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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:59 Mo 08.02.2010 | | Autor: | tomtom10 |
| Aufgabe 1 | Bei der Abbildung [mm] \delta: [/mm] R3 -> R3 handele es sich um eine Drehung um 135° deren Drehachse in einem kartesischen Koordinatensystems festgelegt wird durch die Richtung des Vektors mit den Komponenten (1, 1, 1).
a) Geben Sie einen Einheitsvektor d0 an, der auf der Drehachse liegt. Konstruieren Sie anschließend eine Orthonormalbasis B, deren 1. Vektor durch d0 gegeben wird.
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| Aufgabe 2 | | b) Wie lautet die Matrix D, die der [mm] Abbildung\delta [/mm] hinsichtlich der Orthonormalbasis B zugeordnet ist? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich steh grade echt auf dem Schlauch. Bei a) müsste d0 meiner Meinung nach [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}\vektor{1\\ 1\\1} [/mm] sein. Darauf gibt es aber doch jetzt unendlich viele Vektoren die zusammen mit d0 eine Orthonormalbasis bilden (?)
Mein Ansatz wäre jetzt, einen Vektor durch "ausprobieren" festzulegen, und einen weiteren zu finden der dann auf diesen beiden orthogonal steht. Anschliessend würde ich diese Vektoren zur Länge 1 kürzen
b)
- Erster Schritt: Drehmatrix D' erstellen (?)
[mm] \pmat{ cos \alpha+ v_1^2 (1 - cos \alpha) & v_1v_2(1-cos \alpha)-v_3sin \alpha & v_1v_3(1-cos \alpha) + v_2sin\alpha\\ v_2_v_1(1 - cos \alpha ) + v_3 sin \alpha & cos \alpha + v_2^2(1 - cos \alpha) & v_2v_3 (1 - cos \alpha) - v_1sin \alpha\\v_3v_1 ( 1- cos \alpha) - v_2 sin \alpha & v_3v_2 ( 1 - cos \alpha) + v_1 sin \alpha & cos \alpha + v_3^2 (1 - cos \alpha)}
[/mm]
und dann D=B^-1 *D*B ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:13 Mo 08.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bei der Abbildung [mm]\delta:[/mm] R3 -> R3 handele es sich um eine
> Drehung um 135° deren Drehachse in einem kartesischen
> Koordinatensystems festgelegt wird durch die Richtung des
> Vektors mit den Komponenten (1, 1, 1).
>
>
> a) Geben Sie einen Einheitsvektor d0 an, der auf der
> Drehachse liegt. Konstruieren Sie anschließend eine
> Orthonormalbasis B, deren 1. Vektor durch d0 gegeben wird.
>
>
> b) Wie lautet die Matrix D, die der [mm]Abbildung\delta[/mm]
> hinsichtlich der Orthonormalbasis B zugeordnet ist?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Also ich steh grade echt auf dem Schlauch. Bei a) müsste
> d0 meiner Meinung nach [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}\vektor{1\\ 1\\1}[/mm]
> sein.
Ja. Oder das negative davon. Mehr Moeglichkeiten gibt es nicht.
> Darauf gibt es aber doch jetzt unendlich viele
> Vektoren die zusammen mit d0 eine Orthonormalbasis bilden
> (?)
Ja schon. Aber du sollst ja nur eine ON-Basis finden, und nicht alle.
> Mein Ansatz wäre jetzt, einen Vektor durch "ausprobieren"
> festzulegen, und einen weiteren zu finden der dann auf
> diesen beiden orthogonal steht. Anschliessend würde ich
> diese Vektoren zur Länge 1 kürzen
Warum verwendest du nicht einfach Gram-Schmidt? Einen Startvektor hast du ja schon, du brauchst jetzt einfach zwei Vektoren die linear unabhaengig dazu sind. Etwa [mm] $\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 }$ [/mm] und [mm] $\vektor{ 0 \\ 1 \\ 0 }$.
[/mm]
Es hindert dich auch niemand daran, alternativ die Vektoren [mm] $\vektor{ 1 \\ \pi^2/4 \\ -\sqrt{15} + \exp(\log(26) - 1) }$ [/mm] und [mm] $\vektor{ \int_0^\infty e^{-x^2} dx \\ \cos(2)^5 - \sqrt{\sin(23)} \\ -123456789 }$ [/mm] zu nehmen, aber ich persoenlich finde das Rechnen mit den anderen beiden angenehmer 
> b)
> - Erster Schritt: Drehmatrix D' erstellen (?)
>
> [mm]\pmat{ cos \alpha+ v_1^2 (1 - cos \alpha) & v_1v_2(1-cos \alpha)-v_3sin \alpha & v_1v_3(1-cos \alpha) + v_2sin\alpha\\ v_2_v_1(1 - cos \alpha ) + v_3 sin \alpha & cos \alpha + v_2^2(1 - cos \alpha) & v_2v_3 (1 - cos \alpha) - v_1sin \alpha\\v_3v_1 ( 1- cos \alpha) - v_2 sin \alpha & v_3v_2 ( 1 - cos \alpha) + v_1 sin \alpha & cos \alpha + v_3^2 (1 - cos \alpha)}[/mm]
>
>
> und dann D=B^-1 *D*B ??
Nunja, das kannst du machen, aber du kannst auch versuchen umzuziehen, indem zu alle Moebel aufeinanderstapelst und die auf einmal herumtraegst. Es gibt schon einen guten Grund, warum man das nicht so tut.
Ueberlege dir lieber, was eine solche Drehung mit den Vektoren aus deiner ON-Basis macht, und druecke das Ergebnis durch deine ON-Basis aus. Was passiert etwa mit $d0$? Der wird auf etwas sehr einfaches abgebildet. Damit hast du schonmal eine Spalte deiner Matrix.
Und was passiert nun mit dem zweiten und dritten Vektor? Die liegen doch in der Drehebene und bilden dort eine ON-Basis.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Mo 08.02.2010 | | Autor: | tomtom10 |
| Aufgabe | | Was passiert etwa mit $ d0 $? Der wird auf etwas sehr einfaches abgebildet. Damit hast du schonmal eine Spalte deiner Matrix. |
d0 ist Eigenvektor mit dem Eigenwert 1, wird also auf sich selbst abgebildet. Wie hilft mir das zum bilden meiner Matrix genau weiter ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Mo 08.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du ne Abbildungsmatrix hast, kannst du die Bilder Der Basisvektoren dann direkt angeben?
Gruss leduart
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