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| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Kurve [mm] f(\lambda) [/mm] = [mm] \vektor{\lambda^2 -1 \\ \lambda^3 -\lambda}. [/mm] |
hallo,
vorab:
ich weiß dass über dem [mm] f(\lambda) [/mm] der vektorpfeil fehlt, aber habe im formeleditor keine darstellung einer kurve gefunden.
außer in der parameter darstellung:
[mm] \vektor{x\\y} [/mm] = [mm] \vektor{\lambda^2-1 \\ \lambda^3-\lambda} [/mm] .
mein problem ist folgendes:
zur untersuchung auf doppelpunkte der kurve müssen ja die funktionswerte oder kurvenwerte für zwei verschiedene [mm] \lambda [/mm] - werte die selben sein. d.h.: [mm] f(\lambda_1)=f(\lambda_2) [/mm] mit [mm] \lambda_1 \not= \lambda_2.
[/mm]
wenn ich die parameter einzeln betrachte komme ich auf folgende gleichungen:
[mm] \lambda_1^2-1=\lambda_2^2-1
[/mm]
und
[mm] \lambda_1^3-\lambda_1=\lambda_2^3-\lambda_2
[/mm]
die 2. gleichung kann ich dann noch umschreiben zu:
[mm] \lambda_1*(\lambda_1^2-1) [/mm] = [mm] \lambda_2*(\lambda_2^2-1)
[/mm]
soweit hab ich es und macht auch sinn.
allerdings kam in der vorlesung dann der rest der aufgabe den ich nicht verstanden habe.
es wurde eine Fallunterscheidung gemacht:
1.) [mm] \lambda_2^2 [/mm] -1 [mm] \not= [/mm] 0
2.) [mm] \lambda_2^2-1=0
[/mm]
aus 1.) folgt: [mm] \lambda_1=\lambda_2
[/mm]
aus 2.) folgt: [mm] \lambda_2=\pm [/mm] 1 daraus folgt [mm] \lambda_1= \mp [/mm] 1
ich verstehe nicht wieso man diese fallunterscheidung macht und wieso aufmal nur noch der klammerausdruck [mm] (\lambda_2^2-1) [/mm] ne rolle spielt und die faktoren der gleichung 2 vollkommen egal geworden sind.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Do 23.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die Kurve [mm]f(\lambda)[/mm] = [mm]\vektor{\lambda^2 -1 \\ \lambda^3 -\lambda}.[/mm]
>
> hallo,
>
> vorab:
> ich weiß dass über dem [mm]f(\lambda)[/mm] der vektorpfeil fehlt,
> aber habe im formeleditor keine darstellung einer kurve
> gefunden.
>
> außer in der parameter darstellung:
> [mm]\vektor{x\\y}[/mm] = [mm]\vektor{\lambda^2-1 \\ \lambda^3-\lambda}[/mm]
> .
>
> mein problem ist folgendes:
>
> zur untersuchung auf doppelpunkte der kurve müssen ja die
> funktionswerte oder kurvenwerte für zwei verschiedene
> [mm]\lambda[/mm] - werte die selben sein. d.h.:
> [mm]f(\lambda_1)=f(\lambda_2)[/mm] mit [mm]\lambda_1 \not= \lambda_2.[/mm]
>
> wenn ich die parameter einzeln betrachte komme ich auf
> folgende gleichungen:
>
> [mm]\lambda_1^2-1=\lambda_2^2-1[/mm]
>
> und
>
> [mm]\lambda_1^3-\lambda_1=\lambda_2^3-\lambda_2[/mm]
>
> die 2. gleichung kann ich dann noch umschreiben zu:
>
> [mm]\lambda_1*(\lambda_1^2-1)[/mm] = [mm]\lambda_2*(\lambda_2^2-1)[/mm]
>
> soweit hab ich es und macht auch sinn.
>
> allerdings kam in der vorlesung dann der rest der aufgabe
> den ich nicht verstanden habe.
>
> es wurde eine Fallunterscheidung gemacht:
>
> 1.) [mm]\lambda_2^2[/mm] -1 [mm]\not=[/mm] 0
>
> 2.) [mm]\lambda_2^2-1=0[/mm]
>
> aus 1.) folgt: [mm]\lambda_1=\lambda_2[/mm]
>
> aus 2.) folgt: [mm]\lambda_2=\pm[/mm] 1 daraus folgt [mm]\lambda_1= \mp[/mm]
> 1
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> ich verstehe nicht wieso man diese fallunterscheidung macht
> und wieso aufmal nur noch der klammerausdruck
> [mm](\lambda_2^2-1)[/mm] ne rolle spielt
Wenn man die Gl.
$ [mm] \lambda_1\cdot{}(\lambda_1^2-1) [/mm] $ = $ [mm] \lambda_2\cdot{}(\lambda_2^2-1) [/mm] $
vor der Nase hat und weiß, dass [mm] \lambda_1^2-1=\lambda_2^2-1, [/mm] dann juckts einem doch in den Fingern durch den Ausdruck [mm] \lambda_2^2-1 [/mm] zu teilen. Das darf man aber nur , wenn [mm] \lambda_2^2-1 \ne [/mm] 0 ist.
> und die faktoren der
> gleichung 2 vollkommen egal geworden sind.
Das sind sie nicht !
FRED
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