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| Aufgabe | | Zeigen Sie: Man kann die Gültigkeit der Distributivgesetze in H auf die Gültigkeit der Distributivgesetze für die Einheiten zurückführen. |
Diese Aufgabe ist die Aufgabe 5a im Kapitel 2 des Buches "Lineare Algebra" von Albrecht Beutelspacher. Zwar kann ich das Distributivgesetz für den Quaternionenschiefkörper H direkt zeigen, aber ich weiß nicht, wie man es auf die Distributivgesetze für die Einheiten zurückführen kann, also auf i*(j+k) = i*j + i*k beispielsweise. Könnt ihr mir da helfen?
Gruß, FF
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Mi 31.01.2018 | | Autor: | leduart |
Hallo Franz
genau das benutzt du doch, wenn du das distributivgesetz für Quaternionen benutz, zusätzlich nur das für reelle Zahlen,
Gruß leduart
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Hallo,
verstehe ich nicht. Ich soll das Distributivgesetz für Quaternionen nicht benutzen, sondern es nachweisen, aber nicht direkt, sondern es auf das Distributivgesetz für die Einheiten zurückführen. Wie soll das gehen? Beim Assoziativgesetz ist es einfach, aber beim Distributivgesetz funktioniert es nicht. Natürlich kann man das Distributivgesetz zeigen, indem man es brutal nachrechnet, aber man soll es ja explizit dadurch zeigen, dass man es auf das bereits gezeigte Distributivgesetz für die Einheiten zurückführt. Ich bitte um eine klare und verständliche Antwort auf meine Frage, am besten eine Rechnung. Dies ist keine Uni-Übungsaufgabe, sondern ich bringe mir den Stoff selbst bei.
Gruß, FF
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Hallo,
> Natürlich kann
> man das Distributivgesetz zeigen, indem man es brutal
> nachrechnet, aber man soll es ja explizit dadurch zeigen,
> dass man es auf das bereits gezeigte Distributivgesetz für
> die Einheiten zurückführt.
Also ich befürchte, dass du um dieses 'brutale Nachrechnen' nicht ganz herumkommst (das ist nicht ganz untypisch für Aufgaben aus dem Beutelspacher: dort wo das wirklich so einfach geht macht er es selbst im Text wie etwa im Abschnitt über die Quaternionen mit der Assoziativität. Wenn es aber in Schreibarbeit ausartet, wird es in Form einer Übungsaufgabe an den geneigten Leser ausgelagert  ). Um meine Vermutung zu unterstreichen verweise ich auf die Lösungen bzw. Lösungshinweise am Ende des Buchs wo es zu dieser Aufgabe (Kapitel 2, Aufgabe 5a) wörtlich heißt:
(a) Ausrechnen.
Mit 'Zurückführen' ist ja doch meist gemeint, dass man den Sachverhalt, auf den etwas zurückgeführt werden soll, eben ungeprüft anwendet bzw. als bekannt annimmt.
Was vorausgesetzt werden darf bzw. soll ist die komponentenweise Definition der Addition sowie die Definition der Multiplikation, ferner natürlich auch das Distributivgesetz für reelle Zahlen.
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant,
erst einmal danke. Ja, so kann man das Distributivgesetz zeigen. Aber in der Aufgabenstellung steht ja wörtlich, dass man es auf das Distibutivgesetz für die Einheiten zurückführen soll, also auf
[mm] e_i [/mm] * [mm] (e_j [/mm] + [mm] e_k) [/mm] = [mm] e_i [/mm] * [mm] e_j [/mm] + [mm] e_i [/mm] * [mm] e_k [/mm] ,
wobei [mm] e_i, e_j [/mm] und [mm] e_k [/mm] irgendwelche Einheiten sind.
Dies verwendet man aber gar nicht bei dem Lösungsweg, den du skizzierst und den ich auch gefunden habe.
Also stimmst du mit mir überein, dass die Aufgabe falsch gestellt ist und man einfach nur die Definitionen von Addition und Multiplikation für Quaternionen sowie das Distributivgesetz für die reellen Zahlen benötigt?
Gruß, FF
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Hallo,
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> erst einmal danke. Ja, so kann man das Distributivgesetz
> zeigen. Aber in der Aufgabenstellung steht ja wörtlich,
> dass man es auf das Distibutivgesetz für die Einheiten
> zurückführen soll, also auf
>
> [mm]e_i[/mm] * [mm](e_j[/mm] + [mm]e_k)[/mm] = [mm]e_i[/mm] * [mm]e_j[/mm] + [mm]e_i[/mm] * [mm]e_k[/mm] ,
>
> wobei [mm]e_i, e_j[/mm] und [mm]e_k[/mm] irgendwelche Einheiten sind.
