Distribution mit Besselfkt < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Mo 19.07.2010 | | Autor: | Phorkyas |
| Aufgabe | Für [mm]\varphi\in S(R^n)[/mm] definieren wir
[mm]u(\varphi)=\int_{S^{n-1}}\varphi(x_1,...,x_n)dS(x_1,...,x_n)[/mm]
wobei dS das Oberflächenmass auf der Sphäre [mm]S^{n-1}=\{x\in R^n |x|_2=1\}[/mm] ist.
Zeige: [mm]u\in S'(R^n)[/mm] und es existiert eine Konstante C mit:
[mm]\hat{u}(\varphi)=C\int_{R^n}\varphi(x)*J_{\bruch{n-2}{2}}(|x|)*|x|^{-\bruch{n-2}{2}}dx[/mm]
Hier ist [mm]J_v(z)=\bruch{z^v}{2^v \sqrt{\pi}\Gamma(v+1/2)}\int_{0}^\pi cos(zcos(\alpha))sin^{2v}(\alpha)d\alpha[/mm]
die Besselfunktion der Ordnung v>-1/2 |
Grüsse Matheboard
Wieder mal eine wunderhübsch hässliche Aufgabe...
Ich habe erstmal versucht die Aussage zu zeigen, warum das ganze eine Distribution ist habe ich mir noch nicht überlegt (Tipps sind willkommen).
Soweit bin ich:
[mm]\hat{u}(\varphi)=u(\hat{\varphi})=\bruch{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{S^{n-1}}\int_{R^n}\varphi(x_1,...,x_n)e^{-i(x_1k_1+...+x_nk_n)}dx_1...dx_n dS(k_1,...,k_n)=
\bruch{1}{(2\pi)^{n/2}}[/mm][mm] \int_{R^n}\varphi(x_1,...,x_n)\int_{S^{n-1}}e^{-i(x_1k_1+...+x_nk_n)}dS(k_1,...,k_n)dx_1...dx_n[/mm]
[/mm]
Hier sieht man nun das eigentlich zu zeigen bleibt:
[mm]\int_{S^{n-1}}e^{-i(x_1k_1+...+x_nk_n)}dS(k_1,...,k_n)=C J_{\bruch{n-2}{2}}(|x|)*|x|^{-\bruch{n-2}{2}}[/mm]
(bis hier alles richtig?)
Also versuchen wir dies zu zeigen:
[mm]\int_{S^{n-1}}e^{-i(x_1k_1+...+x_nk_n)}dS(k_1,...,k_n)=\int_1^1\int_0^\pi \int_0^{2\pi}e^{-i}r^{n-1}dr d\phi \produkt_{i=1}^{n}(sin\theta_j)^j d\theta_j[/mm]
Das Integral über r entfällt natürlich, ich habe es nur hingeschrieben um die Transformation in Kugelkoordinaten besser sehen zu können. Der Term [mm]r^{n-1}[/mm] ist daher natürlich einfach 1.
Jetzt haben wir noch k in Polarkoordinaten zu schreiben haben. Ab hier wird es enorm hässlich und unübersichtlich. Wer also hier einen "shortcut" kennt dem wäre ich sehr dankbar...
[mm]\int_{S^{n-1}}e^{-i(x_1k_1+...+x_nk_n)}dS(k_1,...,k_n)=\int_0^\pi \int_0^{2\pi} e^{-i sin(\theta_1)...sin(\theta_{n-2})(x_1cos(\varphi)+x_2sin(\varphi))}...e^{-ix_n cos(\theta_{n-2})}d\varphi \produkt_{i=1}^{n}(sin\theta_j)^j d\theta_j[/mm]
So, nun gilt:
[mm]\int_0^{2\pi}e^{-i a(x_1 cos(\varphi) + x_2 cos(\varphi)}d\varphi=2\pi J_0(a(x_1+x_2))[/mm]
Und ich habe aber in der Klammer sinus und cosinus.
Wie kommt man hier weiter?
Für alle Hinweise bin ich dankbar.
