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| Aufgabe | Lass die Funktion f: [mm] \IR^2 \mapsto \IR [/mm]
f(x, y) = [mm] \bruch{xy}{(x^{2}+y^{2})^2}
[/mm]
gegeben sein für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)
Mit der konvention f(0,0) = 0
4.1: Ist f integrierbar über das Quadrat [mm] [-1,1]\times[-1,1]?
[/mm]
4.2: Zeigen Sie, dass die beiden Doppelintegrale
[mm] \integral_{-1}^{1}{\integral_{-1}^{1}{f(x,y)} dydx} [/mm] und [mm] \integral_{-1}^{1}{\integral_{-1}^{1}{f(x,y)} dxdy}
[/mm]
eksistieren.
Sind sie gleich? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir bitte jemand erklären, wie ich diese Aufgabe lösen kann?
Das Problem ist, dass ich zu einem Widerspruch komme, indem f offentsichtich sowohl integrierbar als auch nicht-integrierbar ist.
Zu 4.1: Ich muss also prüfen, ob [mm] \integral_{}^{}{|f| dydx} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
Die numerische Werte der Funktion heisst also hier, dass das Integral über [mm] [-1,1]\times[-1,1] [/mm] übereinstimmend mit 4 mal das Integral im ersten Quadrant, weil die Funktion symmetrisch ist, das heisst:
[mm] \integral_{-1}^{1}{\integral_{-1}^{1}{ | \bruch{xy}{(x^{2}+y^{2.5})^2}} | dxdy} [/mm] = [mm] 4\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{\bruch{xy}{(x^{2}+y^{2.5})^2}} dxdy}
[/mm]
Aber wenn ich diese Werte ausrechne, krieg ich:
[mm] 4\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{\bruch{xy}{(x^{2}+y^{2.5})^{2}}} dxdy} [/mm] = [mm] 2\integral_{0}^{1}{y\integral_{y^2}^{1+y^2}{\bruch{1}{t^{2}}} dtdy}
[/mm]
(Substitution: t = [mm] x^2+y^{2})
[/mm]
= [mm] 2\integral_{0}^{1}{y[\bruch{1}{t^{2}}]^{1+y^{2}}_{y^{2}} dy} [/mm] = [mm] 2\integral_{0}^{1}{(\bruch{1}{y} - \bruch{y}{y^{2}+1}) dy}
[/mm]
= [mm] 2\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{y} dy} [/mm] - [mm] 2\integral_{0}^{1}{\bruch{y}{y^{2}+1} dy}
[/mm]
= [mm] 2[lny]^{1}_{0} [/mm] - [mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{1}{w} dw}
[/mm]
(Substitution: w = [mm] y^{2} [/mm] + 1)
= 2ln1 - [mm] 2\limes_{z\rightarrow\ 0^{+}}lnz [/mm] - [mm] [lnw]^{2}_{1} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Weil das integral unendlich wird, kann die Funktion f(x,y) nicht integrierbar sein, stimmt's?
Aber dann, in 4.2, muss ich zeigen, dass die beide Doppelintegrale existieren.
Aber das heisst ja irgendwie, dass f integrierbar sein muss im Gegensatz zum Ergebnis unter 4.1?
Ich benutze denselben Vorgang, also dass das Integral existiert, wenn [mm] \integral_{}^{}{|f| dydx} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
Nehmen wir also das eine innere Integral in einem der beiden Doppelintegrale:
[mm] \integral_{-1}^{1}{|\bruch{xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}| dy}
[/mm]
Dann kriegen wir:
[mm] \integral_{-1}^{1}{|\bruch{xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}| dy} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{0}{|\bruch{xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}| dy} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{|\bruch{xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}| dy}
[/mm]
Weil f in (0,0) nicht kontinuert ist.
Entfernung der numerischen Werten, macht
[mm] \integral_{-1}^{0}{|\bruch{xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}| dy} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{|\bruch{xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}| dy} [/mm] = [mm] -x\integral_{-1}^{0}{\bruch{y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} dy} [/mm] + [mm] x\integral_{0}^{1}{\bruch{y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} dy}
[/mm]
Mit der Substitution t = [mm] x^{2}+y^{2} [/mm] kriegt man
= [mm] -\bruch{x}{2}\integral_{x^{2}+1}^{x^{2}}{\bruch{1}{t^{2}} dt} [/mm] + [mm] \bruch{x}{2}\integral_{x^{2}}^{x^{2}+1}{\bruch{1}{t^{2}} dt}
[/mm]
= [mm] -\bruch{x}{2}(-\bruch{1}{x^{2}}-(-\bruch{1}{x^{2}+1})) [/mm] + [mm] \bruch{x}{2} (-\bruch{1}{x^{2}+1} [/mm] - [mm] (-\bruch{1}{x^{2}})) [/mm] = [mm] \bruch{1}{x(x^{2}+1)}
[/mm]
Und wenn man diesen Ausdruck in das aussere Integral einsetzt und ausrecnet, das heisst
[mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{x(x^{2}+1)} dx}
[/mm]
dann kriegt man 0, also etwas endliches statt unendliches und deshalb muss die beiden Integrale existieren?
