Doppelintegrale II < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:28 So 18.08.2013 | | Autor: | Mopsi |
Guten Abend :)
Folgende Doppelintegrale konnte ich lösen (letzteres mit Polarkoordinaten):
1. [mm] \int_{G}^{} exp(- \frac{y}{x^4}) d(x,y), G= \{(x,y)\} \in \IR^2: 0 \leq y \leq x^4, -1 \leq x \leq 1 \} [/mm]
2. [mm] \int_{G}^{} (x^3 +xy^2) d(x,y), G = \{(x,y)\} \in \IR^2: x^2 + y^2 \leq 1, x \geq 0 \} [/mm]
Nun bereitet mir dieses Probleme:
[mm] \int_{G}^{} \frac{e^{x^2+y^2+z^2} }{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \textrm{ }d(x,y,z), G = \{(x,y,z)\} \in \IR^3: 1 \leq x^2+y^2+z^2 \leq 4, z \geq 0 \} [/mm]
Hier liegt nun ein dreidimensionales Gebiet vor. Aber wie sieht es überhaupt aus? Hat es eine bestimmte Form? Ich kann mir das überhaupt nicht vorstellen :( Wie macht ihr das?
Bei einer Kreisfläche lohnt es sich ja das ganze in Polarkoordinaten umzuwandeln.
Lohnt es sich hier auch?
Aber wie sehen Polarkoordinaten im dreidimensionalen überhaupt aus?
Im zweidimensionalen gilt ja: [mm]x = r * cos( \varphi), y = r * sin( \varphi), r^2 = x^2 + y^2[/mm]
Wie sieht es im dreidimensionalen aus? Könnt ihr mir dazu vielleicht einen Link im Internet empfehlen?
Erstmal bis hierhin.
Danke :)
Mopsi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:52 So 18.08.2013 | | Autor: | fred97 |
Hallo
in drei d spricht man von Kugelkoordinaten, die kannst du etwa in wiki nachlesen, dann muss ich sie nicht hinschreiben. Es sind die Koordinaten, die man auch auf der Erde benutzt (Längen und Breitengrad +Radius)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 So 18.08.2013 | | Autor: | Mopsi |
Vielen Dank, Fred :)
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> G = [mm] $\{\ (x,y,z) \in \IR^3:\ 1 \leq x^2+y^2+z^2 \leq 4\ ,\ z \geq 0\ \} [/mm] $
>
> Hier liegt nun ein dreidimensionales Gebiet vor. Aber wie
> sieht es überhaupt aus? Hat es eine bestimmte Form? Ich
> kann mir das überhaupt nicht vorstellen :( Wie macht ihr
> das?
Hallo Mopsi,
Jede Gleichung der Form [mm] x^2+y^2+z^2=r^2 [/mm] (mit r>0)
beschreibt eine Kugelfläche mit dem Kugelmittelpunkt
O(0|0|0) und dem Radius r.
Um G zu erhalten, bildet man also zunächst die Vereini-
gungsmenge aller solchen Kugelflächen, wobei [mm] r\in[1...2] [/mm] .
Damit haben wir eine Hohlkugel mit dem Außenradius 2
und dem Innenradius 1.
Wegen der zusätzlichen Bedingung [mm] z\geq [/mm] 0 nehmen wir
aber von dieser Hohlkugel nur diejenige Hälfte, in welcher
diese Ungleichung erfüllt ist. G ist also eine Halbkugel-
Schale.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 So 18.08.2013 | | Autor: | Mopsi |
Hallo Al-Chwarizmi :)
Das hat du gut erklärt, das konnte ich alles nachvollziehen.
Dankeschön :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 So 18.08.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo Mopsi,
In deinem ersten Beitrag zu Integralen (und auch in diesem) fragst du immer nach einer Veranschaulichung (Vorstellungsmöglichkeit) der Gebiete.
Prinzipiell sind die Gebiete vom Aufgabensteller so gewählt, dass man sie sich "möglichst einfach" vorstellen kann - auch in deinem Fall werden ganz klassische Gleichungen herangezogen.
1) [mm] x^{2}+y^{2} [/mm] = [mm] r^2. [/mm] - der du ansehen solltest dass sie etwas mit einem Kreis zu tun hat :)
2) [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] - der du ansehen solltest dass sie etwas mit einer Kugel zu tun hat.
Nun sind deine Gleichungen etwas verunstaltet und zu Ungleichungen geworden , welche dennoch etwas mit Kreis und Kugel zu tun haben.
Al-Chwarizmi hat nun in beiden Fällen beschrieben inwiefern dadurch Änderungen eintreten - Wie etwa G ist eine Halbkugelschale.
Nachdem in dem Forum viele begnadete Mathematiker aktiv sind , die auf den ersten Blick einer solchen Ungleichung einen Namen ,wie in diesem Fall Halbkugelschale ,verpassen können (ohne lange nachzudenken) , stellt sich für dich die Frage wie du das auch machen kannst.
