Diskreter Raum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Sa 05.11.2005 | | Autor: | miho |
Hi!
Ich habe ein Verständnisproblem bei folgender Aufgabe:
Eine Teilmenge eines diskreten Raums ist genau dann kompakt, wenn sie endlich ist.
Ich habe mir zunächst klar gemacht, was Diskretheit überhaupt bedeutet. Es ist doch richtig, dass jede Menge, versehen mit der Metrik
d(x,y) [mm] =\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \not= y \\ 0, & \mbox{für } x = y \end{cases}
[/mm]
ein diskreter Raum ist, oder?
Ich habe irgendwie den Eindruck, dass jede endliche Menge auch kompakt ist, also Kompaktheit und Endlichkeit "verwandt" sind. Ich kann aber den Unterschied nicht klar fassen und somit die Aufgabe nicht lösen. Bin für Hilfe sehr dankbar!
Gruß,
miho
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Eine endliche Menge ist natürlich kompakt, das ist trivial.
Sei jetzt umgekehrt eine Menge $M$ in einem diskreten Raum $X$ kompakt. Wir wollen zeigen, dass sie endlich sein muss. "Kompakt" heißt ja, dass jede Überdeckung von $M$ eine endliche Teilüberdeckung hat. Nun ist aber eine Überdeckung von $M$ durch die Vereinigung der einelementigen Teilmengen von $M$ gegeben (diese einelementigen Mengen sind offen, da der Raum diskret ist). Die einzige Teilüberdeckung dieser Überdeckung ist die Überdekcung selbst (denn sobald ich eine der einelementigen Mengen weglasse, wird das dort enthaltene Element von $M$ ja nicht mehr getroffen). Also muss, da $M$ kompakt ist, diese Überdeckung selbst bereits endlich sein, also aus endlich vielen einelementigen Mengen bestehen. Das aber wiederum bedeutet, dass $M$ selber endlich sein muss.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 So 06.11.2005 | | Autor: | miho |
Danke für die gut verständliche Antwort!
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