Drehmatrix aus Gerade + Winkel < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Mo 06.10.2008 | | Autor: | scai |
| Aufgabe | Es sei [mm] \Gamma [/mm] = [mm] \left[\vec a\right] [/mm] eine Ursprungsgerade des [mm] {\IR}^3 [/mm] mit [mm] {\vec a} [/mm] = [mm] (1,1,1)^T [/mm] und es sei g: [mm] {\IR}^3 \rightarrow {\IR}^3 [/mm] die Drehung um [mm] \Gamma [/mm] mit dem (mathematisch positivem) Drehwinkel [mm] \varphi [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}*\pi
[/mm]
Für die lineare Abbildung g bestimme man die Matrix D mit [mm] g({\vec x}) [/mm] = [mm] D{\vec x} [/mm] für alle [mm] {\vec x}\in {\IR}^3 [/mm] |
Hallo.
Im Fall [mm] \varphi [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}*\pi [/mm] ist mir die Lösung bekannt, da es sich hier um eine Drehung um 120° handelt, d.h. die Achsen werden lediglich vertauscht.
Wie aber berechnet man die Drehmatrix sonst?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße,
scai
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> Es sei [mm]\Gamma[/mm] = [mm]\left[\vec a\right][/mm] eine Ursprungsgerade
> des [mm]{\IR}^3[/mm] mit [mm]{\vec a}[/mm] = [mm](1,1,1)^T[/mm] und es sei g: [mm]{\IR}^3 \rightarrow {\IR}^3[/mm]
> die Drehung um [mm]\Gamma[/mm] mit dem (mathematisch positivem)
> Drehwinkel [mm]\varphi[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}*\pi[/mm]
>
> Für die lineare Abbildung g bestimme man die Matrix D mit
> [mm]g({\vec x})[/mm] = [mm]D{\vec x}[/mm] für alle [mm]{\vec x}\in {\IR}^3[/mm]
>
> Hallo.
>
> Im Fall [mm]\varphi[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}*\pi[/mm] ist mir die Lösung
> bekannt, da es sich hier um eine Drehung um 120° handelt,
> d.h. die Achsen werden lediglich vertauscht.
>
> Wie aber berechnet man die Drehmatrix sonst?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Grüße,
> scai
Hallo Alex,
dies sollte auf folgende Art möglich sein:
[mm] D=R*D_z*R^{-1}
[/mm]
wobei R eine Drehung darstellt, welche den Vektor [mm] \vec{e_z}=\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
auf [mm] t*\vec{a} [/mm] abbildet und [mm] D_z [/mm] eine Drehung um die z-Achse
mit dem Drehwinkel [mm] \varphi [/mm] .
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Mo 06.10.2008 | | Autor: | scai |
> [mm]D=R*D_z*R^{-1}[/mm]
>
> wobei R eine Drehung darstellt, welche den Vektor
> [mm]\vec{e_z}=\vektor{0\\0\\1}[/mm]
> auf [mm]t*\vec{a}[/mm] abbildet und [mm]D_z[/mm] eine Drehung um die
> z-Achse
> mit dem Drehwinkel [mm]\varphi[/mm] .
Danke, das hilft mir schon mal weiter.
[mm] D_z [/mm] ist demnach:
[mm] \begin{pmatrix}
cos(\varphi) & -sin(\varphi) & 0 \\
sin(\varphi) & cos(\varphi) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Aber wie berechnet man R? Wenn R den Vektor [mm] \vec{e_z} [/mm] auf [mm] \vec{a} [/mm] verschieben soll, lautet die Gleichung dann:
[mm] R*\vec{e_z} [/mm] = [mm] \vec{a}?
[/mm]
D.h. nach R auflösen und in die obige Gleichung einsetzen?
Grüße,
Alex
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> > [mm]D=R*D_z*R^{-1}[/mm]
> >
> > wobei R eine Drehung darstellt, welche den Vektor
> > [mm]\vec{e_z}=\vektor{0\\0\\1}[/mm]
> > auf [mm]t*\vec{a}[/mm] abbildet und [mm]D_z[/mm] eine Drehung um die
> > z-Achse
> > mit dem Drehwinkel [mm]\varphi[/mm] .
> Danke, das hilft mir schon mal weiter.
