Doppelintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Fr 17.12.2010 | | Autor: | ApoY2k |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche außerhalb des Kreises r = 2 und innerhalb der Kardioide r = 2(1 + [mm] cos\phi). [/mm] |
Bei dieser Aufgabe erhalte ich ein negatives Ergebnis, das meiner Meinung nach nicht stimmen kann (ich erhalte [mm] \pi-8).
[/mm]
Da die Angabe der Funktionen in Polakoordinaten gegeben wurde, wähle ich zur Lösung folgendes Grundintegral (in Polarkoordinaten)
[mm] \integral_{}^{}\integral_{}^{}{\rho d\rho d\phi}
[/mm]
Es geht also bei der Aufgabe einzig darum, die richtigen Grenzen einzusetzen. Dabei dachte ich mir: Die Länge [mm] \rho [/mm] läuft ja immer von der inneren Kurve bis zur äußeren, in diesem Fall also von 2 bis [mm] 2(1+cos\phi).
[/mm]
[mm] \phi [/mm] selbst lasse ich von den beiden Schnittpunkten der beiden Kurven laufen, also von [mm] \pi/2 [/mm] bis [mm] \pi, [/mm] damit die Fläche nicht negativ wird das ganze noch mal zwei und dann hab ich
[mm] 2\integral_{\pi/2}^{\pi}\integral_{2}^{2(1+cos\phi)}{\rho d\rho d\phi}
[/mm]
Dabei kommt aber wie schon erwähnt ein negatives Ergebnis heraus, was ich absolut nicht nachvollziehen kann.
Wo liegt mein Denkfehler? An der Lösung des Integrals kann es nicht liegen, das habe ich mehrmals überprüft, also muss der Fehler irgendwo im Ansatz liegen...
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hallo ApoY2k,
> Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche außerhalb des Kreises
> r = 2 und innerhalb der Kardioide r = 2(1 + [mm]cos\phi).[/mm]
> Bei dieser Aufgabe erhalte ich ein negatives Ergebnis, das
> meiner Meinung nach nicht stimmen kann (ich erhalte
> [mm]\pi-8).[/mm]
>
> Da die Angabe der Funktionen in Polakoordinaten gegeben
> wurde, wähle ich zur Lösung folgendes Grundintegral (in
> Polarkoordinaten)
>
> [mm]\integral_{}^{}\integral_{}^{}{\rho d\rho d\phi}[/mm]
>
> Es geht also bei der Aufgabe einzig darum, die richtigen
> Grenzen einzusetzen. Dabei dachte ich mir: Die Länge [mm]\rho[/mm]
> läuft ja immer von der inneren Kurve bis zur äußeren, in
> diesem Fall also von 2 bis [mm]2(1+cos\phi).[/mm]
>
> [mm]\phi[/mm] selbst lasse ich von den beiden Schnittpunkten der
> beiden Kurven laufen, also von [mm]\pi/2[/mm] bis [mm]\pi,[/mm] damit die
Die Schnittpunkte der beiden Kurven genügen der Gleichung
[mm]\cos\left(\phi\right)=0[/mm]
woraus folgt: [mm]\phi=\bruch{2*k+1}{2}*\pi, \ k \in \IZ[/mm]
> Fläche nicht negativ wird das ganze noch mal zwei und dann
> hab ich
>
> [mm]2\integral_{\pi/2}^{\pi}\integral_{2}^{2(1+cos\phi)}{\rho d\rho d\phi}[/mm]
>
> Dabei kommt aber wie schon erwähnt ein negatives Ergebnis
> heraus, was ich absolut nicht nachvollziehen kann.
Das negative Ergebnis liegt an der Wahl der Grenzen für [mm]\phi[/mm].
>
> Wo liegt mein Denkfehler? An der Lösung des Integrals kann
> es nicht liegen, das habe ich mehrmals überprüft, also
> muss der Fehler irgendwo im Ansatz liegen...
>
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Fr 17.12.2010 | | Autor: | ApoY2k |
Ja das ist mir klar, nur wie habe ich diese Grenzen zu wählen?
Meine Wahl habe ich mir halbwegs logisch erschlossen anhand dessen, wie die Graphen aussehen, aber wenn diese auf ein negatives Ergebnis führen, wie sind sie dann richtig zu wählen?
Oder ist das Ergebnis richtig und die Tatsache, dass es kleiner Null ist hat garnichts zu sagen, sprich der Betrag sei die Lösung?!
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Hallo ApoY2k,
> Ja das ist mir klar, nur wie habe ich diese Grenzen zu
> wählen?
Von [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm] bis [mm]+\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> Meine Wahl habe ich mir halbwegs logisch erschlossen anhand
> dessen, wie die Graphen aussehen, aber wenn diese auf ein
> negatives Ergebnis führen, wie sind sie dann richtig zu
> wählen?
