Drehimpuls - Kometeneinschlag < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten einen Planeten der Masse M, der sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius R in Winkelgschwindigkeit [mm] \omega [/mm] im Uhrzeigersinn bewegt.
Ein Komet der Masse m bewegt sich mit Geschwindigkeit v tagential zur Kreisbahn aber entgegen der Richtung des Planeten.
Wie groß ist der Gesamtdrehimpuls (Betrag und Richtung), nahcdem der Komet auf dem Planeten eingeschlagen ist? |
Hallo!
Also ich habe mir bisher folgendes überlegt:
Vor dem Stoß ist
[mm]p_{K} = m*v[/mm]
[mm]p_{P} = M*v_{P} [/mm]
wobei [mm] v_{P} = R \times \omega[/mm]
Nach dem Stoß ist dann
[mm]p_{PK} = (M+m)*v_{PK} [/mm]
und es gilt wegen der Impulserhaltung
[mm]p_{K} + p_{P} = p_{PK}[/mm]
[mm]( \gdw \frac{m*v + M*v_{P}}{M+m} = v_{PK} )[/mm]
Der Drehimpuls ist jetzt
[mm] L_{PK} = R \times p_{PK} [/mm]
[mm] \gdw L_{PK} = R \times ( p_{K} + p_{P} )[/mm]
[mm] \gdw L_{PK} = R \times p_{K} + R \times p_{P}[/mm]
[mm] \gdw L_{PK} = L_{K} + L_{P}[/mm]
Sieht nach sowas wie Drehimpulserhaltung aus. Und soweit war das ganz einfach, deshalb zweifle ich etwas an der Richtigkeit :)
Eigentlich hat doch der Komet keinen Drehimpuls [mm] L_{K}, [/mm] oder? Er bewegt sich doch auf einer geraden Linie?
Ansonsten: Die Richtung des DI müsste ja gleich sein, erst Recht weil M >> m. Beim Betrag bin ich mir unsicher, wegen des Drehimpulses des Kometen.
Würde mich also freuen, wenn mir jemand helfe könnte.
Viele Grüße,
Steffen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Auch der Komet hat einen Drehimpuls. Dieser hängt aber nicht nur von dessen Masse und Geschwindigkeit, sondern auch vom Bezugspunkt ab: Je nach Wahl des Bezugspunktes ist dieser anders, trotzdem gilt für jeden beliebigen Bezugspunkt der Drehimpulserhaltungssatz, wobei der Wert des jeweiligen Gesamtdrehimpulses wieder vom Bezugspunkt abhängt. (Das selbe gilt auch von der kin. Energie: Kommen zwei gleich-massige Körper von links und rechts auf dich mit v zu, ist für dich die kin. Energie 2*(1/2 m [mm] v^2) [/mm] = m [mm] v^2. [/mm] Sitzt du aber auf einem der Körper, ist dessen kin. Energie 0, der andere kommt jetzt mit 2v auf dich zu, die kin. Energie ist dann 1*(1/2 m [mm] (2v)^2)= [/mm] 1/2 m 4 [mm] v^2=2mv^2 [/mm] und damit doppelt so hoch.)
Nun zur Aufgabe:
Wir wählen den Mittelpunkt der Planetenbahn als Bezugspunkt.
Impulse vor dem Stoß:
Planet: [mm] Mv_P
[/mm]
Komet: mv
Gesamtimpuls: [mm] Mv_P [/mm] - mv, da Komet gegenläufig !
Das ist auch der Gesamtimpuls nach dem Stoß, den der Gesamtkörper der Masse (M+m) nun hat. Somit Geschwindigkeit nach dem Stoß:
[mm] v_{nach}=\bruch{Mv_P - mv}{M+m}
[/mm]
Drehimpulse vor dem Stoß:
Planet: [mm] J\omega [/mm] = [mm] MR^2v_P/R [/mm] = [mm] MRv_P
[/mm]
Komet: -mRv (da Komet gegenläufig),
genau vor dem Aufprall stehen R und v senkrecht
aufeinander. Wenn der Komet noch weiter weg ist, ist
[mm] L_K=m\vec{r}x\vec{v}, [/mm] wobei [mm] r=R/sin(\alpha) [/mm] ist
(Strecke vom Mittelpunkt zum Kometen, [mm] \alpha [/mm] =
Winkel zwischen diesem r und der Geschw.) und
damit der Betrag wieder mRv
Gesamtdrehimpuls vorm Aufprall: L = [mm] MRv_P-mRv
[/mm]
Aus dem Impuls nach dem Aufprall und dem Radius R, der immer noch senkrecht zur Geschwindigkeit nach dem Aufprall steht, ergibt sich als Gesamtdrehimpuls nun ebenfalls
L = [mm] (M+m)*v_{nach}*R [/mm] = [mm] (M+m)*\bruch{Mv_P - mv}{M+m}*R=(Mv_P [/mm] - mv)*R = [mm] MRv_P-mRv.
[/mm]
Der Vektor des Drehimpulses vom Planeten zeigt von uns weg, der des Kometen auf uns zu, der des Gesamtdrehimpulses in die Richtung desjenigen, der den betragsmäßig höheren Drehimpuls hat.
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