Grüsse
Phorkyas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Mi 21.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Für [mm]\varphi\in S(R^n)[/mm] definieren wir
>
> [mm]u(\varphi)=\int_{S^{n-1}}\varphi(x_1,...,x_n)dS(x_1,...,x_n)[/mm]
> wobei dS das Oberflächenmass auf der Sphäre
> [mm]S^{n-1}=\{x\in R^n |x|_2=1\}[/mm] ist.
>
> Zeige: [mm]u\in S'(R^n)[/mm] und es existiert eine Konstante C mit:
>
> [mm]\hat{u}(\varphi)=C\int_{R^n}\varphi(x)*J_{\bruch{n-2}{2}}(|x|)*|x|^{-\bruch{n-2}{2}}dx[/mm]
>
> Hier ist [mm]J_v(z)=\bruch{z^v}{2^v \sqrt{\pi}\Gamma(v+1/2)}\int_{0}^\pi cos(zcos(\alpha))sin^{2v}(\alpha)d\alpha[/mm]
>
> die Besselfunktion der Ordnung v>-1/2
> Grüsse Matheboard
>
> Wieder mal eine wunderhübsch hässliche Aufgabe...
> Ich habe erstmal versucht die Aussage zu zeigen, warum das
> ganze eine Distribution ist habe ich mir noch nicht
> überlegt (Tipps sind willkommen).
>
> Soweit bin ich:
>
> [mm]\hat{u}(\varphi)=u(\hat{\varphi})=\bruch{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{S^{n-1}}\int_{R^n}\varphi(x_1,...,x_n)e^{-i(x_1k_1+...+x_nk_n)}dx_1...dx_n dS(k_1,...,k_n)=
\bruch{1}{(2\pi)^{n/2}}[/mm][mm] \int_{R^n}\varphi(x_1,...,x_n)\int_{S^{n-1}}e^{-i(x_1k_1+...+x_nk_n)}dS(k_1,...,k_n)dx_1...dx_n[/mm][/mm]
>
> Hier sieht man nun das eigentlich zu zeigen bleibt:
>
> [mm]\int_{S^{n-1}}e^{-i(x_1k_1+...+x_nk_n)}dS(k_1,...,k_n)=C J_{\bruch{n-2}{2}}(|x|)*|x|^{-\bruch{n-2}{2}}[/mm]
>
> (bis hier alles richtig?)
> Also versuchen wir dies zu zeigen:
>
> [mm]\int_{S^{n-1}}e^{-i(x_1k_1+...+x_nk_n)}dS(k_1,...,k_n)=\int_1^1\int_0^\pi \int_0^{2\pi}e^{-i}r^{n-1}dr d\phi \produkt_{i=1}^{n}(sin\theta_j)^j d\theta_j[/mm]
Stimmt nicht ganz, das Produkt geht nur bis zum Index $n-2$: n-dim. Polarkoordinaten bestehen aus r und $n-1$ Winkeln.
> Das Integral über r entfällt natürlich, ich habe es nur
> hingeschrieben um die Transformation in Kugelkoordinaten
> besser sehen zu können. Der Term [mm]r^{n-1}[/mm] ist daher
> natürlich einfach 1.
> Jetzt haben wir noch k in Polarkoordinaten zu schreiben
> haben. Ab hier wird es enorm hässlich und
> unübersichtlich. Wer also hier einen "shortcut" kennt dem
> wäre ich sehr dankbar...
>
> [mm]\int_{S^{n-1}}e^{-i(x_1k_1+...+x_nk_n)}dS(k_1,...,k_n)=\int_0^\pi \int_0^{2\pi} e^{-i sin(\theta_1)...sin(\theta_{n-2})(x_1cos(\varphi)+x_2sin(\varphi))}...e^{-ix_n cos(\theta_{n-2})}d\varphi \produkt_{i=1}^{n}(sin\theta_j)^j d\theta_j[/mm]
>
> So, nun gilt:
> [mm]\int_0^{2\pi}e^{-i a(x_1 cos(\varphi) + x_2 cos(\varphi)}d\varphi=2\pi J_0(a(x_1+x_2))[/mm]
>
> Und ich habe aber in der Klammer sinus und cosinus.