Übung! - Nimm dir einige solche Ungleichungen her, stelle zusätzliche Bedingungen oder triff andere Einschränkungen und untersuche die resultierenden Figuren... du wirst erkennen , dass du recht rasch Kugelschalen, Kreisscheiben etc. erkennst.
Es wird jedoch immer Mengen geben denen du kaum etwas vorstellbares zuordnen kannst selbst wenn du sie genauer untersuchst. Also die klassischen Varianten ersiehst du durch Übung relativ rasch, manche benötigen einen höheren Zeitaufwand und manche wirst du dir schwer bis gar nicht vorstellbar machen.
Gruß Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 So 18.08.2013 | | Autor: | Mopsi |
Hey Thomas :)
Vielen Dank für deine Antwort, ich werde jetzt viel üben und bei Problemen fragen :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 So 18.08.2013 | | Autor: | Mopsi |
Und was ist mit Zylinderkoordinaten? Wann genau verwende ich diese?
Wenn ich das nun in Kugelkoordinaten umschreibe erhalte ich folgendes Integral:
[mm] \int_{G}^{}{\frac{e^r^2}{\sqrt{r^2}} \textrm{ }r^2 \textrm{ } sin \theta \textrm{ } d \varphi \textrm{ } d \theta dr} = \int_{G}^{}{e^{r^2}*r} \textrm{ }r^2 \textrm{ } sin \theta \textrm{ } d \varphi \textrm{ } d \theta dr} = \int_{G}^{}{e^{r^2}*r^3} \textrm{ } sin \theta \textrm{ } d \varphi \textrm{ } d \theta dr}[/mm]
Aber wie mache ich das mit der Reihenfolge? Also ich weißt jetzt nicht, was das innere Integral sein soll..
Erstmal die Grenzen:
Für r gilt: [mm]1 \leq r \leq 2[/mm]
Für [mm]%20%5Cvarphi[/mm] gilt: [mm]0 \leq \varphi \leq 2 \pi[/mm]
Für [mm]0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}[/mm]
Ist es vielleicht sogar egal welche Reihenfolge ich nehme, da die Grenzen von keinen Variablen abhängen?
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Hallo Mopsi,
> Und was ist mit Zylinderkoordinaten? Wann genau verwende
> ich diese?
>
> Wenn ich das nun in Kugelkoordinaten umschreibe erhalte ich
> folgendes Integral:
>
> [mm]\int_{G}^{}{\frac{e^r^2}{\sqrt{r^2}} \textrm{ }r^2 \textrm{ } sin \theta \textrm{ } d \varphi \textrm{ } d \theta dr} = \int_{G}^{}{e^{r^2}*r} \textrm{ }r^2 \textrm{ } sin \theta \textrm{ } d \varphi \textrm{ } d \theta dr} = \int_{G}^{}{e^{r^2}*r^3} \textrm{ } sin \theta \textrm{ } d \varphi \textrm{ } d \theta dr}[/mm]
>
Das muss doch so lauten:
[mm]\int_{G}^{}{\frac{e^r^2}{\sqrt{r^2}} \textrm{ }r^2 \textrm{ } sin \theta \textrm{ } d \varphi \textrm{ } d \theta dr} = \int_{G}^{}{\blue{\bruch{e^{r^2}}{r}} \textrm{ }r^2 \textrm{ } sin \theta \textrm{ } d \varphi \textrm{ } d \theta dr} = \int_{G}^{}{e^{r^2}*\blue{r} \textrm{ } sin \theta \textrm{ } d \varphi \textrm{ } d \theta dr}[/mm]
> Aber wie mache ich das mit der Reihenfolge? Also ich weißt
> jetzt nicht, was das innere Integral sein soll..
>
> Erstmal die Grenzen:
>
> Für r gilt: [mm]1 \leq r \leq 2[/mm]
> Für [mm]%20%5Cvarphi[/mm] gilt: [mm]0 \leq \varphi \leq 2 \pi[/mm]
>
> Für [mm]0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}[/mm]
>
> Ist es vielleicht sogar egal welche Reihenfolge ich nehme,
> da die Grenzen von keinen Variablen abhängen?
>
Genau so ist es.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 So 18.08.2013 | | Autor: | Mopsi |
Hey MathePower :)
> Hallo Mopsi,
>
> > Und was ist mit Zylinderkoordinaten? Wann genau verwende
> > ich diese?
