Dispersion Gaussches Wellenpak < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:16 Mo 08.07.2013 | | Autor: | Erbse |
| Aufgabe | Wellenpaket
[mm] \gamma(x,t) [/mm] = [mm] \gamma_0 [/mm] * [mm] e^{i(p_0 - \varepsilon (p_0) * t)} [/mm] * [mm] e^{-(x- v_0 * t)^{2} / (4(b^{2} + i * h *t /(2*m))}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{b^{2} + i*h*t/(2*m)} [/mm] = [mm] \bruch{b^2 - i*h*t/(2*m)}{b^{4} + (h*t/(2*m)^{2}}
[/mm]
Daraus
[mm] b^{2}(t) [/mm] = [mm] b^{2} [/mm] + [mm] \bruch{h*t}{2*m*b}^{2} [/mm] |
Da ein Gaussches Wellenpaket folgt, dass [mm] (\Delta x)^{2} [/mm] = 2 * [mm] (b^{2} [/mm] + i * h *t /(2*m))
Da das ja die [mm] Varianz^{2} [/mm] der Gaussverteilung ist.
Und b ist die zeitlich anfängliche Breite oder Ortsunschärfe.
Oben wird nun hergeleitet, wie sich diese Breite über die Zeit hinweg verändert.
Die erste Gleichheit ist verständlich, da ja nur quadratisch ergänzt wird.
Danach verstehe ich aber nicht, wie man auf das zeitabhängige [mm] b^{2}(t) [/mm] kommt.
Man könnte es durch [mm] b^{2}(t) [/mm] = [mm] b^{2} [/mm] + [mm] (\Delta [/mm] v * [mm] t)^{2}
[/mm]
und [mm] \Delta [/mm] v = [mm] \Delta [/mm] p /m und [mm] \Delta [/mm] p = h/(2*b) ableiten.
Oder gibt es hier noch eine andere Umformung die hier möglich ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 10.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
> Wellenpaket
> [mm]\gamma(x,t)[/mm] = [mm]\gamma_0[/mm] * [mm]e^{i(p_0 - \varepsilon (p_0) * t)}[/mm]
> * [mm]e^{-(x- v_0 * t)^{2} / (4(b^{2} + i * h *t /(2*m))}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{b^{2} + i*h*t/(2*m)}[/mm] = [mm]\bruch{b^2 - i*h*t/(2*m)}{b^{4} + (h*t/(2*m)^{2}}[/mm]
>
> Daraus
>
> [mm]b^{2}(t)[/mm] = [mm]b^{2}[/mm] + [mm]\bruch{h*t}{2*m*b}^{2}[/mm]
> Da ein Gaussches Wellenpaket folgt, dass [mm](\Delta x)^{2}[/mm] =
> 2 * [mm](b^{2}[/mm] + i * h *t /(2*m))
> Da das ja die [mm]Varianz^{2}[/mm] der Gaussverteilung ist.
>
> Und b ist die zeitlich anfängliche Breite oder
> Ortsunschärfe.
>
> Oben wird nun hergeleitet, wie sich diese Breite über die
> Zeit hinweg verändert.
wie du wahrscheinlich schon weißt, hängt die Gruppengeschwindigkeit v mit dem Impuls p mit [mm]v=\frac{p}{m}[/mm] zusammen. Aufgrund der Unschärferelation kann der Anfangsimpuls p eines Teilchens nicht genauer als [mm]p\pm\Delta p[/mm] bestimmt werden. Daraus folgt: [mm]v=\frac{\Delta p}{m}=\frac{\hbar}{\Delta x_0}[/mm]
[mm]\Delta x_0 [/mm] ist die ursprüngliche Breite des Wellenpakets, welche auch nur mit einer Unschärfe gemessen werden kann. Wegen der Unschärfe der Teilchengeschwindigkeit steigt die "Unsicherheit" (zur Bestimmung des Ortes des Teilchens) linear mit der Zeit an.
Also: [mm]\Delta x(t)=\Delta x_0+vt=\Delta x_0 + \frac{\hbar t}{m*\Delta x_0}[/mm]
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> Die erste Gleichheit ist verständlich, da ja nur
> quadratisch ergänzt wird.
> Danach verstehe ich aber nicht, wie man auf das
> zeitabhängige [mm]b^{2}(t)[/mm] kommt.
> Man könnte es durch [mm]b^{2}(t)[/mm] = [mm]b^{2}[/mm] + [mm](\Delta[/mm] v *
> [mm]t)^{2}[/mm]
> und [mm]\Delta[/mm] v = [mm]\Delta[/mm] p /m und [mm]\Delta[/mm] p = h/(2*b)
> ableiten.
> Oder gibt es hier noch eine andere Umformung die hier
> möglich ist?
Ich hoffe das hat deine Frage geklärt.
Liebe Grüße aus Wien,
Scherzkrapferl
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