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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Do 18.03.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Drehmatrix [mm] D=\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }.
[/mm]
Der Drehwinkel dieser Drehung ist nicht 90°.Geben Sie den richtigen Drehwinkel an,indem Sie diesen berechnen oder seine Größe begründen. |
Hallo zusammen^^
Ich hab diese Aufgabe gemacht,weiß aber nicht ob meine Lösung stimmt.Kann das bitte jemand nachgucken?
Also ich hab mir zuerst einen beliebigen Vektor [mm] genommmen:\vec{a}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] und hab seinen Bildvektor berechnet [mm] \vec{a'}=\vektor{3 \\ 1 \\ 2}.
[/mm]
Dann hab mittels Skalarprodukt den Winkel zwischen diesen beiden Vektoren berechnet und habe 38.21° raus.
Das wäre der rechnerische Weg,stimmt das so?
Aber wie kann man denn die Größe des Winkels begründen ohne sie zu berechnen?
Vielen Dank
lg
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> Gegeben ist die Drehmatrix [mm]D=\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }.[/mm]
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> Der Drehwinkel dieser Drehung ist nicht 90°.Geben Sie den
> richtigen Drehwinkel an,indem Sie diesen berechnen oder
> seine Größe begründen.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich hab diese Aufgabe gemacht,weiß aber nicht ob meine
> Lösung stimmt.Kann das bitte jemand nachgucken?
>
> Also ich hab mir zuerst einen beliebigen Vektor
> [mm]genommmen:\vec{a}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] und hab seinen
> Bildvektor berechnet [mm]\vec{a'}=\vektor{3 \\ 1 \\ 2}.[/mm]
> Dann
> hab mittels Skalarprodukt den Winkel zwischen diesen beiden
> Vektoren berechnet und habe 38.21° raus.
> Das wäre der rechnerische Weg,stimmt das so?
Hallo,
prüfe es auch mal mit [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] ...
Und? Wirst Du stutzig?
Zur Rechnung:
man könnte erstmal die Drehachse berechnen.
Nimm dann einen Vektor, der senkrecht zur Drehachse ist, berechne sein Bild und untersuche den Winkel zwischen diesen beiden Vektoren.
> Aber wie kann man denn die Größe des Winkels begründen
> ohne sie zu berechnen?
Man könnte sich hier erstmal anschaulich überlegen, wie die Achsen aufeinander abgebildet werden, damit hat man die Drehachse, und Geübte sehen bestimmt leicht den Drehwinkel. Ansonsten rechnet man halt...
Was man leicht sehen kann, ist, daß es keine Drehung um 90° ist:
Da die x-Achse auf die y-Achse abgebildet wird, müßte es sich ansonsten um eine Drehung um die z-Achse handeln.
Dies ist aber nicht der Fall, sonst würde der 3. Einheitsvektor auf sich selbst abgebildet.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank
>
> lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Do 18.03.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
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> prüfe es auch mal mit [mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm] ...
>
> Und? Wirst Du stutzig?
allerdings...
> Zur Rechnung:
>
> man könnte erstmal die Drehachse berechnen.
Ok,aber was genau ist die Drehachse und wie berechnet man diese?
> Nimm dann einen Vektor, der senkrecht zur Drehachse ist,
> berechne sein Bild und untersuche den Winkel zwischen
> diesen beiden Vektoren.
>
>
> > Aber wie kann man denn die Größe des Winkels begründen
> > ohne sie zu berechnen?
>
> Man könnte sich hier erstmal anschaulich überlegen, wie
> die Achsen aufeinander abgebildet werden, damit hat man die
> Drehachse, und Geübte sehen bestimmt leicht den
> Drehwinkel. Ansonsten rechnet man halt...
>
> Was man leicht sehen kann, ist, daß es keine Drehung um
> 90° ist:
>
> Da die x-Achse auf die y-Achse abgebildet wird, müßte es
> sich ansonsten um eine Drehung um die z-Achse handeln.
> Dies ist aber nicht der Fall, sonst würde der 3.
> Einheitsvektor auf sich selbst abgebildet.
>
> Gruß v. Angela
>
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> >
> > Vielen Dank
> >
> > lg
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> > Hallo,
> >
> > prüfe es auch mal mit [mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm] ...
> >
> > Und? Wirst Du stutzig?
>
> allerdings...
Gut!
>
> > Zur Rechnung:
> >
> > man könnte erstmal die Drehachse berechnen.
>
> Ok,aber was genau ist die Drehachse und wie berechnet man
> diese?
Hallo,
die Drehachse verändert sich bei der Drehung nicht, wird also auf sich selbst abgebildet.
Damit sollte die Idee zur Berechnung stehen.
Anders ausgedrückt: die Drehachse zeigt in Richtung des Eigenvektors zum Eigenwert 1.
