Drehmatrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:10 Mi 22.06.2011 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | Gegeben ist Unterrau [mm] \IR^3 [/mm] mit Standardskalarprodukt.
1. Zeige, dass die Elemente der speziellen orthogonalen Gruppe SO(3) genau die Matrizen sind, die Drehungen um eine Achse in [mm] \IR^3 [/mm] beschreiben.
2. Zeige, dass die Drehmatrizen bezüglich einer Orthnomalbasis [mm] B={v_1, v_2, v_3} [/mm] mit [mm] Lin{v_1} [/mm] als Drehachse die Gestalt $ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}, [/mm] $ mit dem Drehwinkel [mm] \alpha [/mm] haben. Welche Werte kann [mm] \alpha [/mm] annehmen. |
Hallo,
zu 1:
jede Matrix der SO(3) hat einen Eigenwert 1. Dies gilt auch für Drehmatrizen, da die Vektoren in der Drehachse Eigenwert 1 haben. Zudem muss die Determinante 1 sein und die Matrix muss orthogonal sein. Ähnliche Matrizen haben dieselbe Determinante und eine Drehmatrix ist ähnlich zu $ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}, [/mm] $ nach Teil 2, also ist det 1. Allerdings weiß ich nicht, wie ich zeigen könnte, dass Drehmatrizen orthogonal sind und dass die sO(3) wirklich nur aus Drehmatrizen besteht.
Bei Teil 2 ist [mm] v_1 [/mm] ein Eigenvektor, die lineare Hülle von [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] sind das orthogonale Komplement von Lin{v1}. Zudem steht in der gegebenen Matrix die SO(2). Leider weiß ich nicht, ob mir das weiterhelfen könnte. Wie kann ich nun weitermachen?
Ich denke, der Drehwinkel kann alle Werte zwischen 0 und [mm] 2\pi [/mm] annehmen.
Über Tipps wäre ich sehr dankbar.
Viele Grüße
Katrin
|
|
| |
|
> Ich denke, der Drehwinkel kann alle Werte zwischen 0 und
> [mm]2\pi[/mm] annehmen.
Hallo Katrin,
[mm] \alpha [/mm] darf eigentlich jeden reellen Wert annehmen.
Allerdings sind zwei Drehungen um dieselbe Rotations-
achse im Ergebnis (nicht in der Ausführung - etwa
für eine Eiskunstläuferin oder für einen Halfpipe-
Spezialisten) identisch, wenn sich ihre Winkel [mm] \alpha_1 [/mm]
und [mm] \alpha_2 [/mm] um ein ganzzahliges Vielfaches von [mm] 2\,\pi
[/mm]
unterscheiden.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 Mi 22.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Katrin!
> Gegeben ist Unterrau [mm]\IR^3[/mm] mit Standardskalarprodukt.
> 1. Zeige, dass die Elemente der speziellen orthogonalen
> Gruppe SO(3) genau die Matrizen sind, die Drehungen um eine
> Achse in [mm]\IR^3[/mm] beschreiben.
> 2. Zeige, dass die Drehmatrizen bezüglich einer
> Orthnomalbasis [mm]B={v_1, v_2, v_3}[/mm] mit [mm]Lin{v_1}[/mm] als Drehachse
> die Gestalt [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix},[/mm]
> mit dem Drehwinkel [mm]\alpha[/mm] haben. Welche Werte kann [mm]\alpha[/mm]
> annehmen.
>
> Hallo,
> zu 1:
> jede Matrix der SO(3) hat einen Eigenwert 1. Dies gilt auch
> für Drehmatrizen, da die Vektoren in der Drehachse
> Eigenwert 1 haben. Zudem muss die Determinante 1 sein und
> die Matrix muss orthogonal sein. Ähnliche Matrizen haben
> dieselbe Determinante und eine Drehmatrix ist ähnlich zu
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix},[/mm]
> nach Teil 2, also ist det 1. Allerdings weiß ich nicht,
> wie ich zeigen könnte, dass Drehmatrizen orthogonal sind
> und dass die sO(3) wirklich nur aus Drehmatrizen besteht.
In der Aufgabe steckt der Hinweis: [mm]\IR^3[/mm] mit Standardskalarprodukt. Das Skalarprodukt ist unter Drehungen invariant, dh. für beliebige Vektoren x,y gilt, wenn A die Matrix einer Drehung ist:
[mm] = [/mm] .
Nun ist aber immer $<Ax,v>=<x,A^Tv>$ und daher
[mm] = [/mm],
woraus $A^TA=1$ folgt. Also ist jede Drehmatrix orthogonal.
Umgekehrt lässt jede orthogonale Transformation das Skalarprodukt unverändert.
> Bei Teil 2 ist [mm]v_1[/mm] ein Eigenvektor, die lineare Hülle von
> [mm]v_2[/mm] und [mm]v_3[/mm] sind das orthogonale Komplement von Lin{v1}.
