Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 Mi 06.04.2016 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz.
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n+4}{n^2-3n+1} [/mm] |
Guten Tag,
mein Divergenz-Beweis sieht so aus.
[mm] \bruch{n+4}{n^2-3n+1}=\bruch{n}{n^2-3n+1}+\bruch{4}{n^2-3n+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n-\bruch{3}{n}+\bruch{1}{n}}+\bruch{4}{n^2-3n+1} [/mm] Hier
habe ich n weggekürzt.
Nun weiß ich das [mm] \bruch{1}{n-\bruch{3}{n}+\bruch{1}{n}}<\bruch{4}{n^2-3n+1}
[/mm]
Mit der Begründung da [mm] \bruch{4}{n^2 -3n +1}; n^2>3n [/mm] ; [mm] n^2>4 [/mm] und
4>1 aus dem Zähler des ersten Terms. Damit ist der Zähler der Terms größer als der des ersten
[mm] \bruch{1}{n-\bruch{3}{n}+\bruch{1}{n}}
[/mm]
für [mm] n-->\infty [/mm] nähert sich der Term [mm] \bruch{1}{n} [/mm] an und somit ist [mm] \bruch{1}{n} [/mm] Minorante und daraus folgt dass [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n+4}{n^2-3n+1} [/mm] divergiert.
Stimmt das soweit und bekommt man dafür die volle Punktzahl ?
Ich habe noch eine weitere Art gesehen, die Divergenz der Reihe zu zeigen.
Hierfür wurde der Zahler mal n genommen, was ich aber nicht verstanden habe.
Damit wird gezeigt, dass der [mm] \bruch{n+4}{n^2-3n+1}*\bruch{n}{1} [/mm] >1 und [mm] \bruch{n+4}{n^2-3n+1}>= [/mm] bruch{1}{n}
Es reicht doch aber zu zeigen, dass [mm] \bruch{n+4}{n^2-3n+1}>= \bruch{1}{n} [/mm] gilt oder ?
Vielen Danke
Benni
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Mi 06.04.2016 | | Autor: | huddel |
> Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz.
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n+4}{n^2-3n+1}[/mm]
>
>
> Guten Tag,
>
> mein Divergenz-Beweis sieht so aus.
>
> [mm]\bruch{n+4}{n^2-3n+1}=\bruch{n}{n^2-3n+1}+\bruch{4}{n^2-3n+1}[/mm]
>
>
> [mm]=\bruch{1}{n-\bruch{3}{n}+\bruch{1}{n}}+\bruch{4}{n^2-3n+1}[/mm]
> Hier
>
> habe ich n weggekürzt.
Nicht ganz... [mm] $\bruch{n}{n^2-3n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-3+\bruch{1}{n}}
[/mm]
>
> Nun weiß ich das
> [mm]\bruch{1}{n-\bruch{3}{n}+\bruch{1}{n}}<\bruch{4}{n^2-3n+1}[/mm]
Falsch, sowohl bei dir, als auch mit der korrigierten Version. Setze bei dir mal $n=8$, bei der richtigen Version ist das schon ab $n=7$ nicht mehr richtig.
> Mit der Begründung da [mm]\bruch{4}{n^2 -3n +1};[/mm]
Das ist keine Aussage
> [mm]n^2>3n[/mm] ;
für [mm] $n\le [/mm] 3$ leider falsch
> [mm]n^2>4[/mm] und
für [mm] $n\le [/mm] 2$ ebenfals falsch
> 4>1 aus dem Zähler des ersten Terms. Damit ist der Zähler
> der Terms größer als der des ersten
> [mm]\bruch{1}{n-\bruch{3}{n}+\bruch{1}{n}}[/mm]
Hm, ja, was genau bringt dir das?
> für [mm]n-->\infty[/mm] nähert sich der Term [mm]\bruch{1}{n}[/mm] an und
> somit ist [mm]\bruch{1}{n}[/mm] Minorante und daraus folgt dass
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n+4}{n^2-3n+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
divergiert.
Da sind einige Dinge drin, die formell noch bewiesen gehören...
> Stimmt das soweit und bekommt man dafür die volle
> Punktzahl ?