Siehe oben,
>
> Oder ist das Ergebnis richtig und die Tatsache, dass es
> kleiner Null ist hat garnichts zu sagen, sprich der Betrag
> sei die Lösung?!
Nein, das Ergebnis ist nicht richtig.
Und ja, der Betrag der Lösung ist maßgebend.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Fr 17.12.2010 | | Autor: | ApoY2k |
Hm okay, versteh ich kein bisschen, woher diese Grenzen kommen. Nach welchen Kriterien geht man bei diesem Beispiel vor?
Mit Doppelintegralen an sich hab ich keine Probleme, aber sobald das alles in Polarkoordinaten übergeht, verschwindet meine Vorstellungskraft. Woher sehe ich, welche Grenzen gelten?
Geht das aus der Formel vor, die du oben beschrieben hast? Und wenn ja, wie?
Sorry wenn ich so nachbohre, aber ich muss das auch verstehen können :-/
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Hallo ApoY2k,
> Hm okay, versteh ich kein bisschen, woher diese Grenzen
> kommen. Nach welchen Kriterien geht man bei diesem Beispiel
> vor?
>
> Mit Doppelintegralen an sich hab ich keine Probleme, aber
> sobald das alles in Polarkoordinaten übergeht,
> verschwindet meine Vorstellungskraft. Woher sehe ich,
> welche Grenzen gelten?
Nun, für den Schnittpunkt der beiden Kurven gilt:
[mm]2*\left(1+\cos\left(\phi\right)\right)*\pmat{\cos\left(\phi\right) \\ \sin\left(\phi\right)}=2*\pmat{\cos\left(\phi\right) \\ \sin\left(\phi\right)}[/mm]
Bzw. es müssen die beiden Gleichungen gelten:
[mm]2*\cos\left(\phi\right)* \cos\left(\phi\right)=0[/mm]
[mm]2*\cos\left(\phi\right)* \sin\left(\phi\right)=0[/mm]
Dies geht einher mit [mm]\cos\left(\phi\right)=0[/mm]
>
> Geht das aus der Formel vor, die du oben beschrieben hast?
> Und wenn ja, wie?
>
Siehe oben.
>
> Sorry wenn ich so nachbohre, aber ich muss das auch
> verstehen können :-/
Sicher.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Fr 17.12.2010 | | Autor: | ApoY2k |
Okay, aber [mm] cos(\phi) [/mm] = 0 hat doch viele Lösungen? Wie du oben schon geschrieben hast, gilt das für
[mm] \phi [/mm] = [mm] \bruch{2*k+1}{2}*\pi
[/mm]
Heißt das, dass ich mir k frei wählen kann?
Also könnte ich das Doppelintegral für [mm] \phi [/mm] auch von (k = 1, 2) => [mm] \phi [/mm] = [mm] 3/2\pi...5/2\pi [/mm] laufen lassen?
Blödes Beispiel, aber das ist genau mein Problem - [mm] \phi [/mm] kann vieles sein, aber was habe ich zu wählen?
Die Berechnung des Schnittpunktes über Gleichsetzen hatte ich genau so, aber ich habe daraus nicht schließen können, was genau denn jetzt die Grenzen sind.
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Hallo ApoY2k,
> Okay, aber [mm]cos(\phi)[/mm] = 0 hat doch viele Lösungen? Wie du
> oben schon geschrieben hast, gilt das für
>
> [mm]\phi[/mm] = [mm]\bruch{2*k+1}{2}*\pi[/mm]
>
> Heißt das, dass ich mir k frei wählen kann?
>
> Also könnte ich das Doppelintegral für [mm]\phi[/mm] auch von (k =
> 1, 2) => [mm]\phi[/mm] = [mm]3/2\pi...5/2\pi[/mm] laufen lassen?
Ja, Du musst nur zwei aufeinanderfolgende Nullstellen wählen.
>
> Blödes Beispiel, aber das ist genau mein Problem - [mm]\phi[/mm]
> kann vieles sein, aber was habe ich zu wählen?
In der Regel wählt man die Nullstellen
in [mm]\left[-\pi,\pi\right][/mm] bzw. [mm]\left[0,2*\pi\right][/mm]
>
> Die Berechnung des Schnittpunktes über Gleichsetzen hatte
> ich genau so, aber ich habe daraus nicht schließen
> können, was genau denn jetzt die Grenzen sind.
Ok.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Fr 17.12.2010 | | Autor: | ApoY2k |
> Ja, Du musst nur zwei aufeinanderfolgende Nullstellen
> wählen.
Genau das war der Satz den ich hören wollte. Ich danke dir vielmals für deine Geduld mit mir. Jetzt hat sich so einiges gelüftet an Nebel :)
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