> Zudem steht in der gegebenen Matrix die SO(2). Leider weiß
> ich nicht, ob mir das weiterhelfen könnte. Wie kann ich
> nun weitermachen?
Tipp: Fann mit dem Spezialfall an, dass [mm] $v_1$ [/mm] der Einheitsvektor in Richtung der x-Achse ist. Wie kommst du dann zum allgemeinen Fall? Durch eine Drehung, die den Einheitsvektor in x-Richtung in [mm] $v_1$ [/mm] dreht.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Mi 22.06.2011 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
> Hallo Katrin!
>
> > Gegeben ist Unterrau [mm]\IR^3[/mm] mit Standardskalarprodukt.
> > 1. Zeige, dass die Elemente der speziellen orthogonalen
> > Gruppe SO(3) genau die Matrizen sind, die Drehungen um eine
> > Achse in [mm]\IR^3[/mm] beschreiben.
> > 2. Zeige, dass die Drehmatrizen bezüglich einer
> > Orthnomalbasis [mm]B={v_1, v_2, v_3}[/mm] mit [mm]Lin{v_1}[/mm] als Drehachse
> > die Gestalt [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix},[/mm]
> > mit dem Drehwinkel [mm]\alpha[/mm] haben. Welche Werte kann [mm]\alpha[/mm]
> > annehmen.
> >
> > Hallo,
> > zu 1:
> > jede Matrix der SO(3) hat einen Eigenwert 1. Dies gilt auch
> > für Drehmatrizen, da die Vektoren in der Drehachse
> > Eigenwert 1 haben. Zudem muss die Determinante 1 sein und
> > die Matrix muss orthogonal sein. Ähnliche Matrizen haben
> > dieselbe Determinante und eine Drehmatrix ist ähnlich zu
> > [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix},[/mm]
> > nach Teil 2, also ist det 1. Allerdings weiß ich nicht,
> > wie ich zeigen könnte, dass Drehmatrizen orthogonal sind
> > und dass die sO(3) wirklich nur aus Drehmatrizen besteht.
>
> In der Aufgabe steckt der Hinweis: [mm]\IR^3[/mm] mit
> Standardskalarprodukt. Das Skalarprodukt ist unter
> Drehungen invariant, dh. für beliebige Vektoren x,y gilt,
> wenn A die Matrix einer Drehung ist:
>
> [mm] = [/mm] .
>
Ich kenne invariant bisher nur im Zusammenhang mit Unterräumen, d. h. [mm] f(U)\subseteq [/mm] U. Wendet man eine Drehmatrix auf einen beliebigen Vektor an, so ändert sich nur seine Richtung, jedoch nicht sein Betrag. Bedeutet dies, dass Drehungen invariant sind? Kann man detA=1 auch mit der Invarianz begründen?
Betrachtet man nun eine Matrix der SO(3) so hat diese den Eigenwert 1. Zudem gilt A*A-1=I für orthogonale Matrizen. Beide Punkte treffen auch auf Drehmatrizen zu, also sind sie orthogonal. Es bleibt allerdings noch zu zeigen, dass jede orthogonale Matrix mit detA=1 eine Drehmatrix ist. Allerdings kann ich mir unter det A=1 wenig vorstellen.
> Nun ist aber immer [mm]=[/mm] und daher
>
> [mm] = [/mm],
>
> woraus [mm]A^TA=1[/mm] folgt. Also ist jede Drehmatrix orthogonal.
>
> Umgekehrt lässt jede orthogonale Transformation das
> Skalarprodukt unverändert.
>
> > Bei Teil 2 ist [mm]v_1[/mm] ein Eigenvektor, die lineare Hülle von
> > [mm]v_2[/mm] und [mm]v_3[/mm] sind das orthogonale Komplement von Lin{v1}.
> > Zudem steht in der gegebenen Matrix die SO(2). Leider weiß
> > ich nicht, ob mir das weiterhelfen könnte. Wie kann ich
> > nun weitermachen?
>
> Tipp: Fann mit dem Spezialfall an, dass [mm]v_1[/mm] der
> Einheitsvektor in Richtung der x-Achse ist. Wie kommst du
> dann zum allgemeinen Fall? Durch eine Drehung, die den
> Einheitsvektor in x-Richtung in [mm]v_1[/mm] dreht.
>
> Viele Grüße
> Rainer
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Mi 22.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Katrin!
> Hallo,
>
> vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
> > Hallo Katrin!
> >
> > > Gegeben ist Unterrau [mm]\IR^3[/mm] mit Standardskalarprodukt.
> > > 1. Zeige, dass die Elemente der speziellen orthogonalen
> > > Gruppe SO(3) genau die Matrizen sind, die Drehungen um eine
> > > Achse in [mm]\IR^3[/mm] beschreiben.