> >
> > Wenn ich das nun in Kugelkoordinaten umschreibe erhalte ich
> > folgendes Integral:
> >
> > [mm]\int_{G}^{}{\frac{e^r^2}{\sqrt{r^2}} \textrm{ }r^2 \textrm{ } sin \theta \textrm{ } d \varphi \textrm{ } d \theta dr} = \int_{G}^{}{e^{r^2}*r} \textrm{ }r^2 \textrm{ } sin \theta \textrm{ } d \varphi \textrm{ } d \theta dr} = \int_{G}^{}{e^{r^2}*r^3} \textrm{ } sin \theta \textrm{ } d \varphi \textrm{ } d \theta dr}[/mm]
>
> >
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>
> Das muss doch so lauten:
>
> [mm]\int_{G}^{}{\frac{e^r^2}{\sqrt{r^2}} \textrm{ }r^2 \textrm{ } sin \theta \textrm{ } d \varphi \textrm{ } d \theta dr} = \int_{G}^{}{\blue{\bruch{e^{r^2}}{r}} \textrm{ }r^2 \textrm{ } sin \theta \textrm{ } d \varphi \textrm{ } d \theta dr} = \int_{G}^{}{e^{r^2}*\blue{r} \textrm{ } sin \theta \textrm{ } d \varphi \textrm{ } d \theta dr}[/mm]
Genau, habe es jetzt auch so und die richtige Lösung [mm]\pi e^4 - \pi e[/mm] erhalten :)
Dankeschön :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 So 18.08.2013 | | Autor: | Mopsi |
Eine Frage habe ich noch.
Dies ist das Integral:
[mm] \int_{G}^{} y^2cos(2x^2-x^4) d(x,y), G= \{(x,y)\} \in \IR^2: x \leq y \leq \sqrt[3]{x}, 0 \leq x \leq 1 \}[/mm]
Wie sieht das Gebiet aus?
Also da für x gilt: [mm] 0 \leq x \leq 1 \[/mm] könnte es eine Kreisscheibe mit Radius 1 sein, oder?
Aber was sagt mir das y? Das ist jetzt in Abhängigkeit von x und hat da so eine eklige Wurzel...
Ich habe versucht das Integral in Polarkoordinaten umzuschreiben, aber ich kann die Funktion nicht gescheit umformen..
Für die Grenzen müsste dann ja gelten:
[mm] 0 \leq r \leq 1 \[/mm]
[mm] 0 \leq \varphi \leq 2\pi \[/mm]
Ist es vielleicht sogar gedacht, dass man kartesische Koordinaten bei dieser Aufgabe verwendet?
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> Eine Frage habe ich noch.
>
> Dies ist das Integral:
>
> [mm]\int_{G}^{} y^2cos(2x^2-x^4) d(x,y), G= \{(x,y)\} \in \IR^2: x \leq y \leq \sqrt[3]{x}, 0 \leq x \leq 1 \}[/mm]
>
> Wie sieht das Gebiet aus?
> Also da für x gilt: [mm]0 \leq x \leq 1 \[/mm] könnte es eine
> Kreisscheibe mit Radius 1 sein, oder?
> Aber was sagt mir das y? Das ist jetzt in Abhängigkeit
> von x und hat da so eine eklige Wurzel...
>
> Ich habe versucht das Integral in Polarkoordinaten
> umzuschreiben, aber ich kann die Funktion nicht gescheit
> umformen..
> Für die Grenzen müsste dann ja gelten:
> [mm]0 \leq r \leq 1 \[/mm]
> [mm]0 \leq \varphi \leq 2\pi \[/mm]
>
> Ist es vielleicht sogar gedacht, dass man kartesische
> Koordinaten bei dieser Aufgabe verwendet?
In diesem Fall: keine Spur von Kreisgleichung und
Kreisscheiben !
Die Ungleichungskette [mm]0 \leq x \leq 1 \[/mm] besagt nur
einmal, dass man sich auf dieses Intervall der x-Werte
beschränken kann.
Die für y vorliegende Ungleichungskette x [mm] \leq [/mm] y [mm] \leq \sqrt[3]{x}
[/mm]
(in Abhängigkeit von x) besagt, dass für jeden gewählten
x-Wert (im angegebenen Intervall) sich die zugehörigen
y-Werte im Intervall [x ... [mm] \sqrt[3]{x}] [/mm] bewegen sollen.
Dies ist insgesamt eine exakte Beschreibung des Integrations-
gebietes, welche sich sofort in eine Integrationsanweisung
in rechtwinkligen Koordinaten umsetzen lässt:
[mm] $\integral_{x=0}^{1}\ \left(\ \integral_{y=x}^{\sqrt[3]{x}}\ ......\ dy\,\right)\ [/mm] dx$
Deine Fragen scheinen mir zu zeigen, dass du als
Studentin der Naturwissenschaft im Grundstudium
offenbar gewisse nicht ganz geringe Defizite in
Bereichen der Mathematik hast, welche am
Gymnasium bestimmt ziemlich ausführlich
behandelt wurden ...
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:45 So 18.08.2013 | | Autor: | Mopsi |
Hey Al-Chwarizmi :)
Vielen Dank, nun habe ich das Integral mit kartesischen Koordinaten gelöst und erhalte das richtige Ergebnis [mm] \frac{sin(1)}{12}[/mm].
Ja, ich habe Defizite in gewissen Bereichen, aber deswegen bin ich doch gerade hier 
Ich kann mich ja nicht aufgeben... :(
Mopsi
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