Divergenz harmonische Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Fr 29.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Ich weiß, dass die harmonische Reihe divergiert - aber kann man das gar nicht mit dem Quotientenkriterium zeigen?
Wir haben ja Konvergenz, wenn gilt
[mm] $\br{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = q [mm] \le [/mm] 1$
Das [mm] a_n [/mm] der harmonischen Reihe ist ja [mm] \br{1}{n}
[/mm]
Eingesetzt in die Formel
[mm] $\br{\br{1}{n+1}}{\br{1}{n}} =\br{n}{n+1}$
[/mm]
Polynomdivison liefert mir dann [mm] $n:(n+1)=1-\br{1}{n}$
[/mm]
Nun: [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}1-\br{1}{n}=1$
[/mm]
Also q=1 [mm] \le [/mm] 1
Nun muss ich ja, da q=1 ist, eine Fallunterscheidung machen (oder wie man das bezeichnet)
Aber für q=1 habe ich das noch nie gemacht.
Kann jemand helfen?
Danke,
grüße
Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Fr 29.12.2006 | | Autor: | baufux |
Hallo!
Also Konvergenz gilt beim Quotientenkriterium nur, wenn:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\vmat{\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}}\le q[/mm] < 1
Diesen Beweis bekommst du mit dem Qutientenkriterium nicht hin. Zum einen könntest du aber um das zu beweisen eine nicht Konvergente Minorante suchen oder du machs es wie folgt.
Zum Beweis der Divergenz:
Wenn man die Folge der Partialsummen [mm]s_{n}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}[/mm] betrachtet, muss diese Folge ja konvergieren, damit die Reihe konvergiert.
Wenn man nun das Cauchykriterium für Folgen auf die Folge der Partialsummen anwendet, muss man nur ein m und ein n mit N [mm] \le [/mm] n < m finden, sodass [mm] |s_{n}-s_{m}|<\epsilon [/mm] für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 nicht gilt.
Das muss natürlich für beliebig große N hinhauen.
Wenn man z.B. [mm] |s_{2n}-s_{n}| [/mm] betrachtet erhält man:
[mm] |s_{2n}-s_{n}| = \underbrace{\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+2}+\ldots+\bruch{1}{2n}}_{n-Summanden}\ge \underbrace{\bruch{1}{2n}+\bruch{1}{2n}+\ldots+\bruch{1}{2n}}_{n-Summanden}=\bruch{1}{2} [/mm] für beliebig große n.
Also ist das Cauchykriterium verletzt und daraus folgt die Divergenz der Folge der Partialsummen und damit die Divergenz der Reihe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Fr 29.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo baufux.
Vielen Dank für deine ausführliche folgende Rechnung. Das hat mir beim Verständnis sehr geholfen. Danke dir!
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