>
> Wie kommt man hier weiter?
>
> Für alle Hinweise bin ich dankbar.
Zunächst einmal ist $x*k = [mm] |x|*|k|*\cos\alpha$, [/mm] wobei [mm] $\alpha$ [/mm] der von den Vektoren x und k eingeschlossene Winkel ist. Für die Integration ist außerdem $|k|=r=1$.
Am einfachsten ist es, das Koordinatensystem geschickt zu wählen. Nimm an, du willst dieses Integral für ein festes x berechnen. Dann hindert dich niemand daran, durch eine Drehung des K-Systems x in Richtung der positiven [mm] $x_n$-Achse [/mm] zu legen, so dass nur die Komponente [mm] $x_n$ [/mm] von 0 verschieden ist.
Damit ist [mm] $\alpha$ [/mm] gerade die letzte der Winkelkoordinaten von k, also [mm] $\theta_{n-2}$. [/mm] Die Integration über die restlichen $n-2$ Winkel ergibt eine multiplikative Konstante, und es bleibt das Integral
[mm] \integral_{0}^{\pi} e^{-i|x| \cos \theta_{n-2}} \sin^{n-2}\theta_{n-2} d\theta_{n-2} [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Phorkyas |
Grüsse Matheboard
Danke schon für die Antwort Rainer!
Mit dem falschen Volumenelement hattest du natürlich recht. Das TeX-schreiben ist hier doch seh unübersichtlich in der kleinen Box, da übersieht man soetwas leicht. Danach beim durchlesen ist es mir auch nicht aufgefallen.
Ok dann versuche ich das nochmal (nur zur Kontrolle das alles richtig ist und für eventuelle Mitleser ;) )
wähle [mm]R\in SO(n)[/mm] sodass [mm]R^T x=(0,...,0,x_n)[/mm] und sei [mm]k=Ry[/mm] dann gilt mit der Transformationsformel (Rotation ist Diffeomorphismus)
(Rotation von [mm]S^{n-1}[/mm] ist offensichtlich wieder [mm]S^{n-1}[/mm], Integrationsgebiet ändert sich also nicht.
[mm]\int_{S^{n-1}}e^{-i}dS=\int_{S^{n-1}}e^{-i}|det(DR(k))|dy[/mm]
wobei DR(k) die Jacobi-Matrix von R ist. Für lineare Abbildungen gilt natürlich DR=R und für Rotationsmatrizen gilt natürlich det(R)=1
Weiterhin gilt für alle Rotationsmatrizen: <Rx,Ry>=<x,y>, also auch [mm]=[/mm] und [mm]R R^T=1[/mm]
Damit:
[mm]\int_{S^{n-1}}e^{-i}|det(DR(k))|dy=\int_{S^{n-1}}e^{-i}dy=\int_0^\pi \int_0^{2\pi} e^{-i|y||x|cos(\theta_{n-2})}d\phi \produkt_{i=1}^{n-2}(sin\theta_j)^jd\theta_j=2\pi\int_0^\pi e^{-i|x|cos\theta_{n-2}}sin(\theta_{n-2})^{n-2}d\theta_{n-2}\produkt_{i=1}^{n-3}\int_0^\pi sin\theta_i^id\theta_i=2\pi\int_0^\pi e^{-i|x|cos\theta_{n-2}}sin(\theta_{n-2})^{n-2}d\theta_{n-2}\produkt_{i=1}^{n-3}\bruch{\sqrt{\pi}\Gamma[\bruch{1+n}{2}]}{\Gamma[1+\bruch{n}{2}]}[/mm]
Bevor ich mich jetzt mit den Gammafunktionen weiterquäle wollte ich erstmal nachfragen ob das soweit stimmt und ob ich das so schreiben kann. Bin mir mit der Transformationsformel nicht so ganz sicher. Mir kommt das etwas komisch vor, das man im endeffekt einfach x dreht und sonnst nichts ändert.
