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| Aufgabe | Überprüfen Sie folgende Doppelreihe auf Konvergenz bzw. absolute Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls ihren Wert.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{m=1}^{\infty} \bruch{(log(m))^{n}}{n!*m*2^{m}} [/mm] |
Hallo,
zuerst einmal:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
wie kann ich an die Aufgabe rangehen ?
habe mir schon überlegt n! aus der 2. summe in die 1. summe zu ziehen.
aber weiter ?
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!} \summe_{m=1}^{\infty} \bruch{(log(m))^{n}}{m*2^{m}}
[/mm]
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Mache es umgekehrt, die äußere Summe über m, die innere über n. Dann liegt das Ergebnis auf der Hand (Exponentialreihe).
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also
$ [mm] \summe_{m=1}^{\infty}\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(log(m))^{n}}{n!\cdot{}m\cdot{}2^{m}} [/mm] $
= $ [mm] \summe_{m=1}^{\infty}\bruch{1}{m*2^{m}}\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(log(m))^{n}}{n!} [/mm] $
ist die 2. summe [mm] e^{log(m)} [/mm]
= $ [mm] \summe_{m=1}^{\infty}\bruch{1}{m*2^{m}}*m [/mm] $
= $ [mm] \summe_{m=1}^{\infty}\bruch{1}{2^{m}} [/mm] $
= $ [mm] \summe_{m=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{m} [/mm] $
und dann :( ?
also generell [mm] \summe_{m=0}^{\infty}\bruch{x^{n}}{n!} [/mm] = [mm] e^n
[/mm]
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Hi,
> also
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> [mm]\summe_{m=1}^{\infty}\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(log(m))^{n}}{n!\cdot{}m\cdot{}2^{m}}[/mm]
>
> =
> [mm]\summe_{m=1}^{\infty}\bruch{1}{m*2^{m}}\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(log(m))^{n}}{n!}[/mm]
>
> ist die 2. summe [mm]e^{log(m)}[/mm]
Wenn bei euch log der Logarithmus naturalis ist gehts weiter wie von dir beschrieben
>
> = [mm]\summe_{m=1}^{\infty}\bruch{1}{m*2^{m}}*m[/mm]
> = [mm]\summe_{m=1}^{\infty}\bruch{1}{2^{m}}[/mm]
> = [mm]\summe_{m=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{m}[/mm]
>
> und dann :( ?
Das ist eine geometrische Reihe, bei der der erste Summand fehlt.
[mm] \sum_{i=0}^\infty q^i=\frac{1}{1-q}, [/mm] falls |q|<1
>
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> also generell [mm]\summe_{m=0}^{\infty}\bruch{x^{n}}{n!}[/mm] = [mm]e^n[/mm]
>
Gruß
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das heißt von dem Reihenwert (in dem Fall:2) muss ich noch das abziehen, was durch das erste Reihenglied fehlt ?
also 2 - "das was ich erhalte, wenn ich 0 einsetze" => 2-1 = 1
also ist der Wert 1 ?
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Hallo,
> das heißt von dem Reihenwert (in dem Fall:2) muss ich noch
> das abziehen, was durch das erste Reihenglied fehlt ?
>
> also 2 - "das was ich erhalte, wenn ich 0 einsetze" => 2-1
> = 1
> also ist der Wert 1 ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
Gruß
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