>
> Dies verwendet man aber gar nicht bei dem Lösungsweg, den
> du skizzierst und den ich auch gefunden habe.
Doch, natürlich kommen da auch Ausdrücke dieser Form vor. Und indem du sie anwendest fürhst du das ganze ja darauf zurück: nämlich auf die Annahme, dass die beiden DGs auch für die imaginären Einheiten von [mm] \mathbb{H} [/mm] gültig sind.
Die Aufgabe halte ich nicht für falsch, sie hat jedoch etwas von Beschäftigungstherapie (hätte man andere Methoden zur Verfügung als die, die an der Stelle im Beutelspacher schon besprochen sind, dann würde es wesentlich mächtigere und einfacher Wege über lineare Abbildungen geben).
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant,
okay, dann möchte ich bitte genau wissen, wo man hier das Distributivgesetz für die Einheiten benötigt (die Einheiten sind [mm] $x_0,\ldots,x_3$ [/mm] mit [mm] $x_0=1$, $x_1=i$, $x_2=j$ [/mm] und [mm] $x_3=k$:
[/mm]
[mm] $\sum\limits_{i=0}^3 a_{1i}x_i\cdot \left(\sum\limits_{j=0}^3 a_{2j}x_j+ \sum\limits_{j=0}^3a_{3j}\cdot x_j \right)$
[/mm]
[mm] $=\sum\limits_{i=0}^3 a_{1i}x_i\cdot\sum\limits_{j=0}^3 (a_{2j}+a_{3j})\cdot x_j$
[/mm]
(Definition der Addition von Quaternionen)
[mm] $=\sum\limits_{i,j=0}^3 (a_{1i}(a_{2j}+a_{3j}))\cdot x_i\cdot x_j$
[/mm]
(Definition der Multiplikation von Quaternionen)
[mm] $=\sum\limits_{i,j=0}^3 (a_{1i}\cdot a_{2j}+a_{1i}\cdot a_{3j})\cdot x_i\cdot x_j$
[/mm]
(Distributivgesetz für reelle Zahlen)
[mm] $=\sum\limits_{i,j=0}^3 a_{1i}\cdot a_{2j}\cdot x_i\cdot x_j+ \sum\limits_{i,j=0}^3a_{1i}\cdot a_{3j}\cdot x_i\cdot x_j$
[/mm]
(Definition der Addition von Quaternionen)
[mm] $=\sum\limits_{i=0}^3 a_{1i} x_i\cdot\sum\limits_{j=0}^3 a_{2j} x_j+\sum\limits_{i=0}^3 a_{1i} x_i\cdot\sum\limits_{j=0}^3 a_{3j} x_j$
[/mm]
(Definition der Multiplikation von Quaternionen)
Gruß, FF
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Hallo,
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> okay, dann möchte ich bitte genau wissen, wo man hier das
> Distributivgesetz für die Einheiten benötigt (die
> Einheiten sind [mm]x_0,\ldots,x_3[/mm] mit [mm]x_0=1[/mm], [mm]x_1=i[/mm], [mm]x_2=j[/mm] und
> [mm]x_3=k[/mm]:
>
> [mm]\sum\limits_{i=0}^3 a_{1i}x_i\cdot \left(\sum\limits_{j=0}^3 a_{2j}x_j+ \sum\limits_{j=0}^3a_{3j}\cdot x_j \right)[/mm]
>
> [mm]=\sum\limits_{i=0}^3 a_{1i}x_i\cdot\sum\limits_{j=0}^3 (a_{2j}+a_{3j})\cdot x_j[/mm]
>
> (Definition der Addition von Quaternionen)
>
> [mm]=\sum\limits_{i,j=0}^3 (a_{1i}(a_{2j}+a_{3j}))\cdot x_i\cdot x_j[/mm]
>
> (Definition der Multiplikation von Quaternionen)
>
> [mm]=\sum\limits_{i,j=0}^3 (a_{1i}\cdot a_{2j}+a_{1i}\cdot a_{3j})\cdot x_i\cdot x_j[/mm]
>
> (Distributivgesetz für reelle Zahlen)
>
> [mm]=\sum\limits_{i,j=0}^3 a_{1i}\cdot a_{2j}\cdot x_i\cdot x_j+ \sum\limits_{i,j=0}^3a_{1i}\cdot a_{3j}\cdot x_i\cdot x_j[/mm]
>
> (Definition der Addition von Quaternionen)
>
> [mm]=\sum\limits_{i=0}^3 a_{1i} x_i\cdot\sum\limits_{j=0}^3 a_{2j} x_j+\sum\limits_{i=0}^3 a_{1i} x_i\cdot\sum\limits_{j=0}^3 a_{3j} x_j[/mm]
>
> (Definition der Multiplikation von Quaternionen)
Dein Umgang mit Summen ist virtuos! So virtuos, dass einem glatt entgehen könnte, dass du für die zweite Gleichheit das Distributivgesetz für alle beteiligten Größen voraussetzt, also auch für die imaginären Einheiten. Die übliche Vorgehensweise beim Bilden des Produkts zweier Summen setzt ja ein Distributivgesetz voraus!
