Divergenz eines Vektorprodukts < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Mo 25.06.2012 | | Autor: | rolo4 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie [mm] div(F\times [/mm] G)(x)=<rotF(x),G(x)>-<F(x),rotG(x)> |
[mm] div(F\times [/mm] G)(x) = div( [mm] \vektor{ F_{2}G_{3}- F_{3}G_{2} \\ F_{3}G_{1}- F_{1}G_{3} \\ F_{1}G_{2}- F_{2}G_{1}}
[/mm]
das müsste doch nach der Definition von div= [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch {\partial}{\partial x_{i}} F_{i}
[/mm]
= [mm] \bruch {\partial}{\partial x_{1}} (F_{2}G_{3}- F_{3}G_{2}) [/mm] + [mm] \bruch {\partial}{\partial x_{2}} (F_{3}G_{1}- F_{1}G_{3}) +\bruch {\partial}{\partial x_{3}} (F_{1}G_{2}- F_{2}G_{1})
[/mm]
nur damit komme ich leider nicht auf das Endergebnis:
<rotF(x),G(x)>-<F(x),rotG(x)> = [mm] (\bruch {\partial}{\partial x_{2}} F_{3}G_{1} [/mm] - [mm] \bruch {\partial}{\partial x_{3}} F_{2}G_{1}+ \bruch {\partial}{\partial x_{3}} F_{1}G_{2} [/mm] - [mm] \bruch {\partial}{\partial x_{1}} F_{3}G_{2}+\bruch {\partial}{\partial x_{1}} F_{2}G_{3} [/mm] - [mm] \bruch {\partial}{\partial x_{2}} F_{1}G_{3}) [/mm] - [mm] (\bruch {\partial}{\partial x_{2}} F_{1}G_{3} [/mm] - [mm] \bruch {\partial}{\partial x_{3}} F_{1}G_{2}+ \bruch {\partial}{\partial x_{3}} F_{2}G_{1} [/mm] - [mm] \bruch {\partial}{\partial x_{1}} F_{2}G_{3} [/mm] + [mm] \bruch {\partial}{\partial x_{1}} F_{3}G_{2} [/mm] - [mm] \bruch {\partial}{\partial x_{2}} F_{3}G_{1})
[/mm]
= (2 [mm] \bruch {\partial}{\partial x_{2}} F_{3}G_{1} [/mm] - 2 [mm] \bruch {\partial}{\partial x_{3}} F_{2}G_{1}+ [/mm] 2 [mm] \bruch {\partial}{\partial x_{3}} F_{1}G_{2} [/mm] - 2 [mm] \bruch {\partial}{\partial x_{1}} F_{3}G_{2}+ [/mm] 2 [mm] \bruch {\partial}{\partial x_{1}} F_{2}G_{3} [/mm] - 2 [mm] \bruch {\partial}{\partial x_{2}} F_{1}G_{3})
[/mm]
Wo ist mein Fehler? :(
Liebe Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Mo 25.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Zeigen Sie [mm]div(F\times[/mm] G)(x)=<rotF(x),G(x)>-<F(x),rotG(x)>
Du meinst bestimmt:
[mm] $\operatorname{div}(\vec{F}\times\vec{G}) [/mm] = [mm] \left\langle\vec{G},\operatorname{rot}\,\vec{F}\right\rangle [/mm] - [mm] \left\langle\vec{F},\operatorname{rot}\,\vec{G}\right\rangle$
[/mm]
>
> [mm]div(F\times[/mm] G)(x) = div( [mm]\vektor{ F_{2}G_{3}- F_{3}G_{2} \\ F_{3}G_{1}- F_{1}G_{3} \\ F_{1}G_{2}- F_{2}G_{1}}[/mm]
>
> das müsste doch nach der Definition von div=
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch {\partial}{\partial x_{i}} F_{i}[/mm]
>
> = [mm]\bruch {\partial}{\partial x_{1}} (F_{2}G_{3}- F_{3}G_{2})[/mm]
> + [mm]\bruch {\partial}{\partial x_{2}} (F_{3}G_{1}- F_{1}G_{3}) +\bruch {\partial}{\partial x_{3}} (F_{1}G_{2}- F_{2}G_{1})[/mm]
Du wirst die Ableitungen wohl ausrechnen müssen.
>
> nur damit komme ich leider nicht auf das Endergebnis:
> <rotF(x),G(x)>-<F(x),rotG(x)> = [mm](\bruch {\partial}{\partial x_{2}} F_{3}G_{1}[/mm]
> - [mm]\bruch {\partial}{\partial x_{3}} F_{2}G_{1}, \bruch {\partial}{\partial x_{3}} F_{1}G_{2}[/mm]
> - [mm]\bruch {\partial}{\partial x_{1}} F_{3}G_{2},\bruch {\partial}{\partial x_{1}} F_{2}G_{3}[/mm]
> - [mm]\bruch {\partial}{\partial x_{2}} F_{1}G_{3})[/mm] - [mm](\bruch {\partial}{\partial x_{2}} F_{1}G_{3}[/mm]
> - [mm]\bruch {\partial}{\partial x_{3}} F_{1}G_{2}, \bruch {\partial}{\partial x_{3}} F_{2}G_{1}[/mm]
> - [mm]\bruch {\partial}{\partial x_{1}} F_{2}G_{3},\bruch {\partial}{\partial x_{1}} F_{3}G_{2}[/mm]
> - [mm]\bruch {\partial}{\partial x_{2}} F_{3}G_{1})[/mm]
>
> Wo ist mein Fehler? :(
Ein Fehler der Dir auf jeden Fall auffallen sollte ist, dass auf der linken Seite Deiner Gleichung ein Skalar steht und auf der rechten ein Vektor. So eine Gleichung ist Unsinn!
> Liebe Grüße
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Mo 25.06.2012 | | Autor: | rolo4 |
ups, das war ein übertragungsfehler, ist behoben
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Mo 25.06.2012 | | Autor: | chrisno |
Pass genau auf, was differenziert wird. Mal wird ein Produkt differenziert, dann rechne mit der Produktregel weiter. Dann hast Du etwas genau so aufgeschrieben, dabei wird aber nur der eine Faktor des Produkts abgeleitet.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Mo 25.06.2012 | | Autor: | rolo4 |
einfacher als gedacht, wenn man die Rechenregeln verwendet ;)
vielen Dank für eure Hilfe!
|
|
|
|
