Doppelintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Do 11.12.2008 | | Autor: | magir |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Integrale über den angegebenen Bereich:
a) [mm] \integral_{a}^{b}\integral_{a}^{b}{x^2ycos(xy^2) dxdy}
[/mm]
B = {(x,y)|0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi/2; [/mm] 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 2}
b) [mm] \integral_{a}^{b}\integral_{a}^{b}{\bruch{x}{x^2+y^2} dxdy}
[/mm]
B ist durch y = x und 2y = [mm] x^2 [/mm] begrenzt |
a)
Nach einsetzen der Bereichsgrenzen wird daraus:
[mm] \integral_{0}^{2}\integral_{0}^{\pi/2}{x^2ycos(xy^2) dxdy}
[/mm]
Das Integral schreit regelrecht nach partieller Integration. Hier mein Rechenweg bei bei der Integration nach x:
[mm] \integral_{0}^{\pi/2}{x^2ycos(xy^2) dx}
[/mm]
= [mm] [x^2y\bruch{1}{y^2}sin(xy^2)]_0^{2\pi}-\integral_{0}^{\pi/2}{2xycos(xy^2) dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{\pi^2}{4y}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)-[2xy\bruch{1}{y^2}sin(xy^2)]_0^{2\pi}+\integral_{0}^{\pi/2}{2ycos(xy^2) dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{\pi^2}{4y}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)-\bruch{\pi}{y}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)+[\bruch{2}{y}sin(xy^2)]_0^{2\pi}
[/mm]
[mm] =\bruch{\pi^2}{4y}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)-\bruch{\pi}{y}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)+\bruch{2}{y}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)
[/mm]
[mm] =(\bruch{\pi^2}{4y}-\bruch{\pi}{y}+\bruch{2}{y})sin(\bruch{\pi}{2}y^2)
[/mm]
[mm] =\bruch{\pi^2-4\pi+8}{y}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)
[/mm]
Also im Gesamtzusammenhang:
[mm] (\pi^2-4\pi+8)\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{y}sin(\bruch{\pi}{2}y^2) dy}
[/mm]
Stimmt die Lösung so weit?
Wie kann ich das Integral lösen. Sieht irgendwie einfach aus, aber ich komme nicht weiter. Partielle Integration funktioniert nicht, eine Substitution sehe ich auch nicht.
b)
Die beiden den Bereich begrenzenden Funktionen schneiden sich in (0|0) und (2|2).
[mm] 2y=x^2 [/mm] ist für y<0 [mm] x=\wurzel{2y}
[/mm]
Damit wir das Integral zu:
[mm] \integral_{0}^{2}\integral_{y}^{\wurzel{2y}}{\bruch{x}{x^2+y^2} dxdy}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2}\bruch{1}{2}\integral_{y}^{\wurzel{2y}}{\bruch{2x}{x^2+y^2} dxdy}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2}\bruch{1}{2}{[ln(x^2+y^2)]_y^(\wurzel{2y})dy}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{1}{2}ln(y^2+2y)-ln(2y^2)dy}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}[yln(y(y+2))+2ln(y+2)-2y-yln(2y^2)+2y]_0^2
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}(2ln8+2ln4-2ln8-2ln2)
[/mm]
= ln4-ln2
= ln2
Stimmt diese Lösung so?
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Gruß,
magir
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Hallo magir,
> Berechnen Sie die folgenden Integrale über den angegebenen
> Bereich:
>
> a) [mm]\integral_{a}^{b}\integral_{a}^{b}{x^2ycos(xy^2) dxdy}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> B = {(x,y)|0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le \pi/2;[/mm] 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2}
>
> b) [mm]\integral_{a}^{b}\integral_{a}^{b}{\bruch{x}{x^2+y^2} dxdy}[/mm]
>
> B ist durch y = x und 2y = [mm]x^2[/mm] begrenzt
> a)
> Nach einsetzen der Bereichsgrenzen wird daraus:
> [mm]\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{\pi/2}{x^2ycos(xy^2) dxdy}[/mm]
>
> Das Integral schreit regelrecht nach partieller
> Integration. Hier mein Rechenweg bei bei der Integration
> nach x:
> [mm]\integral_{0}^{\pi/2}{x^2ycos(xy^2) dx}[/mm]
> =
> [mm][x^2y\bruch{1}{y^2}sin(xy^2)]_0^{ 2\pi}-\integral_{0}^{\pi/2}{2xycos(xy^2) dx}[/mm]
Hier muß stehen:
[mm]\integral_{0}^{\pi/2}{x^2ycos(xy^2) \ dx}=}[x^2y\bruch{1}{y^2}sin(xy^2)]_{0} ^{\red{\pi/2}}-\integral_{0}^{\pi/2}{2xy\red{\left(\ \bruch{1}{y^{2}}\sin\left(xy ^{2}\right) \ \right)} \ dx}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\pi^2}{4y}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)-[2xy\bruch{1}{y^2}sin(xy^2)]_0^{2\pi}+\integral_{0}^{\pi/2}{2ycos(xy^2) dx}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\pi^2}{4y}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)-\bruch{\pi}{y}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)+[\bruch{2}{y}sin(xy^2)]_0^{2\pi}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\pi^2}{4y}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)-\bruch{\pi}{y}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)+\bruch{2}{y}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)[/mm]
>
> [mm]=(\bruch{\pi^2}{4y}-\bruch{\pi}{y}+\bruch{2}{y})sin(\bruch{\pi}{2}y^2)[/mm]
> [mm]=\bruch{\pi^2-4\pi+8}{y}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)[/mm]
>
> Also im Gesamtzusammenhang:
>
> [mm](\pi^2-4\pi+8)\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{y}sin(\bruch{\pi}{2}y^2) dy}[/mm]
>
> Stimmt die Lösung so weit?
