Drehstreckung mit A = T*D*T' < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 So 21.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich hab die Matrix
A = [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
Mit Definition des Skalarproduktes und Normen und so Zeugs hab ich herausbekommen, dass die Abbildung eine Drehsteckung ist d.h. Streckungsfaktor Wurzel(2) und Winkel +1/Wurzel(2).
So nun kann man doch auch mit Diagonaliesierung schauen was die Abbildung so tut--->
A = T*D*T'
T = [mm] \pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}} *i & +\bruch{1}{\wurzel{2}} *i }
[/mm]
D = [mm] \pmat{ 1 + i & 0 \\ 0 & 1 - i}
[/mm]
So nun meine Frage ist wie man diese Matrix D interpretieren kann?(Kann man das überhaupt?) Ich habe etwas Mühe damit, dass die Eigenwerte Komplex sind, d.h. dass in der neuen Basis mit Komplexen Zahlen Multiplitiert wird. Wie kann ich das nun deuten?
Wies sehe ich aus der Matrix D, dass es eine Drehstreckung ist?
Danke.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 So 21.02.2010 | | Autor: | pelzig |
Also Drehstreckungen mit Drehwinkel [mm] $\alpha\not\in\pi\cdot\IZ$ [/mm] kannst du über [mm] $\IR$ [/mm] nicht diagonalisieren, soviel steht mal fest.
Dass diese Matrix eine Drehstreckung ist sieht man ja (anschaulich) auch sofort, wenn man sich nur mal aufmalt, wie die Standartbasisvektoren abgebildet werden.
Wie man die Komplexe Diagonalisierung zu interpretieren hat hab ich keine Ahnung 
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 So 21.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Wieso kann ich Drehwinkel nur für ein vielfaches von Pi über [mm] \IR [/mm] diagonaliesieren <-> wieso sind dann die Eigenwerte komplex? Das ist mir nicht ganz klar, vielleicht bin ich zu faul um selbst noch etwas nachzudenken - dann sags mir, dass ich zu faul bin. Du kannst mir aber auch gleich sagen weshalb?; )
Für mitleser:
Ja ich bin eben schon noch an dieser Interpretation der "komplexen Diagonalisierten" interessiert...
Also eine Multiplikation mit i bedeutet ja eine Drehung um +90° - nur so zum sagen, dass weiss ich. Aber eben...wie interpretiert man einen Eigenwert 1 + i... kann man jetzt nicht vielleicht sagen, das Argument von 1 + i = [mm] \wurzel{2} [/mm] hat was mit dem [mm] Drehwinkel(=1/\wurzel{2}) [/mm] zu tun?
Gruss
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Hallo,
> Wieso kann ich Drehwinkel nur für ein vielfaches von Pi
> über [mm]\IR[/mm] diagonaliesieren <-> wieso sind dann die
> Eigenwerte komplex? Das ist mir nicht ganz klar, vielleicht
> bin ich zu faul um selbst noch etwas nachzudenken - dann
> sags mir, dass ich zu faul bin. Du kannst mir aber auch
> gleich sagen weshalb?; )
Überlege, warum solch eine Drehmatrix, die nicht um 180° oder 360° dreht, keine Eigenwerte hat (im Reellen).
Was passiert mir Vektoren, die gedreht werden? Wird da mal ein Vektor auf sich selbst oder eine Verlängerung / Verkürzung von sich selbst abgebildet - nein.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Di 23.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Danke dir. Ich denke weil eine Drehung immer in Form einer Givensrotation (cos(x), sin(x),...) ist, und diese ja aus der Exponentialfunktion hoch eine Imaginäre Zahl hervorgehen?
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 So 28.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Ich hab die Matrix
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm]
>
> Mit Definition des Skalarproduktes und Normen und so Zeugs
> hab ich herausbekommen, dass die Abbildung eine
> Drehsteckung ist d.h. Streckungsfaktor Wurzel(2) und Winkel
> +1/Wurzel(2).
der Streckfaktor stimmt, aber der Winkel nicht: es ist eine Drehung um 45 Grad (im Uhrzeigersinn), der Winkel sollte also [mm] $-\frac{2 \pi}{8} [/mm] = [mm] -\frac{\pi}{4}$ [/mm] sein (oder [mm] $+\frac{\pi}{4}$, [/mm] je nachdem in welche Richtung man das ganze zieht ;)
Du hast wohl vergessen, von [mm] $\frac{1}{\sqrt{2}}$ [/mm] den Arkuskosinus zu nehmen; der ist naemlich [mm] $\pm \frac{\pi}{4}$.
[/mm]
> So nun kann man doch auch mit Diagonaliesierung schauen was
> die Abbildung so tut--->
>
> A = T*D*T'
>
> T = [mm]\pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}} *i & +\bruch{1}{\wurzel{2}} *i }[/mm]
>
> D = [mm]\pmat{ 1 + i & 0 \\ 0 & 1 - i}[/mm]
>
> So nun meine Frage ist wie man diese Matrix D
> interpretieren kann?(Kann man das überhaupt?)
Ja. Wenn du $1 [mm] \pm [/mm] i$ in Polarkoordinatenform schreibst, bekommst du [mm] $\sqrt{2} \exp(\pm \frac{\pi}{4} [/mm] i)$. Daraus siehst du: der Streckfaktor ist [mm] $\sqrt{2}$, [/mm] und der Drehwinkel [mm] $\pm \frac{\pi}{4}$.
[/mm]
Das klappt aber nur, falls es sich um eine Drehstreckung handelt :)
Warum das so funktioniert siehst du auch an der Matrix $T$: aus dem Vektor $v = [mm] \vektor{v_1 \\ v_2}$ [/mm] wird durch $T'$ der Vektor [mm] $\frac{1}{\sqrt{2}} \vektor{ v_1 - i v_2 \\ v_1 + i v_2 }$. [/mm] Beachte, dass wenn du [mm] $\IC$ [/mm] als [mm] $\IR^2$ [/mm] interpretierst, der Vektor [mm] $\vektor{v_1 \\ v_2}$ [/mm] gerade der komplexen Zahl [mm] $v_1 [/mm] + i [mm] v_2$ [/mm] entspricht! Wenn du diese Zahl nun mit [mm] $\sqrt{2} \exp(\pm \frac{\pi}{4} [/mm] i)$ multiplizierst, wird ihr Betrag mit [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] skaliert und zu ihrem Winkel wird [mm] $\pm \frac{\pi}{4}$ [/mm] addiert. Du bekommst dann den Vektor [mm] $\vektor{ v_1' - i v_2' \\ v_1' + i v_2' }$, [/mm] welcher durch $T$ wieder in [mm] $\vektor{ v_1' \\ v_2' }$ [/mm] ueberfuehrt wird.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 So 28.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Danke für die Antwort. Ist echt super nett!
Christian
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