>
Die volle Punktezahl garantiert nicht. Je nach Laune und Einstellung des Korrektors bekommst du vllt. die Hälfte, weil die grobe Richtung richtig ist. Gehen wir das ganze mal richtig an:
$\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n+4}{n^2-3n+1} = \sum_{i=1}^{\infty}\underbrace{\frac{n}{n^2-3n+1}}_{a} + \sum_{i=1}^{\infty}\underbrace{\frac{4}{n^2-3n+1}}_b}$
Edit Nr. 2: Danke an Fred. Das ist natürlich so nicht richtig, da noch keine Konvergezen etc. gezeigt sind, daher bleibt es erstmal bei
$\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n+4}{n^2-3n+1} = \sum_{i=1}^{\infty}(\underbrace{\frac{n}{n^2-3n+1}}_{a} + \underbrace{\frac{4}{n^2-3n+1}}_b})$
zuerst zu b.: für $n\ge 3$ ist $b\ge 0$ und spricht hierbei nicht gegen die Divergenz
Edit Nr. 2 Weiterführung: damit gilt dann die Abschätzung $|\frac{n}{n^2-3n+1} + \frac{4}{n^2-3n+1}| \ge |\frac{n}{n^2-3n+1}|$ für $n\ge 3$ und wir können brav weitermachen
Betrachten wir also a.: $\frac{n}{n^2-3n+1} = \frac{1}{n-3+\frac{1}{n}}$
Ich möchte dir jetzt nicht die komplette Aufgabe fertig lösen, daher geb ich dir die Minorante vor: $\frac{1}{n+1}$. schätze nun a soweit ab, dass dies dabei raus kommt und sag mir, warum $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}$ divergiert (und bitte etwas formeller als "$\frac{1}{n+1}$ nähert sich $\frac{1}{n}$ an" das kannst du besser)
Edit: Beachte hierbei, dass die du für die Abschätzung $|\frac{1}{n-3+\frac{1}{n}}|$ betrachtest, gib mir also ein $n\in\mathbb{N}$ an, ab dem $|\frac{1}{n-3+\frac{1}{n}}| = \frac{1}{n-3+\frac{1}{n}}$ ist und rechne ab diesem weiter und sag mir, warum es ausreicht die Reihe ab diesem $n$ zu betrachten.
> Ich habe noch eine weitere Art gesehen, die Divergenz der
> Reihe zu zeigen.
>
> Hierfür wurde der Zahler mal n genommen, was ich aber
> nicht verstanden habe.
>
> Damit wird gezeigt, dass der
> [mm]\bruch{n+4}{n^2-3n+1}*\bruch{n}{1}[/mm] >1 und
> [mm]\bruch{n+4}{n^2-3n+1}>=[/mm] bruch{1}{n}
>
> Es reicht doch aber zu zeigen, dass [mm]\bruch{n+4}{n^2-3n+1}>= \bruch{1}{n}[/mm]
> gilt oder ?
Naja die beiden Aussagen sind doch exakt die gleichen (bis auf $>$ und [mm] $\ge$), [/mm] blos, dass in dieser Variante das $n$ auf die andere Seite gezogen wird.
>
> Vielen Danke
>
> Benni
>
>
>
Liebe Grüße,
Huddel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Mi 06.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> > Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz.
> >
> > [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n+4}{n^2-3n+1}[/mm]
> >
> >
> > Guten Tag,
> >
> > mein Divergenz-Beweis sieht so aus.
> >
> >
> [mm]\bruch{n+4}{n^2-3n+1}=\bruch{n}{n^2-3n+1}+\bruch{4}{n^2-3n+1}[/mm]
> >
> >
> > [mm]=\bruch{1}{n-\bruch{3}{n}+\bruch{1}{n}}+\bruch{4}{n^2-3n+1}[/mm]
> > Hier
> >
> > habe ich n weggekürzt.
>
> Nicht ganz... [mm]$\bruch{n}{n^2-3n+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n-3+\bruch{1}{n}}[/mm]
>
> >
> > Nun weiß ich das
> > [mm]\bruch{1}{n-\bruch{3}{n}+\bruch{1}{n}}<\bruch{4}{n^2-3n+1}[/mm]
>
> Falsch, sowohl bei dir, als auch mit der korrigierten
> Version. Setze bei dir mal [mm]n=8[/mm], bei der richtigen Version
> ist das schon ab [mm]n=7[/mm] nicht mehr richtig.
>
> > Mit der Begründung da [mm]\bruch{4}{n^2 -3n +1};[/mm]
>
> Das ist keine Aussage
>
> > [mm]n^2>3n[/mm] ;
>
> für [mm]n\le 3[/mm] leider falsch
>
> > [mm]n^2>4[/mm] und
>
> für [mm]n\le 2[/mm] ebenfals falsch
>
> > 4>1 aus dem Zähler des ersten Terms. Damit ist der Zähler
> > der Terms größer als der des ersten
> > [mm]\bruch{1}{n-\bruch{3}{n}+\bruch{1}{n}}[/mm]
>
> Hm, ja, was genau bringt dir das?