Aber bin ich nicht eben dazu gekommen, unter 4.1, dass f nicht integriebar war???
Kann jemand bitte die Lösung finden?
Danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Fr 05.10.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Zu 4.1: Ich muss also prüfen, ob [mm]\integral_{}^{}{|f| dydx}[/mm]
> < [mm]\infty[/mm]
Genau.
> Die numerische Werte der Funktion heisst also hier, dass
> das Integral über [mm][-1,1]\times[-1,1][/mm] übereinstimmend mit 4
> mal das Integral im ersten Quadrant, weil die Funktion
> symmetrisch ist, das heisst:
Ja, die ist symmetrisch. Aber weil [mm] f(x,y)\rightarrow\infty [/mm] für [mm] (x,y)\rightarrow [/mm] (0,0) sollst du erst über einem Intervall (a,1] mit [mm] a\in [/mm] (0,1) integrieren. Dieser Integral existiert auf jeden Fall. Wenn du dann in dem so erhaltenen Ausdruck für den Integralwert a gegen 0 laufen lässt und etwas kleiner unendlich rauskriegst, so existiert auch der Integral über [0,1]. Dabei ist [mm] a:=(e,f)\in\IR^{2}, [/mm] d.h. du sollst so rechnen:
[mm] \integral_{e}^{1}\integral_{f}^{1}{f(x,y)dxdy}.
[/mm]
Dabei kannst du die Betragsstriche weglassen, da auf [mm] f([0,1])\ge [/mm] 0. Und du sollst schön erst nach x (y als Paramter betrachten), dann nach y integrieren. Substitution ist unnötig, du kannst die letzten drei unbestimmten Integrale in dieser ![[]](/images/popup.gif) Tabelle benutzen.
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\integral_{-1}^{1}{ | \bruch{xy}{(x^{2}+y^{2.5})^2}} | dxdy}[/mm]
> =
> [mm]4\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{\bruch{xy}{(x^{2}+y^{2.5})^2}} dxdy}[/mm]
>
> Aber wenn ich diese Werte ausrechne, krieg ich:
>
> [mm]4\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{\bruch{xy}{(x^{2}+y^{2.5})^{2}}} dxdy}[/mm]
> =
> [mm]2\integral_{0}^{1}{y\integral_{y^2}^{1+y^2}{\bruch{1}{t^{2}}} dtdy}[/mm]
>
> (Substitution: t = [mm]x^2+y^{2})[/mm]
> = [mm]2\integral_{0}^{1}{y[\bruch{1}{t^{2}}]^{1+y^{2}}_{y^{2}} dy}[/mm]
> = [mm]2\integral_{0}^{1}{(\bruch{1}{y} - \bruch{y}{y^{2}+1}) dy}[/mm]
>
> = [mm]2\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{y} dy}[/mm] -
> [mm]2\integral_{0}^{1}{\bruch{y}{y^{2}+1} dy}[/mm]
> = [mm]2[lny]^{1}_{0}[/mm]
> - [mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{1}{w} dw}[/mm]
>
> (Substitution: w = [mm]y^{2}[/mm] + 1)
>
> = 2ln1 - [mm]2\limes_{z\rightarrow\ 0^{+}}lnz[/mm] - [mm][lnw]^{2}_{1}[/mm] =
> [mm]\infty[/mm]
>
> Weil das integral unendlich wird, kann die Funktion f(x,y)
> nicht integrierbar sein, stimmt's?
Eigentlich schon. Du könntest dich verrechnet haben.
> Aber dann, in 4.2, muss ich zeigen, dass die beide
> Doppelintegrale existieren.
> Aber das heisst ja irgendwie, dass f integrierbar sein
> muss im Gegensatz zum Ergebnis unter 4.1?
Ja. 4.1 und 4.2 ist so ziemlich die selbe Aufgabe.
> Ich benutze denselben Vorgang, also dass das Integral
> existiert, wenn [mm]\integral_{}^{}{|f| dydx}[/mm] < [mm]\infty[/mm]
>
> Nehmen wir also das eine innere Integral in einem der
> beiden Doppelintegrale:
> [mm]\integral_{-1}^{1}{|\bruch{xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}| dy}[/mm]
>
> Dann kriegen wir:
> [mm]\integral_{-1}^{1}{|\bruch{xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}| dy}[/mm] =
> [mm]\integral_{-1}^{0}{|\bruch{xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}| dy}[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{1}{|\bruch{xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}| dy}[/mm]
> Weil
> f in (0,0) nicht kontinuert ist.
