Division von Idealen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Fr 15.02.2013 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Hallo,
folgende Aufgabenstellung:
Es seien R ein kommutativer Ring mit 1 und I,J [mm] \subset [/mm] Ideale in R. Zeige, dass I:J :={ x [mm] \in [/mm] R| xj [mm] \subset [/mm] I [mm] \forall [/mm] j [mm] \in [/mm] J} ein Ideal in R ist. Zeige für R= [mm] \IZ, [/mm] dass <12>:<2>=<6>, aber <12>:<5>=<12> |
Also, z.z.: I:J ist Ideal in R.
Zunächst I:J [mm] \not= \emptyset, [/mm] da I,J [mm] \subset [/mm] R & R kommutativer Ring mit 1 ist.
Seien y,z [mm] \in [/mm] I:J. z.z.: y+z [mm] \in [/mm] I:J.
Dann ist yj+zj=(z+y)j [mm] \subset [/mm] I, da z+y [mm] \in [/mm] R.
z.z.: rx [mm] \in [/mm] I:J [mm] \forall r\in [/mm] R
r(xj)=(rx)j [mm] \subset [/mm] I [mm] \forall [/mm] j [mm] \in [/mm] J.
--> I:J ist Ideal.
<12>:<2> bedeutet: {x [mm] \in \IZ [/mm] | x*<2>=<12>}.
<12> heißt ja: {...,-24,-12,0,12,24,...} und <2>={...,-6,-4,-2,0,2,4,6...}. Folglich muss man die Elemente von <6> „nehmen“, um auf <12> zu kommen. Meine Vermutung: Wenn ggT(I,J) nicht 1 ist, dann normale Division wie in [mm] \IZ. [/mm]
2. { x [mm] \in \IZ| [/mm] x*<5>=<12>}. Auch hier kann man sich das wie oben aufschreiben und stellt fest, dass x [mm] \in [/mm] <12> sein muss, damit das Ergebnis in <12> enthalten ist. Meine Vermutung: Das gilt immer, wenn ggT(I,J)=1.
Was sagt ihr dazu?
Danke schonmal im Voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Fr 15.02.2013 | | Autor: | rollroll |
Hat jemand Ideen dazu?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Fr 15.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> folgende Aufgabenstellung:
> Es seien R ein kommutativer Ring mit 1 und I,J [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ideale in R. Zeige, dass I:J :={ x [mm]\in[/mm] R| xj [mm]\subset[/mm] I
> [mm]\forall[/mm] j [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
J} ein Ideal in R ist. Zeige für R= [mm]\IZ,[/mm]
Was soll das [mm] $\subset$ [/mm] da? Meinst du [mm] $\in$?
[/mm]
> dass <12>:<2>=<6>, aber <12>:<5>=<12>
> Also, z.z.: I:J ist Ideal in R.
>
> Zunächst I:J [mm]\not= \emptyset,[/mm] da I,J [mm]\subset[/mm] R & R
> kommutativer Ring mit 1 ist.
Das musst du ausfuehren. Was hat das mit $I:J [mm] \neq \emptyset$ [/mm] zu tun?
> Seien y,z [mm]\in[/mm] I:J. z.z.: y+z [mm]\in[/mm] I:J.
> Dann ist yj+zj=(z+y)j [mm]\subset[/mm] I, da z+y [mm]\in[/mm] R.
Ok. Bis auf das [mm] $\subset$, [/mm] das muss ein [mm] $\in$ [/mm] sein.
> z.z.: rx [mm]\in[/mm] I:J [mm]\forall r\in[/mm] R
> r(xj)=(rx)j [mm]\subset[/mm] I [mm]\forall[/mm] j [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
J.
>
> --> I:J ist Ideal.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> <12>:<2> bedeutet: {x [mm]\in \IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| x*<2>=<12>}.
Nein. Du verwechselst gerade Teilmenge mit Gleichheit.
> <12> heißt ja: {...,-24,-12,0,12,24,...} und
> <2>={...,-6,-4,-2,0,2,4,6...}. Folglich muss man die
> Elemente von <6> „nehmen“, um auf <12> zu kommen.
Das ist aber sehr informal ausgedrueckt.
> Meine
> Vermutung: Wenn ggT(I,J) nicht 1 ist, dann normale Division
> wie in [mm]\IZ.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Was soll der ggT zweier Ideale sein?
Du meinst eher den ggT der Erzeuger. Und nein, deine Vermutung ist nicht richtig. Es hat eher was mit Teilbarkeit zu tun.
> 2. { x [mm]\in \IZ|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x*<5>=<12>}. Auch hier kann man sich das
> wie oben aufschreiben und stellt fest, dass x [mm]\in[/mm] <12> sein
> muss, damit das Ergebnis in <12> enthalten ist. Meine
> Vermutung: Das gilt immer, wenn ggT(I,J)=1.
Deine Vermutung stimmt hier. Also wenn du den ggT der Erzeuger meinst.
Du kannst beide Vermutungen unter einen Hut fassen. Es ist z.B. [mm] $\frac{12}{ggT(2, 12)} [/mm] = 6$ und [mm] $\frac{12}{ggT(5, 12)} [/mm] = 12$.
LG Felix
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