>
> [mm]D_z[/mm] ist demnach:
> [mm]\begin{pmatrix}
cos(\varphi) & -sin(\varphi) & 0 \\
sin(\varphi) & cos(\varphi) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber wie berechnet man R? Wenn R den Vektor [mm]\vec{e_z}[/mm] auf
> [mm]\vec{a}[/mm] verschieben soll, lautet die Gleichung dann:
> [mm]R*\vec{e_z}[/mm] = [mm]\vec{a}?[/mm]
> D.h. nach R auflösen und in die obige Gleichung
> einsetzen?
Man kann R aus einfachen Drehungen zusammensetzen:
Ich stelle mir den "Zeiger" [mm] \vec{e_z}=\vektor{0\\0\\1} [/mm] vor.
Nun drehe ich ihn zuerst wie einen Uhrzeiger auf
einem in der y-z-Ebene liegenden Zifferblatt von
12 Uhr auf 13 Uhr 30 : Drehwinkel=45°(oder -45°?).
Dann drehe ich das gesamte Zifferblatt samt Zeiger
um die z-Achse, bis der Zeiger in die Richtung des
Vektors [mm] \vec{a} [/mm] zeigt...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Mo 06.10.2008 | | Autor: | scai |
> Man kann R aus einfachen Drehungen zusammensetzen:
> Ich stelle mir den "Zeiger" [mm]\vec{e_z}=\vektor{0\\0\\1}[/mm]
> vor.
> Nun drehe ich ihn zuerst wie einen Uhrzeiger auf
> einem in der y-z-Ebene liegenden Zifferblatt von
> 12 Uhr auf 13 Uhr 30 : Drehwinkel=45°(oder -45°?).
> Dann drehe ich das gesamte Zifferblatt samt Zeiger
> um die z-Achse, bis der Zeiger in die Richtung des
> Vektors [mm]\vec{a}[/mm] zeigt...
>
So ganz verstehe ich deine Antwort leider nicht. Ich habe als Werte lediglich die Gerade mit Orts- und Richtungsvektor, sowie den Drehwinkel.
Vektor [mm] \vec{e_z} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] zeigt entlang der Z-Achse. Um ihn auf [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] zu drehen, müsste ich ihn erst in Richtung [mm] \vektor{0\\1\\1} [/mm] drehen, und anschliessend auf [mm] \vektor{1\\1\\1}? [/mm] Also R aus diesen beiden Drehungen zusammen setzen?
Grüße,
Alex
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> > Man kann R aus einfachen Drehungen zusammensetzen:
> > Ich stelle mir den "Zeiger" [mm]\vec{e_z}=\vektor{0\\0\\1}[/mm]
> > vor.
> > Nun drehe ich ihn zuerst wie einen Uhrzeiger auf
> > einem in der y-z-Ebene liegenden Zifferblatt von
> > 12 Uhr auf 13 Uhr 30 : Drehwinkel=45°(oder -45°?).
> > Dann drehe ich das gesamte Zifferblatt samt Zeiger
> > um die z-Achse, bis der Zeiger in die Richtung des
> > Vektors [mm]\vec{a}[/mm] zeigt...
> >
> So ganz verstehe ich deine Antwort leider nicht. Ich habe
> als Werte lediglich die Gerade mit Orts- und
> Richtungsvektor, sowie den Drehwinkel.
>
> Vektor [mm]\vec{e_z}[/mm] = [mm]\vektor{0\\0\\1}[/mm] zeigt entlang der
> Z-Achse. Um ihn auf [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm] zu drehen,
> müsste ich ihn erst in Richtung [mm]\vektor{0\\1\\1}[/mm] drehen,
> und anschliessend auf [mm]\vektor{1\\1\\1}?[/mm] Also R aus diesen
> beiden Drehungen zusammen setzen?
Ja; mach dir das an einem räumlichen Modell anschaulich
klar: Koordinatensystem aus einer zerteilten Schachtel,
Zifferblatt aus den weggeschnittenen Resten ...
Bis jetzt bin ich davon ausgegangen, dass du als
Drehachse die Gerade durch O(0/0/0) mit Richtungs-
vektor [mm] \vec{a}=\vektor{1\\1\\1} [/mm] hast und nur den Drehwinkel variieren
wolltest. Mit allgemein liegender Drehachse wird's natürlich
komplizierter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Mo 06.10.2008 | | Autor: | scai |
Ok, vielen Dank :)
Grüße,
Alex
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