Doppelintegral änd. Variablen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie das Doppelintegral
[mm] \integral_{}^{}\integral_{R}^{}{(x^{2}+y^{2})dydx}
[/mm]
über das im Bild dargestellte Quadrat.
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo zusammen,
verstehe wieder mal eine Musterlösung nicht und bitte um Hilfe
Hier die Musterlösung:
------------------------------------------------------------------
Die Form des Quadrates R legt folgende Transformation nahe:
x+y=u
x-y=v
Daraus folgt:
x=1/2(u+v)
y=1/2(u-v)
Die Jacob Matrix ist
[mm] J=\bruch{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\vmat{ 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 }=1/2
[/mm]
0 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] 2, 0 [mm] \le [/mm] v [mm] \le [/mm] 2
folglich
[mm] \integral_{}^{}\integral_{R}^{}{(x^{2}+y^{2})dydx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2}\integral_{0}^{2}{1/2(u^{2}+v^{2})1/2dudv}=8/3
[/mm]
-------------------------------------------------------------------
So, Verständnisprobleme hab ich ganz zu Beginn, bei der Transformation:
x+y=u
x-y=v
Wie kommt man darauf? Ebenso Probleme macht mir der Nächste Schritt:
x=1/2(u+v)
y=1/2(u-v)
Wie kommt man auf diese beiden Rechenschritte? Der Rest ist dann wieder in Ordnung.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:47 Di 27.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie das Doppelintegral
>
> [mm]\integral_{}^{}\integral_{R}^{}{(x^{2}+y^{2})dydx}[/mm]
>
> über das im Bild dargestellte Quadrat.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo zusammen,
>
> verstehe wieder mal eine Musterlösung nicht und bitte um
> Hilfe
>
> Hier die Musterlösung:
>
> ------------------------------------------------------------------
> Die Form des Quadrates R legt folgende Transformation
> nahe:
>
> x+y=u
> x-y=v
>
> Daraus folgt:
>
> x=1/2(u+v)
> y=1/2(u-v)
>
> Die Jacob Matrix ist
>
> [mm]J=\bruch{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\vmat{ 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 }=1/2[/mm]
>
> 0 [mm]\le[/mm] u [mm]\le[/mm] 2, 0 [mm]\le[/mm] v [mm]\le[/mm] 2
>
> folglich
>
> [mm]\integral_{}^{}\integral_{R}^{}{(x^{2}+y^{2})dydx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{2}{1/2(u^{2}+v^{2})1/2dudv}=8/3[/mm]
>
> -------------------------------------------------------------------
> So, Verständnisprobleme hab ich ganz zu Beginn, bei der
> Transformation:
> x+y=u
> x-y=v
> Wie kommt man darauf?
Betrachte die lineare Abbildung
[mm] f(\vektor{x \\ y})=\vektor{x+y \\ x-y}.
[/mm]
f bildet da Quadrat R auf das achsenparallele (!) Quadrat [mm] Q:=[0,2]^2 [/mm] ab.
Integration über Q ist sehr einfach.
> Ebenso Probleme macht mir der
> Nächste Schritt:
> x=1/2(u+v)
Addiere die Gleichungen
x+y=u
x-y=v
> y=1/2(u-v)
Subtrahiere die Gleichungen
x+y=u
x-y=v
FRED
> Wie kommt man auf diese beiden Rechenschritte? Der Rest
> ist dann wieder in Ordnung.
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
> Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Di 27.08.2013 | | Autor: | chrisno |
> .....
> So, Verständnisprobleme hab ich ganz zu Beginn, bei der
> Transformation:
> x+y=u
> x-y=v
> Wie kommt man darauf?
Die Idee ist, so zu integrieren, dass in den Integrationsgrenzen keine Variablen stehen.
Also geht es die "Kanten" entlang. Die eine Kante ist die Winkelhalbierende im ersten Quadrantan. Will man die entlang gehen, muss man immer gleich große Schritte in x und y Richtung gehen. Entsprechendes gilt für die andere Kante.
> Ebenso Probleme macht mir der
> Nächste Schritt:
> x=1/2(u+v)
> y=1/2(u-v)
> Wie kommt man auf diese beiden Rechenschritte?
Warum das benötigt wird, ist Dir klar, oder? Dazu musst Du nur das vorige Gleichungssystem nach x und y auflösen. Wie das geht, hat Fred geschrieben.
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