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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:28 Fr 09.11.2012 | | Autor: | FlaFlu |
| Aufgabe | Es gelte [mm] $u_j \to [/mm] u$ in [mm] $C^{\infty}_{c}(\Omega)$ [/mm] und [mm] $T_{j} \to [/mm] T$ im Raum der Distributionen, d.h. [mm] $T_{j} [/mm] u [mm] \to [/mm] T u$ für alle $u$ aus [mm] $C^{\infty} [/mm] _{c} [mm] (\Omega)$ [/mm] (Raum der Testfunktionen).
Beweise:
i) [mm] $\partial [/mm] _{k} [mm] \partial [/mm] _{l} [mm] T=\partial [/mm] _{l} [mm] \partial [/mm] _{k} T$, [mm] $1\le k,~l\le [/mm] n$
ii) [mm] $\partial ^{\alpha}(u_{j} [/mm] - u) [mm] \to [/mm] 0$ in [mm] $C^{\infty}_{c}(\Omega)$ [/mm] für [mm] $\alpha \in \IN [/mm] ^{n}$ |
Wie beweise ich ii) ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 So 11.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Es gelte [mm]u_j \to u[/mm] in [mm]C^{\infty}_{c}(\Omega)[/mm] und [mm]T_{j} \to T[/mm]
> im Raum der Distributionen, d.h. [mm]T_{j} u \to T u[/mm] für alle
> [mm]u[/mm] aus [mm]C^{\infty} _{c} (\Omega)[/mm] (Raum der Testfunktionen).
> Beweise:
> i) [mm]\partial _{k} \partial _{l} T=\partial _{l} \partial _{k} T[/mm],
> [mm]1\le k,~l\le n[/mm]
> ii) [mm]\partial ^{\alpha}(u_{j} - u) \to 0[/mm] in
> [mm]C^{\infty}_{c}(\Omega)[/mm] für [mm]\alpha \in \IN ^{n}[/mm]
>
>
> Wie beweise ich ii) ?
Was heisst denn, dass [mm] $u_j$ [/mm] gegen $u$ konvergiert? Das bedeutet doch, dass alle partiellen Ableitungen [mm] $\partial^\alpha u_j$ [/mm] gleichmäßig gegen [mm] $\partial^\alpha [/mm] u$ konvergieren.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Mo 12.11.2012 | | Autor: | FlaFlu |
Genau. Es gibt auch eine Halbnorm auf dem Raum der Testfunktionen:
Z.b. hier https://www.tu-braunschweig.de/Medien-DB/iaa/ftdskript.pdf
Seite 15
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:25 Di 13.11.2012 | | Autor: | FlaFlu |
Suche nach wie vor Nach Lösung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 20.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:51 Mi 14.11.2012 | | Autor: | FlaFlu |
Was ich meinte ist, dass mir das "intuitiv" klar ist und auch von einigen Fakten her. Aber wie geht der technische Beweis?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Do 15.11.2012 | | Autor: | FlaFlu |
Folgendes hätte vorausgesagt werden müssen: Die Konvergenz von [mm] $u_{j} \to [/mm] u$ in [mm] $C_{c} ^{\infty}$ [/mm] durch die gleichmäßige Konvergenz von [mm] $\partial ^{\alpha} u_{j} \to \partial ^{\alpha} [/mm] $ zu definieren ist nur eine Variante.
Eine andere ist, eine Halbnorm [mm] $p_{N} [/mm] (f) := max [mm] \{ | \partial ^{\alpha} f(x) | ; x \in K_{N} , | \alpha | \le N \} [/mm] = [mm] max\{\parallel \partial ^{\alpha} f \parallel _{\infty} ; | \alpha | \le N \}$ [/mm] , wobei [mm] $K_{N}$ [/mm] eine kompakte Menge in [mm] $\Omega \subset \IR [/mm] ^{n} $ ist, zu definieren und aus dieser die gleichmäßige Konvergenz der partiellen Ableitungen zu folgern. Das ist das was ich suche.
Jetzt bin ich soweit, dass wenn man z.B. [mm] $f_{j} [/mm] ~und~ [mm] \partial ^{\alpha} f_{j} [/mm] $ mit $| [mm] \alpha [/mm] |=1$ betrachtet, dann folgt aus der obigen Definition der Halbnormen die gleichmäßige Konvergenz, also [mm] $\partial ^{\alpha}f_{j} \to \partial ^{\alpha} [/mm] f$ in [mm] $C_{c} ^{\infty}$.
[/mm]
Mein Ansatz ist nun: Sei $x [mm] \in \Omega$, [/mm] dann gilt $| [mm] \partial ^{\alpha} f_{j}(x) [/mm] - [mm] \partial ^{\alpha} [/mm] f(x)| [mm] \le p_{1}( \partial ^{\alpha} f_{j}(x) [/mm] - [mm] \partial ^{\alpha} [/mm] f(x)| ) = [mm] max\{ \parallel f_{j} - f \parallel _{\infty}, \parallel \partial^{\alpha} f_{j}(x) - \partial ^{\alpha} f(x) \parallel _{\infty} \}$. [/mm] Aber wie komme ich jetzt auf die gleichmäßige Konvergenz?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Do 22.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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