Diskriminante < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:17 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | | Berechne die Diskriminante von [mm] (1,\bruch{1}{2}(1+\wurzel{-7})) [/mm] in [mm] \IQ(\wurzel{-7}). [/mm] |
Die Diskriminante ist definiert als [mm] \Delta(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}) [/mm] = [mm] (det(\alpha_{i}^{(j)}))^{2}, [/mm] wobei [mm] \alpha_{i}^{(j)} [/mm] die Konjugierten von [mm] \alpha_{i} [/mm] sind.
Wieso sieht die Diskriminante wie folgt aus:
[mm] \Delta(1,\bruch{1}{2}(1+\wurzel{-7})) [/mm] = [mm] (det(\pmat{ 1 & 1\\ \bruch{1}{2}(1+\wurzel{-7}) & \bruch{1}{2}(1+\wurzel{-7})})^{2}
[/mm]
= [mm] \wurzel{-7}
[/mm]
Weiß jemand wie so eine Diskriminante aufgebaut ist? Ich verstehe nicht warum ausgerechnet diese Reihenfolge die Matrix bestimmt.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Viele Grüße
Joan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Sa 09.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Berechne die Diskriminante von
> [mm](1,\bruch{1}{2}(1+\wurzel{-7}))[/mm] in [mm]\IQ(\wurzel{-7}).[/mm]
> Die Diskriminante ist definiert als
> [mm]\Delta(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n})[/mm] =
> [mm](det(\alpha_{i}^{(j)}))^{2},[/mm] wobei [mm]\alpha_{i}^{(j)}[/mm] die
> Konjugierten von [mm]\alpha_{i}[/mm] sind.
Ja. Und was sind [mm] $\alpha_1, \dots, \alpha_n$? [/mm] Das ist doch eine [mm] $\IZ$-Basis [/mm] vom Ideal.
> Wieso sieht die Diskriminante wie folgt aus:
> [mm]\Delta(1,\bruch{1}{2}(1+\wurzel{-7}))[/mm] = [mm](det(\pmat{ 1 & 1\\ \bruch{1}{2}(1+\wurzel{-7}) & \bruch{1}{2}(1+\wurzel{-7})})^{2}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{-7}[/mm]
Sie sieht doch gar nicht so aus; du hast ja nicht die Konjugierten eingesetzt sondern die Werte selber.
Und weisst du, ob $1$ und [mm] $\frac{1}{2} [/mm] (1 + [mm] \sqrt{-7})$ [/mm] eine [mm] $\IZ$-Basis [/mm] von dem Ideal ist?
> Weiß jemand wie so eine Diskriminante aufgebaut ist? Ich
> verstehe nicht warum ausgerechnet diese Reihenfolge die
> Matrix bestimmt.
Was willst du damit sagen? Die Diskriminante ist unabhaengig davon welche [mm] $\IZ$-Basis [/mm] man vom Ideal nimmt.
LG Felix
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