Das musst Du nochmal nachrechnen.
> Wie kann ich das Integral lösen. Sieht irgendwie einfach
> aus, aber ich komme nicht weiter. Partielle Integration
> funktioniert nicht, eine Substitution sehe ich auch nicht.
>
>
> b)
> Die beiden den Bereich begrenzenden Funktionen schneiden
> sich in (0|0) und (2|2).
> [mm]2y=x^2[/mm] ist für y<0 [mm]x=\wurzel{2y}[/mm]
>
>
> Damit wir das Integral zu:
>
> [mm]\integral_{0}^{2}\integral_{y}^{\wurzel{2y}}{\bruch{x}{x^2+y^2} dxdy}[/mm]
>
> =
> [mm]\integral_{0}^{2}\bruch{1}{2}\integral_{y}^{\wurzel{2y}}{\bruch{2x}{x^2+y^2} dxdy}[/mm]
>
> =
> [mm]\integral_{0}^{2}\bruch{1}{2}{[ln(x^2+y^2)]_y^(\wurzel{2y})dy}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{2}ln(y^2+2y)-ln(2y^2)dy}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}[yln(y(y+2))+2ln(y+2)-2y-yln(2y^2)+2y]_0^2[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}(2ln8+2ln4-2ln8-2ln2)[/mm]
> = ln4-ln2
> = ln2
>
> Stimmt diese Lösung so?
>
Die Lösung stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genau genommen, mußt Du hier eine Grenzwertbetrachtung für y=0 vornehmen:
[mm]\blue{\limes_{y \rightarrow 0 }\bruch{1}{2}\left(yln(y(y+2))+2ln(y+2)-2y-yln(2y^2)+2y\right)}[/mm]
>
> Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
> Gruß,
> magir
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Do 11.12.2008 | | Autor: | magir |
Danke für die Korrektur. Habe Aufgabe a) noch einmal versucht, stehe aber vor einem ähnlichen Problem:
[mm] \integral{}_{}{x^2ycos(xy^2)dx}
[/mm]
= [mm] [x^2y\bruch{1}{y^2}sin(xy^2)]-\integral{}_{}{2xy\bruch{1}{y^2}sin(xy^2)dx}
[/mm]
= [mm] [...]-[-\bruch{2x}{y}\bruch{1}{y^2}cos(xy^2)]+\integral{}_{}{-\bruch{2}{y}\bruch{1}{y^2}cos(xy^2)dx}
[/mm]
= [mm] [...]-[...]-[\bruch{2}{y^3}\bruch{1}{y^2}sin(xy^2)]
[/mm]
= [mm] [\bruch{x^2}{y}sin(xy^2)+\bruch{2x}{y^3}cos(xy^2)-\bruch{2}{y^5}sin(xy^2)]_0^{\pi/2}
[/mm]
= [mm] \bruch{\pi^2}{4y}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)+\bruch{\pi}{y^3}cos(\bruch{\pi}{2}y^2)-\bruch{2}{y^5}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)
[/mm]
Der oben stehende Term muss nun nach y integriert werden:
[mm] \integral{}_{}{\bruch{\pi^2}{4y}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)+\bruch{\pi}{y^3}cos(\bruch{\pi}{2}y^2)-\bruch{2}{y^5}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)
dy}
[/mm]
Das Problem ist also noch etwas größer geworden.
Über Hilfe würde ich mich weiterhin sehr freuen.
