Drehmatrix und Eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo zusammen
Brauche eure Hilfe bei folgender Aufgabe
Welche Eigenwerte hat die Matrix A, die die Drehungen von [mm] \IR^3 [/mm] um den Winkel [mm] \alpha [/mm] um eine Achse v beschreibt?
Also in der Vorlesung haben wir aufgeschrieben, dass z.B. für [mm] v=e_3 [/mm] die Drehmatrix so aussieht:
[mm] \pmat{ cos \alpha & - sin \alpha & 0 \\ sin \alpha & cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Wie soll ich dies nun für ein allgemeines v aufschreiben?
Habe für [mm] v=e_3 [/mm] das char. Polynom berechnet...aber bin dann irgendwie auch nicht wirklich weiter gekommen...
Kann mir jemand einen Tipp geben?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Mi 19.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen
>
> Brauche eure Hilfe bei folgender Aufgabe
> Welche Eigenwerte hat die Matrix A, die die Drehungen von
> [mm]\IR^3[/mm] um den Winkel [mm]\alpha[/mm] um eine Achse v beschreibt?
>
> Also in der Vorlesung haben wir aufgeschrieben, dass z.B.
> für [mm]v=e_3[/mm] die Drehmatrix so aussieht:
> [mm]\pmat{ cos \alpha & - sin \alpha & 0 \\ sin \alpha & cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
So sieht die nicht aus, sondern so:
[mm]\pmat{ cos \alpha & - sin \alpha & 0 \\ sin \alpha & cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Wie soll ich dies nun für ein allgemeines v aufschreiben?
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix
>
> Habe für [mm]v=e_3[/mm] das char. Polynom berechnet...aber bin dann
> irgendwie auch nicht wirklich weiter gekommen...
Zeig mal , was Du gemacht hast.
FRED
>
> Kann mir jemand einen Tipp geben?
>
|
|
|
| |
|
> > Hallo zusammen
> >
> > Brauche eure Hilfe bei folgender Aufgabe
> > Welche Eigenwerte hat die Matrix A, die die Drehungen
> von
> > [mm]\IR^3[/mm] um den Winkel [mm]\alpha[/mm] um eine Achse v beschreibt?
> >
> > Also in der Vorlesung haben wir aufgeschrieben, dass z.B.
> > für [mm]v=e_3[/mm] die Drehmatrix so aussieht:
> > [mm]\pmat{ cos \alpha & sin \alpha & 0 \\ sin \alpha & cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
>
>
> So sieht die nicht aus, sondern so:
>
> [mm]\pmat{ cos \alpha & - sin \alpha & 0 \\ sin \alpha & cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
Ja hast natürlich recht, habe mich verschrieben.
>
>
> >
> > Wie soll ich dies nun für ein allgemeines v aufschreiben?
>
> Schau mal hier:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix
>
>
Also dann sieht die allgemeine Matrix so aus:
[mm] \pmat{ v_1^2 (1-cos \alpha) + cos \alpha & v_1v_2(1-cos \alpha)- v_3 sin \alpha & v_1v_3(1-cos \alpha) + v_2 sin \alpha \\ v_2v_1(1-cos \alpha) + v_3 sin \alpha & v_2^2(1-cos \alpha) + cos \alpha & v_2v_3(1-cos \alpha)-v_1 sin \alpha \\ v_3v_1(1-cos \alpha)-v_2 sin \alpha & v_3v_2(1-cos \alpha)+v_1 sin \alpha & v_3^2(1-cos \alpha)+cos \alpha }
[/mm]
> >
> > Habe für [mm]v=e_3[/mm] das char. Polynom berechnet...aber bin dann
> > irgendwie auch nicht wirklich weiter gekommen...
>
> Zeig mal , was Du gemacht hast.
>
Also ich habe einfach für [mm] v=e_3 [/mm] folgendes berechnet:
[mm] p_A(\lambda)=det(A-\Lambda*E)= -\lambda^3+(1+2*cos \alpha)*\lambda^2-(2cos \alpha +cos^2 \alpha [/mm] + sin [mm] \alpha)*\lambda [/mm] + 1 = 0
Aber dies für die obige Matrix zu machen, ist ja ganz schön aufwändig und ich denke es sollte einen kürzeren Weg geben??
> FRED
> >
> > Kann mir jemand einen Tipp geben?
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Mi 19.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
1- das charakteristische Polynom so auszumultiplizieren ist sehr ungeschickt, die Nullstellen sind so kaum zu finden. also schreib es als [mm] (1-\lambda*(....)
[/mm]
2. Wenn man um eine Achse dreht, kann man eigentlich sagen, welche Vektoren fest bleiben. Streck dienen Zeigefinger in irgendeiner Richtung, di anderen Finger beliebige Richtungen. jetzt dreh deine Hand um den Zeigefinger, welcher Vektor bleibt fest? Welchen Eigenwert muss er haben?
jetzt bestätige deine Erkenntnis indem du A*v bildest
Gruss leduart.
|
|
|
|