Gruß, Diophant
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Hallo,
nein, das habe ich nicht. Ich habe genau die Definition des Produktes zweier Quaternionen verwendet:
[mm] $\sum_{i=0}^3 a_{1i} x_i \cdot \sum_{i=0}^3 a_{2i} x_i [/mm] := [mm] \sum_{i=0}^3\sum_{j=0}^3 a_{1i}a_{2j} x_ix_j$.
[/mm]
Genau so führt der Autor nämlich die Multiplikation ein. Genauer: Er tut dies nicht formal, rechnet aber so rum, als hätte er es. Mit anderen Worten: Ich habe das Distributivgesetz auf die Definition der Multiplikation von Quaternionen zurückgeführt. Diese Multiplikation ist so definiert, dass sie mit dem Distributivgesetz der Einheiten verträglich ist. Nicht mehr und nicht weniger. Damit habe ich es nicht direkt auf Ausdrücke der Form
[mm] $x_i \cdot (x_j [/mm] + [mm] x_k) [/mm] = [mm] x_i \cdot x_j [/mm] + [mm] x_i \cdot x_k$ [/mm] (*)
zurückgeführt, wie die Aufgabenstellung verlangt, sondern auf die Definition des Produkts zweier Quaternionen, die (*) implizit „voraussetzt“, in dem Sinne, dass sie es auf Linearkombinationen ausweitet und daher verträglich damit ist. Einverstanden?
Gruß, FF
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Hallo,
> Hallo,
>
> nein, das habe ich nicht. Ich habe genau die Definition des
> Produktes zweier Quaternionen verwendet:
>
> [mm]\sum_{i=0}^3 a_{1i} x_i \cdot \sum_{i=0}^3 a_{2i} x_i := \sum_{i=0}^3\sum_{j=0}^3 a_{1i}a_{2j} x_ix_j[/mm].
>
> Genau so führt der Autor nämlich die Multiplikation ein.
> Genauer: Er tut dies nicht formal, rechnet aber so rum, als
> hätte er es. Mit anderen Worten: Ich habe das
> Distributivgesetz auf die Definition der Multiplikation von
> Quaternionen zurückgeführt. Diese Multiplikation ist so
> definiert, dass sie mit dem Distributivgesetz der Einheiten
> verträglich ist. Nicht mehr und nicht weniger. Damit habe
> ich es nicht direkt auf Ausdrücke der Form
>
> [mm]x_i \cdot (x_j + x_k) = x_i \cdot x_j + x_i \cdot x_k[/mm] (*)
>
> zurückgeführt, wie die Aufgabenstellung verlangt, sondern
> auf die Definition des Produkts zweier Quaternionen, die
> (*) implizit „voraussetzt“, in dem Sinne, dass sie es
> auf Linearkombinationen ausweitet und daher verträglich
> damit ist. Einverstanden?
Ja, jetzt weiß ich glaube ich, was du meinst. Beutelspacher verwendet bei der Einführung der Multiplikation ja schon die normalen Regeln beim Ausmultiplizieren von Klammern, also setzt er hier im Prinzip beide Ditributivgesetze voraus.
Somit ist diese Aufgabe tatsächlich 'verunglückt' (oder ich verstehe sie nicht). Es ist lange her, das ich das Buch mal durchgearbeitet habe. Rhetorische Frage: wäre das die einzige 'verunglückte' Aufgabe in diesem Buch?
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant,
prima, vielen Dank für deine Mühe! Dann sind wir uns ja einig.
Gruß, FF
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