>
> > für [mm]n-->\infty[/mm] nähert sich der Term [mm]\bruch{1}{n}[/mm] an und
> > somit ist [mm]\bruch{1}{n}[/mm] Minorante und daraus folgt dass
> > [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n+4}{n^2-3n+1}[/mm] divergiert.
>
> Da sind einige Dinge drin, die formell noch bewiesen
> gehören...
>
> > Stimmt das soweit und bekommt man dafür die volle
> > Punktzahl ?
> >
>
> Die volle Punktezahl garantiert nicht. Je nach Laune und
> Einstellung des Korrektors bekommst du vllt. die Hälfte,
> weil die grobe Richtung richtig ist. Gehen wir das ganze
> mal richtig an:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n+4}{n^2-3n+1} = \sum_{i=1}^{\infty}\underbrace{\frac{n}{n^2-3n+1}}_{a} + \sum_{i=1}^{\infty}\underbrace{\frac{4}{n^2-3n+1}}_b}[/mm]
Mit solch einer Gleichung wäre ich gaaaaanz vorsichtig, solange die Konvergenz keiner der Beteiligten Reihen klar ist.
FRED
>
> zuerst zu b.: für [mm]n\ge 3[/mm] ist [mm]b\ge 0[/mm] und spricht hierbei
> nicht gegen die Divergenz
>
> Betrachten wir also a.: [mm]\frac{n}{n^2-3n+1} = \frac{1}{n-3+\frac{1}{n}}[/mm]
>
> Ich möchte dir jetzt nicht die komplette Aufgabe fertig
> lösen, daher geb ich dir die Minorante vor: [mm]\frac{1}{n+1}[/mm].
> schätze nun a soweit ab, dass dies dabei raus kommt und
> sag mir, warum [mm]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}[/mm] divergiert
> (und bitte etwas formeller als "[mm]\frac{1}{n+1}[/mm] nähert sich
> [mm]\frac{1}{n}[/mm] an" das kannst du besser)
>
>
>
> > Ich habe noch eine weitere Art gesehen, die Divergenz der
> > Reihe zu zeigen.
> >
> > Hierfür wurde der Zahler mal n genommen, was ich aber
> > nicht verstanden habe.
> >
> > Damit wird gezeigt, dass der
> > [mm]\bruch{n+4}{n^2-3n+1}*\bruch{n}{1}[/mm] >1 und
> > [mm]\bruch{n+4}{n^2-3n+1}>=[/mm] bruch{1}{n}
> >
> > Es reicht doch aber zu zeigen, dass [mm]\bruch{n+4}{n^2-3n+1}>= \bruch{1}{n}[/mm]
> > gilt oder ?
>
> Naja die beiden Aussagen sind doch exakt die gleichen (bis
> auf [mm]>[/mm] und [mm]\ge[/mm]), blos, dass in dieser Variante das [mm]n[/mm] auf die
> andere Seite gezogen wird.
>
> >
> > Vielen Danke
> >
> > Benni
> >
> >
> >
>
> Liebe Grüße,
>
> Huddel
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:45 Mi 06.04.2016 | | Autor: | huddel |
stimmt... :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Mi 06.04.2016 | | Autor: | b.reis |
Hallo und danke für die Antworten.
$ [mm] \frac{1}{n+1} [/mm] $. ist also die Minorante
grob ab n>4 kann man den Betrag weglassen [mm] n>-3+\bruch{1}{n}
[/mm]
Die Reihe ab diesem n gilt für alle weiteren n aus N und Besitzt die selbe Minorante wie 1/n außerdem sind alle Werte ab da Positiv, deswegen macht es Sinn ?
