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| Aufgabe | Man definiere [mm] \phi [/mm] : [mm] \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] durch
[mm] [\phi]_{E3}=\bruch{1}{3}\pmat{ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & 2 & -1 }
[/mm]
Beweisen Sie, dass [mm] \phi [/mm] eine Drehung ist und finden sie eine Orthonormalbasis B so dass [mm] [\phi]_{B} [/mm] die Form
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ 0 & \sin(\alpha) & \cos(\alpha) } [/mm] hat. |
Also um zu zeigen, dass es eine Drehung ist muss ich ja nur die Determinate berechnen, wenn diese 1 ist, handelt es sich um eine Drehung, oder?
Aber wie bestimme ich die Orthonormalbasis B?
Habt ihr eine Idee?
Dank euch ...
Lg Sonja.
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> Man definiere [mm]\phi[/mm] : [mm]\IR^{3} \to \IR^{3}[/mm] durch
>
> [mm][\phi]_{E3}=\bruch{1}{3}\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & 2 & -1 }[/mm]
>
> Beweisen Sie, dass [mm]\phi[/mm] eine Drehung ist und finden sie
> eine Orthonormalbasis B so dass [mm][\phi]_{B}[/mm] die Form
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ 0 & \sin(\alpha) & \cos(\alpha) }[/mm]
> hat.
> Also um zu zeigen, dass es eine Drehung ist muss ich ja
> nur die Determinate berechnen, wenn diese 1 ist, handelt es
> sich um eine Drehung, oder?
Hallo,
aber nur, wenn die Matrix orthonormal ist...
Bei deiner müßtest Du oben rechts eine 2 hinschreiben.
>
> Aber wie bestimme ich die Orthonormalbasis B?
> Habt ihr eine Idee?
Anfangen würde ich mal mit der Bestimmung der Drehachse, also mit der Berechnung des (normierten) Vektors, der sich unter der Drehung nicht verändert.
Diesen mußt Du dann zu einer ONB ergänzen.
Die beiden ergänzten vektoren spannen die Drehebene auf.
Gruß v. Angela
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oben rechts muss auch eine 2 stehen ... sorry, war ein Schreibfehler :)
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Danke erstmal für deine Hilfe :)
Ich habe mal eine Frage:
Verändern sich nicht alle Vektoren durch eine Drehung, die nicht die länge Null haben?
Gibt es ein Verfahren wie man diese Drehachse bestimmen kann?
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> Ich habe mal eine Frage:
> Verändern sich nicht alle Vektoren durch eine Drehung, die
> nicht die länge Null haben?
Nein. Denk an einen Kreisel. (Wir haben es ja mit Drehungen im Raum zu tun.)
>
> Gibt es ein Verfahren wie man diese Drehachse bestimmen
> kann?
Das wollte ich Dir mit meiner Antwort
>> Anfangen würde ich mal mit der Bestimmung der Drehachse, also mit der Berechnung des
>> (normierten) Vektors, der sich unter der Drehung nicht verändert.
in dem Mund gelegt haben.
Wie heißen denn solche Vektoren, die sich unter der Abbildung nicht verändern?
Gruß v. Angela
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Also zur Berechnung der Drehachse müsste ich doch dann den Eigenraum zum Eigenwert 1 ausrechnen, oder?
Also die Lösung des LGS [mm] [\phi [/mm] - [mm] I_{3}]X [/mm] = 0 berechnen?
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> Also zur Berechnung der Drehachse müsste ich doch dann den
> Eigenraum zum Eigenwert 1 ausrechnen, oder?
> Also die Lösung des LGS [mm][\phi[/mm] - [mm]I_{3}]X[/mm] = 0 berechnen?
Ja.
Gruß v. Angela
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Also das habe ich nun gemacht bekomme das hier heraus:
[mm] \pmat{ \bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{2}{3} \\ \bruch{2}{3} & \bruch{1}{3} & -\bruch{2}{3} \\ -\bruch{2}{3} & \bruch{2}{3} & -\bruch{1}{3} } [/mm] - [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ -\bruch{2}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{2}{3} \\ \bruch{2}{3} & -\bruch{2}{3} & -\bruch{2}{3} \\ -\bruch{2}{3} & \bruch{2}{3} & -\bruch{4}{3}}
[/mm]
diesen habe ich nun umgeformt in [mm] \pmat{ -\bruch{2}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{2}{3} \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
diesen kann man wieder umschreiben in [mm] \pmat{ -\bruch{2}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{2}{3} \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] oder?
und daraus ergibt sich mein normierten Vektor [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}},0,\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] oder?
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Ob du es richtig gemacht hast, kannst Du leicht selbst überprüfe.
Dein errechneter Vektor soll ja ein EV zu EW 1 sein.
Nimmst Du ihn also mit der Matrix [mm] [\phi]_{E3} [/mm] mal, so muß der Vektor daselbst wieder hinten herauskommen.
>
> diesen habe ich nun umgeformt in [mm]\pmat{ -\bruch{2}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{2}{3} \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> diesen kann man wieder umschreiben in [mm]\pmat{ -\bruch{2}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{2}{3} \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> oder?
Man kann so viel tun... Du müßtest Dir in diesem Fall merken, daß Du y und z vertauscht hast...
Das ist doch unpraktisch. Und wofür soll das gut sein?
Gruß v. Angela
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