Gruß v. Angela
>
> > Nimm dann einen Vektor, der senkrecht zur Drehachse ist,
> > berechne sein Bild und untersuche den Winkel zwischen
> > diesen beiden Vektoren.
> >
> >
> > > Aber wie kann man denn die Größe des Winkels begründen
> > > ohne sie zu berechnen?
> >
> > Man könnte sich hier erstmal anschaulich überlegen, wie
> > die Achsen aufeinander abgebildet werden, damit hat man die
> > Drehachse, und Geübte sehen bestimmt leicht den
> > Drehwinkel. Ansonsten rechnet man halt...
> >
> > Was man leicht sehen kann, ist, daß es keine Drehung um
> > 90° ist:
> >
> > Da die x-Achse auf die y-Achse abgebildet wird, müßte es
> > sich ansonsten um eine Drehung um die z-Achse handeln.
> > Dies ist aber nicht der Fall, sonst würde der 3.
> > Einheitsvektor auf sich selbst abgebildet.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
> > >
> > > Vielen Dank
> > >
> > > lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Do 18.03.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
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> > > Hallo,
> > >
> > > prüfe es auch mal mit [mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm] ...
> > >
> > > Und? Wirst Du stutzig?
> >
> > allerdings...
>
> Gut!
>
> >
> > > Zur Rechnung:
> > >
> > > man könnte erstmal die Drehachse berechnen.
> >
> > Ok,aber was genau ist die Drehachse und wie berechnet man
> > diese?
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> Hallo,
>
> die Drehachse verändert sich bei der Drehung nicht, wird
> also auf sich selbst abgebildet.
> Damit sollte die Idee zur Berechnung stehen.
Ok,dann müsste das die Fixpunktmenge sein.Für die Fixpunktmenge gilt doch: 1.z=x, 2. x=y, 3.y=z.
Die erste Gleichung kann ich mir umstellen zu E:x-z=0. Dann hab ich aber eine Ebene,wie krieg ich denn davon die Drehachse raus.
Oder es gilt ja auch x=y=z.Dass heißt alle Punkte der Gestalt P(x/x/x) sind die Fixpunktmenge.Das ist aber keine Drehachse?
lg
> Anders ausgedrückt: die Drehachse zeigt in Richtung des
> Eigenvektors zum Eigenwert 1.
>
> Gruß v. Angela
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> >
> > > Nimm dann einen Vektor, der senkrecht zur Drehachse ist,
> > > berechne sein Bild und untersuche den Winkel zwischen
> > > diesen beiden Vektoren.
> > >
> > >
> > > > Aber wie kann man denn die Größe des Winkels begründen
> > > > ohne sie zu berechnen?
> > >
> > > Man könnte sich hier erstmal anschaulich überlegen, wie
> > > die Achsen aufeinander abgebildet werden, damit hat man die
> > > Drehachse, und Geübte sehen bestimmt leicht den
> > > Drehwinkel. Ansonsten rechnet man halt...
> > >
> > > Was man leicht sehen kann, ist, daß es keine Drehung um
> > > 90° ist:
> > >
> > > Da die x-Achse auf die y-Achse abgebildet wird, müßte es
> > > sich ansonsten um eine Drehung um die z-Achse handeln.
> > > Dies ist aber nicht der Fall, sonst würde der 3.
> > > Einheitsvektor auf sich selbst abgebildet.
> > >
> > > Gruß v. Angela
> > >
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> > > >
> > > > Vielen Dank
> > > >
> > > > lg
> > >
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Do 18.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
doch, die Gerade g: s* [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] $ ist die Drehachse. Vektoren senkrecht dazu werden um den gesuchten drehwinkel gedreht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Do 18.03.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
> doch, die Gerade g: s* [mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm] $ ist die
> Drehachse. Vektoren senkrecht dazu werden um den gesuchten
> drehwinkel gedreht.
> Gruss leduart
Achso ok,ein senkrechter Vektor ist [mm] \vec{a}=\vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm] und sein Bildvektor ist [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0}.
[/mm]
Der Winkel zwischen diesen beiden Vektoren ist 120°.
Ist das richtig so?
Ich hab das zwar jetzt berechnet,aber wie kann man das begründen,dass Vektoren,sie senkrecht zur Drehachse um den Drehwinkel gedreht werden?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Do 18.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Frage ist etwas eigenartig: Was bezeichnest du denn als Drehwinkel, wenn du etwa einen Gegenstand drehst? nimm dein Buch, das neben dir liegt und dreh es um einen Winkel, wie würdest du den Winkel messen? was war deine Drehachse. Wieviel hat sich ein Vektor der nicht in der Ebene senkrecht zur Drehachse liegt gedreht? wieviel ein Vektor parallel zur Drehachse?
Dein Winkel ist richtig.
Gruss leduart
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