Doppelintegrale lösen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:15 So 23.01.2011 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Man berechne die Integrale [mm] \integral_{M}{f(x,y) dx dy} [/mm] für
1. f(x,y)= x + [mm] y^2 [/mm] und M bezeichne das Dreieck mit den Eckpunkten (0,0), (1,0), (0,1)
2. f(x,y) = xy und M={x,y [mm] \in R^2 [/mm] | 0 [mm] \le [/mm] x , 0 [mm] \le [/mm] y , 1 [mm] \le [/mm] x+y [mm] \le [/mm] 2}
3. f(x,y) = [mm] exp(y^2) [/mm] und M={x,y [mm] \in R^2 [/mm] | |x| [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1} |
hi zusammen,
ich brauch etwas hilfe bei der findung der Integrationsgrenzen. Die Integrale kann ich dann selbst lösen, sofern ich die Integrationsgrenzen habe.
bei 1. habe ich folgendes Integral
[mm] \integral_{0}^{1} \integral_{0}^{1} {x+y^2 dx dy}
[/mm]
bei 2. habe ich folgendes Integral
die grenzen für x sind 1-y [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2-y
die grenzen für y bekomme ich einfach nicht raus :(
[mm] \integral_{?}^{?} \integral_{1-y}^{2-y} [/mm] {x*y dx dy}
an die dritte aufgabe habe ich mich noch nicht rangemacht. wenn mir jemand helfen könnte wäre ich sehr dankbar.
lg
meep
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> Man berechne die Integrale [mm]\integral_{M}{f(x,y) dx dy}[/mm]
> für
>
> 1. f(x,y)= x + [mm]y^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und M bezeichne das Dreieck mit den
> Eckpunkten (0,0), (1,0), (0,1)
>
> 2. f(x,y) = xy und M={x,y [mm]\in R^2[/mm] | 0 [mm]\le[/mm] x , 0 [mm]\le[/mm] y , 1
> [mm]\le[/mm] x+y [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2}
>
> 3. f(x,y) = [mm]exp(y^2)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und M={x,y [mm]\in R^2[/mm] | |x| [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1}
> hi zusammen,
>
> ich brauch etwas hilfe bei der findung der
> Integrationsgrenzen. Die Integrale kann ich dann selbst
> lösen, sofern ich die Integrationsgrenzen habe.
Hallo,
der allerwichtigste Tip:
skizziere Dir zunächst immer die Gebiete, über denen integriert wird.
Ohne Skizze wäre ich jedenfalls komplett aufgeschmissen.
>
> bei 1. habe ich folgendes Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{1} \integral_{0}^{1} {x+y^2 dx dy}[/mm]
Das ist nicht richtig.
Du integierst hier über ein Quadrat, denn Deine Grenzen laufen ja völlig unabhängig voneinander beide von 0 bis 1.
Dies ist jedoch bei Deinem Dreieck nicht der Fall.
Offenbar läuft x von 0 bis 1.
Wodurch (durch welche Graphen?) wird aber der y-Wert unterdessen begrenzt?
Unten:
Oben:
Also hat man [mm] \integral ^1_0\integral^{...}_{...}(x+y^2)dydx.
[/mm]
Natürlich kannst Du auch zuerst nach x integrieren, dann mußt Du genau andersrum überlegen. (Mir fällt das meist schwerer)
>
> bei 2. habe ich folgendes Integral
>
> die grenzen für x sind 1-y [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2-y
>
> die grenzen für y bekomme ich einfach nicht raus :(
>
> [mm]\integral_{?}^{?} \integral_{1-y}^{2-y}[/mm] {x*y dx dy}
Über was für einem Gebiet sollst Du denn integrieren? Hast Du Dir das mal aufgezeichnet?
Über welchen x-Werten liegen Punkte des Gebietes? (Damit hast Du die äußeren Grenzen).
Jetzt guck mal an, durch welche Kurven die möglichen y-Werte begrenzt werden.
Im linken Teil sind das in der Tat die Graphen von y=1-x und y=2-x, aber ist das rechts auch so?
Du mußt das Integral in zwei Teile teilen...
Noch ein kleiner Tip:
wenn Du über Gebieten zu integrieren hast, die geometrisch so einfach sind wie hier, dann kannst Du ja mit Mittelstufenmethoden ihren Flächeninhalt ausrechnen.
Wenn Du dann Integrationsgrenzen gefunden hast, kannst Du mit diesen Grenzen einfach mal das Integral von 1 ausrechnen. Wenn die Grenzen stimmen, dann bekommst Du den Flächeninhalt des Gebietes.
Gruß v. Angela
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