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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Do 02.06.2016 | | Autor: | Ardbeg |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \limes_{k\rightarrow\infty} (cos(n!*x))^{2k}
[/mm]
in Abhängigkeit von x. |
Hallo!
Beim Lösen dieser Aufgabe bin ich noch etwas verwirrt. Zuerst einmal meine Lösung und dann meine Frage dazu.
Sei: [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} (cos(n!*x))^{2k}
[/mm]
Dann ist [mm] f_{n}(x) [/mm] = 1 für x = [mm] k*\pi [/mm] ; mit k [mm] \in \IZ. [/mm]
Also [mm] f_{n} [/mm] = 0 für x [mm] \not= k*\pi. [/mm] ( da -1 < cos x < 1 ).
Sei f(x) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) [/mm]
Naja, hier ändert sich eigentlich nichts, zumindest sehe ich keine Veränderung. Also gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \limes_{k\rightarrow\infty} (cos(n!*x))^{2k} [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } x \not= k*\pi \\ 1, & \mbox{für } x = k*\pi \end{cases}
[/mm]
So nun zu meiner Frage. Ich bin mir mit dem Ergebnis nicht sicher. Eine ähnliche Aufgaben zielt darauf ab, dass man für rationale x den Grenzwert 1 erhält, während für irrationale x der Grenzwert 0 wird.
Die Herleitung ist auch verständlich nur in meinen Augen nicht übertragbar. Dort geht man nämlich von
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \limes_{k\rightarrow\infty} (cos(n!*x*\pi))^{2k}
[/mm]
aus.
Daher wollte ich fragen, ob man so eine konkrete Aussage auch ohne dem [mm] \pi [/mm] treffen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Do 02.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie den Grenzwert
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \limes_{k\rightarrow\infty} (cos(n!*x))^{2k}[/mm]
>
> in Abhängigkeit von x.
> Hallo!
>
> Beim Lösen dieser Aufgabe bin ich noch etwas verwirrt.
> Zuerst einmal meine Lösung und dann meine Frage dazu.
>
> Sei: [mm]f_{n}(x)[/mm] = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} (cos(n!*x))^{2k}[/mm]
>
> Dann ist [mm]f_{n}(x)[/mm] = 1 für x = [mm]k*\pi[/mm] ; mit k [mm]\in \IZ.[/mm]
> Also [mm]f_{n}[/mm] = 0 für x [mm]\not= k*\pi.[/mm] ( da -1 < cos x < 1 ).
Das stimmt aber nicht !
Sei n [mm] \in \IN. [/mm] Wir setzen [mm] A_n:=\{ \bruch{k \pi}{n!}: k \in \IZ\}
[/mm]
Dann haben wir:
[mm] f_n(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in A_n \\ 0, & \mbox{für } x \in \IR \setminus A_n \end{cases}
[/mm]
FRED
>
> Sei f(x) = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)[/mm]
> Naja, hier ändert sich eigentlich nichts, zumindest sehe
> ich keine Veränderung. Also gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \limes_{k\rightarrow\infty} (cos(n!*x))^{2k}[/mm]
> = [mm]\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \not= k*\pi \\ 1, & \mbox{für } x = k*\pi \end{cases}[/mm]
>
> So nun zu meiner Frage. Ich bin mir mit dem Ergebnis nicht
> sicher. Eine ähnliche Aufgaben zielt darauf ab, dass man
> für rationale x den Grenzwert 1 erhält, während für
> irrationale x der Grenzwert 0 wird.
> Die Herleitung ist auch verständlich nur in meinen Augen
> nicht übertragbar. Dort geht man nämlich von
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \limes_{k\rightarrow\infty} (cos(n!*x*\pi))^{2k}[/mm]
>
> aus.
> Daher wollte ich fragen, ob man so eine konkrete Aussage
> auch ohne dem [mm]\pi[/mm] treffen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:29 Mo 06.06.2016 | | Autor: | Ardbeg |
Ah, okay, danke.
Habe erst gedacht, dass man ja nur für x diese Unterteilung wählen muss, da n [mm] \in \IN [/mm] als Produkt immer noch ein ganzes Vielfaches von [mm] \pi [/mm] ist.
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