Ausserdem weis ich nicht recht was ich mit dem Produkt dieser Gammafunktionen anfangen soll.
Danke auf jedenfall mal für den Hinweis, es scheint ich bin der Lösung doch schon sehr nahe. Es geht eigendlich nurnoch um den Faktor und darum das bisher alles richtig war.
Grüsse
Phorkyas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:52 Sa 24.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Grüsse Matheboard
>
> Danke schon für die Antwort Rainer!
>
> Mit dem falschen Volumenelement hattest du natürlich
> recht. Das TeX-schreiben ist hier doch seh unübersichtlich
> in der kleinen Box, da übersieht man soetwas leicht.
> Danach beim durchlesen ist es mir auch nicht aufgefallen.
>
> Ok dann versuche ich das nochmal (nur zur Kontrolle das
> alles richtig ist und für eventuelle Mitleser ;) )
> wähle [mm]R\in SO(n)[/mm] sodass [mm]R^T x=(0,...,0,x_n)[/mm] und sei [mm]k=Ry[/mm]
> dann gilt mit der Transformationsformel (Rotation ist
> Diffeomorphismus)
> (Rotation von [mm]S^{n-1}[/mm] ist offensichtlich wieder [mm]S^{n-1}[/mm],
> Integrationsgebiet ändert sich also nicht.
>
> [mm]\int_{S^{n-1}}e^{-i}dS=\int_{S^{n-1}}e^{-i}|det(DR(k))|dy[/mm]
> wobei DR(k) die Jacobi-Matrix von R ist. Für lineare
> Abbildungen gilt natürlich DR=R und für Rotationsmatrizen
> gilt natürlich det(R)=1
> Weiterhin gilt für alle Rotationsmatrizen: <Rx,Ry>=<x,y>,
> also auch [mm]=[/mm] und [mm]R R^T=1[/mm]
> Damit:
>
> [mm]\int_{S^{n-1}}e^{-i}|det(DR(k))|dy=\int_{S^{n-1}}e^{-i}dy=\int_0^\pi \int_0^{2\pi} e^{-i|y||x|cos(\theta_{n-2})}d\phi \produkt_{i=1}^{n-2}(sin\theta_j)^jd\theta_j=2\pi\int_0^\pi e^{-i|x|cos\theta_{n-2}}sin(\theta_{n-2})^{n-2}d\theta_{n-2}\produkt_{i=1}^{n-3}\int_0^\pi sin\theta_i^id\theta_i=2\pi\int_0^\pi e^{-i|x|cos\theta_{n-2}}sin(\theta_{n-2})^{n-2}d\theta_{n-2}\produkt_{i=1}^{n-3}\bruch{\sqrt{\pi}\Gamma[\bruch{1+n}{2}]}{\Gamma[1+\bruch{n}{2}]}[/mm]
>
> Bevor ich mich jetzt mit den Gammafunktionen weiterquäle
> wollte ich erstmal nachfragen ob das soweit stimmt und ob
> ich das so schreiben kann. Bin mir mit der
> Transformationsformel nicht so ganz sicher. Mir kommt das
> etwas komisch vor, das man im endeffekt einfach x dreht und
> sonnst nichts ändert.
Das liegt daran, dass du über die gesamte Oberfläche der n-dimensionalen Kugel integrierst und diese rotationssymmetrisch ist. Daher kannst du für jedes einzelne x die Polarkoordinanten für y anders wählen. Das machst du so, dass $<x,y> =|x|*|y|* [mm] \cos\theta_{n-2}$ [/mm] ist.
> Ausserdem weis ich nicht recht was ich mit dem Produkt
> dieser Gammafunktionen anfangen soll.
Gar nichts. Du sollst doch zeigen, das eine multiplikative Konstante C existiert. Das Intergral über die anderen n-2 Winkel steckst du in diese Konstante.
Jetzt nur noch in Real- und Imaginärteil zerlegen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