Beste Grüße,
magir
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Hallo magir,
> Danke für die Korrektur. Habe Aufgabe a) noch einmal
> versucht, stehe aber vor einem ähnlichen Problem:
>
> [mm]\integral{}_{}{x^2ycos(xy^2)dx}[/mm]
> =
> [mm][x^2y\bruch{1}{y^2}sin(xy^2)]-\integral{}_{}{2xy\bruch{1}{y^2}sin(xy^2)dx}[/mm]
> =
> [mm][...]-[-\bruch{2x}{y}\bruch{1}{y^2}cos(xy^2)]+\integral{}_{}{-\bruch{2}{y}\bruch{1}{y^2}cos(xy^2)dx}[/mm]
> = [mm][...]-[...]-[\bruch{2}{y^3}\bruch{1}{y^2}sin(xy^2)][/mm]
> =
> [mm][\bruch{x^2}{y}sin(xy^2)+\bruch{2x}{y^3}cos(xy^2)-\bruch{2}{y^5}sin(xy^2)]_0^{\pi/2}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{\pi^2}{4y}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)+\bruch{\pi}{y^3}cos(\bruch{\pi}{2}y^2)-\bruch{2}{y^5}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)[/mm]
>
>
> Der oben stehende Term muss nun nach y integriert werden:
>
> [mm]\integral{}_{}{\bruch{\pi^2}{4y}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)+\bruch{\pi}{y^3}cos(\bruch{\pi}{2}y^2)-\bruch{2}{y^5}sin(\bruch{\pi}{2}y^2)
dy}[/mm]
>
> Das Problem ist also noch etwas größer geworden.
Probier Dein Glück auch hier mit partieller Integration.
>
> Über Hilfe würde ich mich weiterhin sehr freuen.
> Beste Grüße,
> magir
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Do 11.12.2008 | | Autor: | magir |
Ich sehe leider nicht, dass das zu einem Erfolg führt, denn auf Grund des 1/y wird der Betrag des Exponenten bei der Ableitung größer.
Mal ein Anfang:
[mm] \integral{}_{}{sin(ay^2)/ydy}
[/mm]
= [mm] \integral{}_{}{uv'dy}
[/mm]
= [uv] - [mm] \integral{}_{}{u'vdy}
[/mm]
u= 1/y -> [mm] u'=-1/y^2
[/mm]
[mm] v'=sin(ay^2) [/mm] -> v=?
-> [mm] \integral{}_{}{sin(ay^2)dy/y}
[/mm]
= [mm] [v/y]-\integral{}_{}{-vdy/y^2}
[/mm]
Ganz abgesehen davon, dass mir v fehlt wird der zu integrierende Ausdruck aber auch nicht einfacher, sondern komplexer.
Oder mache ich wieder etwas falsch?
Grüße,
magir
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Hallo magir,
> Ich sehe leider nicht, dass das zu einem Erfolg führt, denn
> auf Grund des 1/y wird der Betrag des Exponenten bei der
> Ableitung größer.
>
> Mal ein Anfang:
>
> [mm]\integral{}_{}{sin(ay^2)/ydy}[/mm]
> = [mm]\integral{}_{}{uv'dy}[/mm]
> = [uv] - [mm]\integral{}_{}{u'vdy}[/mm]
>
> u= 1/y -> [mm]u'=-1/y^2[/mm]
> [mm]v'=sin(ay^2)[/mm] -> v=?
>
> -> [mm]\integral{}_{}{sin(ay^2)dy/y}[/mm]
> = [mm][v/y]-\integral{}_{}{-vdy/y^2}[/mm]
>
> Ganz abgesehen davon, dass mir v fehlt wird der zu
> integrierende Ausdruck aber auch nicht einfacher, sondern
> komplexer.
Wähle [mm]u=\sin\left(ay^{2}\right), \ v'=\bruch{1}{y}[/mm]
Das obige Integral kann man so stehen lassen.
Die Integrale
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{\sin\left(ay^{2}\right)}{y^{n}} \ dy}[/mm]
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{\cos\left(ay^{2}\right)}{y^{n}} \ dy}[/mm]
kannst Du für n=0,1 so stehen lassen.
Berechne erstmal
[mm]\bruch{\pi^{2}}{4}\integral_{}^{}{\bruch{\sin\left(\bruch{\pi}{2}y^{2}\right)}{y} \ dy}- \pi \integral_{}^{}{\bruch{\cos\left(\bruch{\pi}{2}y^{2}\right)}{y^{3}} \ dy}-2\integral_{}^{}{\bruch{\sin\left(\bruch{\pi}{2}y^{2}\right)}{y^{5}} \ dy}[/mm]
Dann wirst Du sehen, daß die Integrale für n=0 und n=1
sich glücklicherweise selbst eliminieren.
Für den dann entstehenden Ausdruck mußt Du dann wiederum für y=0
eine Grenzwertbetrachtung durchführen.
>
> Oder mache ich wieder etwas falsch?
>
> Grüße,
> magir
>
Gruß
MathePower
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