen, die den linken Randpunkt des Ausgangsintervalls als linken Randpunkt haben und deren länge gegen null geht. Die ziehen sich also auf den linken Randpunkt zusammen.
Wenn man nun alternierend die Abfolge von linken und rechten Teilintervallen betrachtet (ausgehen von einem gegebenen Teilintervall), dann erhalte ich eine (monoton fallende) von Teilintervallen, deren Schnitt so einen der gesuchten anderen Häufungspunkte liefern müßte.
>
> > und trotzdem gibt es mehr als die
> > Randpunkte, und zwar unerhört mehr.
>
> Ja, aber das habe ich / hast du oben schon begründet.
>
> > Gibt es vielleicht ein anschauliches Bild?
>
> Nach was suchst du?
Z.B. im Elstrodt gibt es ienen ganzen Abschnitt über C. Das ist auch alles gut und schön und nachvollziehbar. Nur für die unmittelbares anschauliches "einsehen" taugt das nicht.
Anschaulich ist nur einsehbar, dass es weitere von den Randpunkten verschiedene Häufungspunkte geben muss die in C enthalten sind, da C abgeschlossen ist.
Was ich suche ist
a) eine "konstruierende Anschauung", die zu einem Bespiel für so einen Punkt führt
b) ein schlagendes Argument, warum die Menge der zusätzlichen Häufungspunkte (zHP) überabzählbar ist.
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Fr 30.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Offenbar nicht. Fakt ist jedoch, dass sich die Anzahl der
> abgeschlossenen Teilintervalle verdoppelt. Und zwar
> dadurch, dass allen bestehenden dass offene mittlere
> Drittel entfernt wird. Wenn ich dabei - ausgehend von einem
> Intervall die Folge der linken Teilintervalle betrachte,
> erhalte ich eine (monoton fallende) Folge von
> Teilintervallen, die den linken Randpunkt des
> Ausgangsintervalls als linken Randpunkt haben und deren
> länge gegen null geht. Die ziehen sich also auf den linken
> Randpunkt zusammen.
Vielleicht findest du Kriterien, die genua die Randpunkte bei der Intervallkonvergenz beschreiben (würde mich nicht wundern, dass dies gen au die abbrechnenden Zahlen in Tertiär-Darstellung sind.)
> Wenn man nun alternierend die Abfolge von linken und
> rechten Teilintervallen betrachtet (ausgehen von einem
> gegebenen Teilintervall), dann erhalte ich eine (monoton
> fallende) von Teilintervallen, deren Schnitt so einen der
> gesuchten anderen Häufungspunkte liefern müßte.
Hört sich doch gut an.
> Z.B. im Elstrodt gibt es ienen ganzen Abschnitt über C.
> Das ist auch alles gut und schön und nachvollziehbar. Nur
> für die unmittelbares anschauliches "einsehen" taugt das
> nicht.
Es gibt Grenzen, wo man das nicht mehr so einfach kann.
> Anschaulich ist nur einsehbar, dass es weitere von den
> Randpunkten verschiedene Häufungspunkte geben muss die in
> C enthalten sind, da C abgeschlossen ist.
Das reicht doch, um die "nur Randpunkte" Vorstellung vollständig zu falsifizieren.
> a) eine "konstruierende Anschauung", die zu einem Bespiel
> für so einen Punkt führt
Naja, da wirst du wohl mit Tertiär-Darstellung usw usf arbeiten müssen.
> b) ein schlagendes Argument, warum die Menge der
> zusätzlichen Häufungspunkte (zHP) überabzählbar ist.
Imo ist die Äquivalenz zur Tertiär-Darstellung schlagend einfach. Aber vielleicht kennt ja jemand anderes noch ein anderes Argument.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Fr 30.04.2010 | | Autor: | gfm |
Ich glaube ich hab's jetzt:
Anschaulich ist klar, dass, wenn man immer mal wieder "die Seiten wechselt", einen Häufungspunkt erwischt, der von allen Randpunkten verschieden ist.
Wir haben monoton fallende Folgen von abgeschlossenen Intervallen, deren Länge von null verschieden ist, aber gegen null strebt. Anschaulich ist klar, dass es ein Element geben muss, dass in allen enthalten ist. Und es kann nur eins geben, da zwei einen Abstand größer null haben der irgendwann größer wird als die Länge der Intervalle.
So ein Häufungspunkt ist also durch eine abzählbare Abfolge von Binärentscheidungen (Links-Rechts) codiert.
Klar ist auch, dass wenn sich zwei solcher Abfolgen in nur einem "Bit" unterscheiden, die ihnen entsprechenden Häufungspunkt durch eine "unüberbrückbare" Entnahme eines offenen mittleren Drittels getrennt werden, wodurch klar ist, dass Sie verschieden voneinander sind.
Alle "Bitfolgen" führen also zu verschiedenen Häufungspunkten. Von denen gibt es aber überabzählbar viele.
Die Bitfolgen, die nach endlich vielen Schritte immer bei 1 oder 0 bleiben, führen gerade auf die Randpunkte. Solche Bitfolgen gibt es aber nur in der Mächtigkeit von [mm] \IN.
[/mm]
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Fr 30.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Die Bitfolgen, die nach endlich vielen Schritte immer bei 1
> oder 0 bleiben, führen gerade auf die Randpunkte. Solche
> Bitfolgen gibt es aber nur in der Mächtigkeit von [mm]\IN.[/mm]
Ganz genau. Ist doch so vorstellbar, auch wenn man Darstellugnen von Zahlen braucht.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 Sa 01.05.2010 | | Autor: | gfm |
für Deine Beteiligung.
LG
gfm
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