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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
$\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k}{k^{2}+1}$ |
Hallo.
Der folgende Lösungsweg ist der der Musterlösung. Es wäre nett, wenn jemand meinen Lösungsweg auf Korrektheit überprüfen könnte.
Musterlösung:
$\bruch{k}{k^{2}+1}=\bruch{1}{k+\bruch{1}{k}}\ge\bruch{1}{k+1}\ge\bruch{1}{2k}$
Nach Vorlesung ist die harmonische Reihe $\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}$ divergent, sogar eigentlich divergent, d.h. für die Partialsummenfolge $(s_{n})_{n\in\IN}$ der harmonischen Reihe gilt:
$s_{n}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty \Rightarrow \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{2k}=\bruch{1}{2}*s_{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty$.
Damit folgt, dass auch für die Partialsummenfolge der Reihe $\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k}{k^{2}+1}$ gilt:
$\summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{k^{2}+1}\ge\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{2k}=\bruch{1}{2}s_{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty \Rightarrow \summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{k^{2}+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty$.
Insbesondere ist die Reihe $\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k}{k^{2}+1}$ divergent.
Mein Lösungsweg:
Minorantenkriterium
$k^{2}+1>k^{2} \Rightarrow \bruch{1}{k^{2}+1}<\bruch{1}{k^2}} \Rightarrow \bruch{k}{k^{2}+1}<\bruch{k}{k^{2}}=\bruch{1}{k}$
Die harmonische Reihe $\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{k}$ ist divergent, also liefert das Minorantenkriterium:
$\left| \bruch{k}{k^{2}+1} \right|\le\bruch{1}{k}$ und $\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{k}$ divergiert $\Rightarrow$ $\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k}{k^{2}+1}$ divergiert.
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Di 23.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k}{k^{2}+1}[/mm]
> Hallo.
> Der folgende Lösungsweg ist der der Musterlösung. Es
> wäre nett, wenn jemand meinen Lösungsweg auf Korrektheit
> überprüfen könnte.
>
> Musterlösung:
>
> [mm]\bruch{k}{k^{2}+1}=\bruch{1}{k+\bruch{1}{k}}\ge\bruch{1}{k+1}\ge\bruch{1}{2k}[/mm]
>
> Nach Vorlesung ist die harmonische Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}[/mm] divergent, sogar
> eigentlich divergent, d.h. für die Partialsummenfolge
> [mm](s_{n})_{n\in\IN}[/mm] der harmonischen Reihe gilt:
>
> [mm]s_{n}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty \Rightarrow \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{2k}=\bruch{1}{2}*s_{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty[/mm].
>
> Damit folgt, dass auch für die Partialsummenfolge der
> Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k}{k^{2}+1}[/mm] gilt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{k^{2}+1}\ge\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{2k}=\bruch{1}{2}s_{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty \Rightarrow \summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{k^{2}+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty[/mm].
>
> Insbesondere ist die Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k}{k^{2}+1}[/mm] divergent.
>
> Mein Lösungsweg:
>
> Minorantenkriterium
>
> [mm]k^{2}+1>k^{2} \Rightarrow \bruch{1}{k^{2}+1}<\bruch{1}{k^2}} \Rightarrow \bruch{k}{k^{2}+1}<\bruch{k}{k^{2}}=\bruch{1}{k}[/mm]
Deine Abschätzungen sind richtig, bringen Dir aber nichts !
Du hast: [mm] \bruch{k}{k^{2}+1}<\bruch{1}{k} [/mm] . Es geht um "<". Für das Minorantenkriterium brauchst Du ein " [mm] \ge [/mm] "
Es ist z.B. : [mm] \bruch{1}{k^2} \le \bruch{1}{k}, [/mm] aber [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^2}[/mm] konvergiert.
FRED
P.S: nach Deiner "Methode" ist jede Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] mit [mm] a_k \ge [/mm] 0 divergent !
Denn: Fall 1. [mm] (a_k) [/mm] ist unbeschränkt. Dann ist [mm] (a_k) [/mm] keine Nullfolge. somit ist [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] divergent.
Fall2: [mm] (a_k) [/mm] ist beschränkt. Dann gibt es ein c>0 mit: 0 [mm] \le a_k \le [/mm] c für jedes k.
Die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}c [/mm] ist divergent. Nach Deiner "Methode" ist dann auch [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] divergent
>
> Die harmonische Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{k}[/mm] ist
> divergent, also liefert das Minorantenkriterium:
> [mm]\left| \bruch{k}{k^{2}+1} \right|\le\bruch{1}{k}[/mm] und
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{k}[/mm] divergiert [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k}{k^{2}+1}[/mm] divergiert.
>
>
>
> Vielen Dank.
> Gruß
> el_grecco
>
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Vielen Dank, Fred.
Eine Frage noch zu dieser Aufgabe:
Ist der Weg in der Musterlösung der einzige, der möglich ist?
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Di 23.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es ist nicht der einzig mögliche. Du kannst einfach den Beweis, der zur Divergenz von der Reihe mit 1/k geführt hat praktisch wiederholen. Aber das Minorantenkriterium ist ja sehr viel einfacher.
Gruss leduart
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Jetzt habe ich doch noch eine Frage zur Musterlösung.
Mir macht die Zeile $ [mm] \bruch{k}{k^{2}+1}=\bruch{1}{k+\bruch{1}{k}}\ge\bruch{1}{k+1}\ge\bruch{1}{2k} [/mm] $ Probleme.
Bis zum zweiten Bruch (gleich nach dem Kürzen) ist es mir soweit klar, aber die beiden letzten Brüche sind mir ein Rätsel.
Wäre super, wenn mir jemand das erklären könnte.
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Mi 24.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Jetzt habe ich doch noch eine Frage zur Musterlösung.
> Mir macht die Zeile
> [mm]\bruch{k}{k^{2}+1}=\bruch{1}{k+\bruch{1}{k}}\ge\bruch{1}{k+1}\ge\bruch{1}{2k}[/mm]
> Probleme.
man sollte vielleicht dazuschreiben für alle k>1
dann gilt k>1 1/k<1 wenn man einen Nenner vergrößert verkleinert man den Bruch.
man hat also für die Nenner benutzt :
k+1/k<k+1<k+k für alle k>1
selbst wenn solche Ungleichungen erst ab k=12345 gelten kannst du sie für das Minorantenkrit. benutzen, denn auf die ersten par zig Millionen Stellen kommt es bei Konvergenz oder divergenz nicht an.
Gruss leduar
> Bis zum zweiten Bruch (gleich nach dem Kürzen) ist es mir
> soweit klar, aber die beiden letzten Brüche sind mir ein
> Rätsel.
>
> Wäre super, wenn mir jemand das erklären könnte.
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
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Danke leduart, aber leider steige ich noch immer nicht dahinter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mi 24.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Mitteilung ist wenig hilfreich.
Was verstehst du nicht? Wenn man den Nenner eines Bruches vergrößert wird der Bruch kleiner?
aus k+1>k+1/k folgt 1/(k+1)<1/(1+1/k)
oer welche Stelle verstehst du nicht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Mi 24.03.2010 | | Autor: | el_grecco |
Danke leduart, jetzt habe ich es verstanden.
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