> > > 2. Zeige, dass die Drehmatrizen bezüglich einer
> > > Orthnomalbasis [mm]B={v_1, v_2, v_3}[/mm] mit [mm]Lin{v_1}[/mm] als Drehachse
> > > die Gestalt [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix},[/mm]
> > > mit dem Drehwinkel [mm]\alpha[/mm] haben. Welche Werte kann [mm]\alpha[/mm]
> > > annehmen.
> > >
> > > Hallo,
> > > zu 1:
> > > jede Matrix der SO(3) hat einen Eigenwert 1. Dies gilt auch
> > > für Drehmatrizen, da die Vektoren in der Drehachse
> > > Eigenwert 1 haben. Zudem muss die Determinante 1 sein und
> > > die Matrix muss orthogonal sein. Ähnliche Matrizen haben
> > > dieselbe Determinante und eine Drehmatrix ist ähnlich zu
> > > [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix},[/mm]
> > > nach Teil 2, also ist det 1. Allerdings weiß ich nicht,
> > > wie ich zeigen könnte, dass Drehmatrizen orthogonal sind
> > > und dass die sO(3) wirklich nur aus Drehmatrizen besteht.
> >
> > In der Aufgabe steckt der Hinweis: [mm]\IR^3[/mm] mit
> > Standardskalarprodukt. Das Skalarprodukt ist unter
> > Drehungen invariant, dh. für beliebige Vektoren x,y gilt,
> > wenn A die Matrix einer Drehung ist:
> >
> > [mm] = [/mm] .
> >
>
> Ich kenne invariant bisher nur im Zusammenhang mit
> Unterräumen, d. h. [mm]f(U)\subseteq[/mm] U.
Dann sage ich es anders: das Skalarprodukt ändert seinen Wert nicht, wenn man beide Vektoren mit der gleichen Matrix A dreht. (Der Wert des Standardskalarprodukts im [mm] $\IR^3$ [/mm] ist
[mm] = |x|*|y| *\cos\alpha [/mm],
wobei [mm] $\alpha$ [/mm] der Winkel zwischen $x$ und $y$ ist. )
> Wendet man eine
> Drehmatrix auf einen beliebigen Vektor an, so ändert sich
> nur seine Richtung, jedoch nicht sein Betrag.
Richtig. Allgemeiner gesagt, ändert sich die Abstand zweier Punkte durch eine Drehung nicht; die Drehung ist eine Isometrie. (Außerdem ändert sich der Winkel zwischen zwei Vektoren nicht.)
Da für das Standardskalarprodukt gilt
[mm] |x|^2 = [/mm] ,
kannst du
[mm] |x|^2 = |Ax|^2 [/mm]
für jeden Vektor x wie folgt auf $x=u-v$ anwenden: einerseits ist (da das Skalarprodukt bilinear und symmetrisch ist)
[mm] = --+ =+ -2 =|u|^2+|v|^2-2[/mm] ,
andererseits ist $<u-v,u-v>=<A(u-v),A(u-v)> = [mm] |Au|^2+|Av|^2 [/mm] -2<Au,Av> = [mm] |u|^2+|v|^2-2 [/mm] $,
also folgt $<u,v> =<Au,Av>=<u,A^TAv>$ .
Damit ist gezeigt, das eine Drehung den Wert des Skalarprodukts nicht ändert, woraus wiederum folgt, dass die Matrix A orthogonal sein muss.
> Bedeutet
> dies, dass Drehungen invariant sind? Kann man detA=1 auch
> mit der Invarianz begründen?
Aus der Orthogonalitätbedingung [mm] $A^T*A=1$ [/mm] folgt zunächst nur, dass [mm] $(\det A)^2=1$ [/mm] sein muss. Es ist also sowohl
[mm] $\det [/mm] A=1$ wie auch [mm] $\det [/mm] A=-1$ möglich. [mm] $\det [/mm] A=-1$ sind Drehungen plus eine Spiegelung.
> Betrachtet man nun eine Matrix der SO(3) so hat diese den
> Eigenwert 1. Zudem gilt A*A-1=I für orthogonale Matrizen.
> Beide Punkte treffen auch auf Drehmatrizen zu, also sind
> sie orthogonal. Es bleibt allerdings noch zu zeigen, dass
> jede orthogonale Matrix mit detA=1 eine Drehmatrix ist.
> Allerdings kann ich mir unter det A=1 wenig vorstellen.
Das heisst, dass die Abbildung längentreu, winkeltreu und orientierungserhaltend ist, und damit eine Drehung. Abbildungen mit [mm] $\det [/mm] A=-1$ sind längentreu, winkeltreu und orientierungsumkehrend (bei einer Spiegelung wird rechts und links vertauscht).
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Do 23.06.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die ausführlichen Erklärungen.
|
|
|
|