> Entfernung der numerischen Werten, macht
> [mm]\integral_{-1}^{0}{|\bruch{xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}| dy}[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{1}{|\bruch{xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}| dy}[/mm] =
> [mm]-x\integral_{-1}^{0}{\bruch{y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} dy}[/mm] +
> [mm]x\integral_{0}^{1}{\bruch{y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} dy}[/mm]
>
> Mit der Substitution t = [mm]x^{2}+y^{2}[/mm] kriegt man
> =
> [mm]-\bruch{x}{2}\integral_{x^{2}+1}^{x^{2}}{\bruch{1}{t^{2}} dt}[/mm]
> + [mm]\bruch{x}{2}\integral_{x^{2}}^{x^{2}+1}{\bruch{1}{t^{2}} dt}[/mm]
>
> = [mm]-\bruch{x}{2}(-\bruch{1}{x^{2}}-(-\bruch{1}{x^{2}+1}))[/mm] +
> [mm]\bruch{x}{2} (-\bruch{1}{x^{2}+1}[/mm] - [mm](-\bruch{1}{x^{2}}))[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{x(x^{2}+1)}[/mm]
>
> Und wenn man diesen Ausdruck in das aussere Integral
> einsetzt und ausrecnet, das heisst
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{x(x^{2}+1)} dx}[/mm]
> dann kriegt
> man 0, also etwas endliches statt unendliches und deshalb
> muss die beiden Integrale existieren?
> Aber bin ich nicht eben dazu gekommen, unter 4.1, dass f
> nicht integriebar war???
>
> Kann jemand bitte die Lösung finden?
> Danke.
Gruß,
dormant
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Ok, danke für die Antwort
Aber wenn ich das tue, komm ich immernoch nicht duch.
Ich habe also dann
[mm] \integral_{e}^{1}\integral_{f}^{1}{\bruch{xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}dxdy} [/mm] = [mm] \integral_{e}^{1}{y\integral_{f}^{1}{\bruch{x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}dxdy}
[/mm]
Mit Limes und dem unbestimmten Integrale aus der Tabelle wird es dann:
[mm] \integral_{e}^{1}\limes_{f\rightarrow\ 0^{+}}{y\integral_{f}^{1}{\bruch{x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}dxdy} [/mm] = [mm] \integral_{e}^{1}{\limes_{f\rightarrow\ 0^{+}}y\integral_{f}^{1}{\bruch{1}{2(x^{2}+y^{2})}dx} dy}
[/mm]
= [mm] \integral_{e}^{1}{y\limes_{f\rightarrow\ 0^{+}}(\bruch{1}{2(1+y^{2})} - \bruch{1}{2(f^{2}+y^{2})}) dy} [/mm] = [mm] \integral_{e}^{1}{\bruch{1}{2y(1+y^{2})}dy}
[/mm]
Und dann bekommen wir das selbe Problem wir früher.
> > Du könntest dich verrechnet haben.
>
>
Ja, eben 
Aber weiss jemand vielleicht genau wo der Fehler liegt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Sa 06.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
im ersten Teil hast du richtig bewiesen, dass das Integral auf dem gegebenen Intervall nicht lesbegues integrierbar ist.
Deshalb ist der zweite Teil natürlich gar nicht lesbegues integrierbar und du musst nichts mehr tun.
Wenn du dagegen das Riemannintegral bildest, ist der Beitrag im 1.ten und 3.ten Quadranten [mm] +\infty, [/mm] im 2ten und 4 ten [mm] -\infty, [/mm] und wenn du ohne GW Betrachtung rechnest hast du eben [mm] +\infty [/mm] + [mm] -\infty=0.
[/mm]
Ich denke das richtige Vorgehen wäre, einen [mm] \varepsilonkreis [/mm] um 0 wegzulassen. aussymmetriegründen hebt sich dann alles ausserhalb des Kreises Weg, d.h. das Integral über [mm] [-1,+1]\times [-1,+1]/x^2+y^2<\varepsilonquadrat [/mm] ist 0.
dann bildest du den GW für [mm] \varepsilon [/mm] gegen 0 und hast die 0.
das liese ich als ergebnis stehen.
Das ist nicht der Wert des Integrals, sondern ein GW im eindimensionalen heisst er Cauchyscher Hauptwert . z.Bsp ist das Integral über 1/x von -1 bis +1 nicht lesbueges integrierbar, aber sein cauchyscher hauptwert ist 0.
siehe wiki
Gruss leduart
Wie das bei 2 dim ist, weiss ich nicht.
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