$ [mm] \frac{n}{n^2-3n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{n-3+\frac{1}{n}} [/mm] $
[mm] n-3+\frac{1}{n}
damit ist [mm] \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n-3+\frac{1}{n}}
[/mm]
So, jetzt ist [mm] \frac{1}{n+1}<\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n-3+\frac{1}{n}}
[/mm]
[mm] n-3+\frac{1}{n}
Dann ist [mm] \frac{1}{n-3+\frac{1}{n}}>\bruch{1}{n}>\frac{1}{n+1}
[/mm]
???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Mi 06.04.2016 | | Autor: | chrisno |
$ [mm] \br{1}{n} [/mm] = [mm] \br{n}{n^2} [/mm] < [mm] \br{n+4}{n^2} [/mm] < [mm] \br{n+4}{(n-1)^2} [/mm] = [mm] \br{n+4}{n^2-2n+1} [/mm] < [mm] \br{n+4}{n^2-3n+1} [/mm] $
also $ [mm] \br{1}{n} [/mm] < [mm] \br{n+4}{n^2-3n+1} [/mm] $
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Mi 06.04.2016 | | Autor: | chrisno |
Mein Vorschlag: [mm] $\br{1}{n} [/mm] = [mm] \br{n}{n^2}$
[/mm]
Nun kannst Du abschätzen:
n + 4 > n
[mm] $n^2 [/mm] -3n + 1 < [mm] n^2$ [/mm] für welche n? ....
Der Zähler ist größer, der Nenner ist kleiner als bei [mm] $\br{1}{n}$ [/mm] .....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Mi 06.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz.
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n+4}{n^2-3n+1}[/mm]
Doch wohl eher
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n+4}{n^2-3n+1}[/mm]
Ich würde die Aufgabe so angehen: wir setzen [mm] a_n:=\bruch{n+4}{n^2-3n+1} [/mm] und stellen fest:
für "große" n verhält sich [mm] a_n [/mm] in etwa wie [mm] b_n:=\bruch{n}{n^2}=\bruch{1}{n}.
[/mm]
Man vermutet also, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] divergiert.
Nun stellt sich die Frage, wie komme ich zu einer divergenten Minorante ?
Dazu betracheten wir den Quotienten [mm] \bruch{a_n}{b_n } [/mm] und sehen:
[mm] \bruch{a_n}{b_n } \to [/mm] 1 für $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Folglich gibt es ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit
[mm] \bruch{a_n}{b_n } \ge \bruch{1}{2} [/mm] für n [mm] \ge n_0.
[/mm]
Damit haben wir:
[mm] a_n \ge \bruch{1}{2}b_n [/mm] für n [mm] \ge n_0.
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2}b_n [/mm] ist divergent, somit divergiert auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n.
[/mm]
FRED
>
>
> Guten Tag,
>
> mein Divergenz-Beweis sieht so aus.
>
> [mm]\bruch{n+4}{n^2-3n+1}=\bruch{n}{n^2-3n+1}+\bruch{4}{n^2-3n+1}[/mm]
>
>
> [mm]=\bruch{1}{n-\bruch{3}{n}+\bruch{1}{n}}+\bruch{4}{n^2-3n+1}[/mm]
> Hier
>
> habe ich n weggekürzt.
>
> Nun weiß ich das
> [mm]\bruch{1}{n-\bruch{3}{n}+\bruch{1}{n}}<\bruch{4}{n^2-3n+1}[/mm]
>
> Mit der Begründung da [mm]\bruch{4}{n^2 -3n +1}; n^2>3n[/mm] ;
> [mm]n^2>4[/mm] und
>
>
> 4>1 aus dem Zähler des ersten Terms. Damit ist der Zähler
> der Terms größer als der des ersten
>
> [mm]\bruch{1}{n-\bruch{3}{n}+\bruch{1}{n}}[/mm]
>
> für [mm]n-->\infty[/mm] nähert sich der Term [mm]\bruch{1}{n}[/mm] an und
> somit ist [mm]\bruch{1}{n}[/mm] Minorante und daraus folgt dass
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n+4}{n^2-3n+1}[/mm] divergiert.
>
>
> Stimmt das soweit und bekommt man dafür die volle
> Punktzahl ?
>
> Ich habe noch eine weitere Art gesehen, die Divergenz der
> Reihe zu zeigen.
>
> Hierfür wurde der Zahler mal n genommen, was ich aber
> nicht verstanden habe.
>
> Damit wird gezeigt, dass der
> [mm]\bruch{n+4}{n^2-3n+1}*\bruch{n}{1}[/mm] >1 und
> [mm]\bruch{n+4}{n^2-3n+1}>=[/mm] bruch{1}{n}
>
> Es reicht doch aber zu zeigen, dass [mm]\bruch{n+4}{n^2-3n+1}>= \bruch{1}{n}[/mm]
> gilt oder ?
>
>
> Vielen Danke
>
> Benni
>
>
>
|
|
|
|
